第一篇力学10螺丝落至底面时，有1(g+a)t?O=h22h=0.705 sNg+a（2）由于升降机在t时间内上升的高度为1R1h'=Vot+2则d=h-h=0.716m1-9质点沿直线运动，加速度a=4-t,式中a的单位为m·s-2,t的单位为s.如果当t=3s时，x=9m，=2ms-1,求质点的运动方程分析本题属于运动学第二类问题，即已知加速度求速度和运动方程，必须dxdx可得dy=adt和dx=dt.如在给定条件下用积分方法解决.由α=和dtdta=a(t)或=(t），则可两边直接积分.如果a或不是时间t的显函数，则应经过诸如分离变量或变量代换等数学操作后再进行积分。解由分析知，应有(du:adt1(1)得=4t+V3由dx:udi得t+vot+%0x=2t_(2)12将t=3s时，x=9m，v=2m·s-代人式（1）、（2）得=-1m·s-,%=0.75m于是可得质点运动方程为1x=22t+0.75121-10一石子从空中由静止下落，由于空气阻力，石子并非作自由落体运动，现测得其加速度α=A-Bv,式中A、B为正恒量，求石子下落的速度和运动方程分析本题亦属于运动学第二类问题，与上题不同之处在于加速度是速度PDGdo=dt后再两边积分，的函数，因此，需将式d=a()dt分离变量为a(v)解选取石子下落方向为轴正向，下落起点为坐标原点
第一章质点运动学11Ldu=A -Bu(1)（1）由题意知dt用分离变量法把式（1)改写为du(2)=dtA-Bu将式(2)两边积分并考虑初始条件，有dud.A-BvA(1Bt)得石子速度B会为一常量，通常称为极限速度或收尾速度，由此可知当，-→时，-R(2) 再由=些=(1 --")并考虑初始条件有dtBA(1 - e-Bt)dtdy=得石子运动方程A.A(e-B_1)y=BR21-11一质点具有恒定加速度a=6i+4j，式中a的单位为m·s-2在t=0时，其速度为零，位置矢量r。=（10m）i.求：（1）在任意时刻的速度和位置矢量；（2）质点在0xy平面上的轨迹方程，并画出轨迹的示意图分析与上两题不同处在于质点作平面y/m曲线运动，根据叠加原理，求解时需根据加速度的两个分量a.和a.分别积分，从而得到运20m动方程的两个分量式（t）和y（）.由于本2X题中质点加速度为恒矢量，故两次积分后所Da得运动方程为固定形式，即×=。+ot+x/m1011a,和y=%。+ot +a,F，两个分运动均2题1-11图为匀变速直线运动.读者不妨自己验证一下，梦解由加速度定义式，根据初始条件t。=0时。=0，积分可得dPDG(6i +4 j)dtw=6ti+4tj
学12第一篇力dr又由及初始条件t=0时，r。=（10m）i，积分可得dtdr=「odt=(6ti + 4t j)dtr=(10+3t)i+2tj由上述结果可得质点运动方程的分量式，即x=10+3t2y=2t?消去参数t，可得运动的轨迹方程3y=2x-20m2dy=tanα这是一个直线方程.直线斜率=，α=33°41'.轨迹如图所示3dx1-12质点在0xy平面内运动，其运动方程为r=2.0ti+（19.0-2.0t），式中r的单位为m，t的单位为s.求：（1）质点的轨迹方程；（2）在t，=1.0g到tz=2.0s时间内的平均速度；（3）t,=1.0s时的速度及切向和法向加速度；（4）t=1.0s时质点所在处轨道的曲率半径p.分析根据运动方程可直接写出其分量式x=x（t)和y=y（t），从中消去参数t，即得质点的轨迹方程.平均速度是反映质点在一段时间内位置的变化率，即=Ar/△t，它与时间间隔A的大小有关，当At-→0时，平均速度的极限即瞬时dr速度=切向和法向加速度是指在自然坐标下的分矢量a，和α，，前者只反映dt'dye.；后者只反映质点速度方向的变质点在切线方向速度大小的变化率，即a,=dt化，它可由总加速度a和a,得到.在求得t，时刻质点的速度和法向加速度的大2求p小后，可由公式a，p解（1）由参数方程x=2.0t,y=19.0-2.0t2R消去t得质点的轨迹方程：y=19.0-0.50x2X（2）在t,=1.00s到tz=2.0s时间内的平均速度福=_2-1=(2.0m)i-(6.0m)jAt-t2-tPDG（3）质点在任意时刻的速度和加速度分别为di +j=2.0i-4.0tjw(t)=vi+wjdtde
第一章质点运动学13a(0)=禁+禁j=-(4.0m·s)jdtdt则t，=1.00s时的速度v(t)=(2.0m·s-)i-(4.0m·s-)j切向和法向加速度分别为dvd.=dre,=%(/ +,)e,=(3.58 m s)e. o:a. = a-a. e =(1.79 m *s-2)e（4）t=1.0s质点的速度大小为V=o.+,=4.47m.s-102则=11.17 mpa1-13飞机以100m·s的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品空投到前方某一地面目标处，问：（1）此时目标在飞机正下方位置的前面多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2.0s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？分析物品空投后作平抛运动。忽略空气阻力的条件下，由运动独立性原理知，物品在空中沿水平方向作匀速直线运动，在竖直方向作自由落体运动.到达地面目标时，两方向上运动时间是相同的.因此，分别列出其运动方程，运用时间相等的条件，即可求解.题1-13图此外，平抛物体在运动过程中只存在竖直向下的重力加速度.为求特定时刻时物体的切向加速度和法向加速度，只需求出该时刻它们与重力加速度之间的夹角α或β.由图可知，在特定时刻，物体的切向加速度和水平线之间的夹角α，可由此时刻的两速度分量、"求出，这样，也就可将重力加速度g的切向和法向分量求得，解（1）取如图所示的坐标，物品下落时在水平和竖直方向的运动方程分别为1DGx=ut,R2飞机水平飞行速度=100m·s-1，飞机离地面的高度y=100m，由上述两式可得目标在飞机正下方前的距离
第一篇力学142y=452m2T（2）视线和水平线的夹角为 = arctan =12. 50x（3）在任意时刻物品的速度与水平轴的夹角为" = arctan gtα=arctanUVr取自然坐标，物品在抛出2s时，重力加速度的切向分量与法向分量分别为a, = gsin α =gsin( arctan g) = 1. 88 m - s-2(arctan g) =9. 62 m · s~2a,=gcosα=gcos1－14为迎接香港回归，特技演员柯受良在1997年6月1日驾车飞越黄河壶口，如图所示，柯驾车从跑道东端启动，到达跑道终端时速度大小为。=150km·h-1，他随即以仰角α=5°冲出，飞越跨度达57m，安全着落在西岸木桥上,求：h题1-14图（1）柯飞车跨越黄河用了多长时间？（2）若起飞点高出河面10m，柯驾车飞行的最高点距河面为几米？（3）西岸木桥和起飞点的高度差为多少？分析由题意知，飞车作斜上抛运动，对包含抛体在内的一般曲线运动来说，运用叠加原理是求解此类问题的普适方法，操作程序是：建立一个恰当的直角坐标系，将运动分解为两个相互正交的直线运动，由于在抛体运动中，质点的加速度恒为g，故两个分运动均为匀变速直线运动或其中一个为匀速直线运动，PDG直接列出相关运动规律方程即可求解，本题可建立图示坐标系，图中y和.分别表示飞车的最大高度和飞跃跨度解在图示坐标系中，有