傅里叶变换与离散三角插值的对比（选讲） 离散三角插值：给定数据点化，y。,其中=-π+名=01,2m-1 能否找到系数{a,b使得，j n-1 2 +an cos nxj+ (ax coskx;+bg sinkxj) 最小二乘法解得 2m-1 1 2m-1 1 ak= m yi cos kxj, bk= m yi sin kxj j=0 =0 离散傅里叶变换相当于直接找到复平面上的系数{ck}使得，j 2m-1 *而品 由逆变换可得ck=”。y,e产，进而由Euler公式可得 1 251 ak +ibk m (cosk与+isinx)=-1 傅里叶变换的unitary性质：三角级数的正交性 7
傅里叶变换与离散三角插值的对比（选讲） 7 离散三角插值：给定数据点 �", �" "#$ %&'( ，其中�! = −� + ! " �,� = 0,1, … , 2� − 1 能否找到系数{�), �)}使得，∀� �" ≈ �$ 2 + �* cos ��" + @ +#( *'( �+ cos ��" + �+ sin ��" 最小二乘法解得 �+ = 1 � @ "#$ %&'( �" cos ��" , �+ = 1 � @ "#$ %&'( �" sin ��" 离散傅里叶变换相当于直接找到复平面上的系数{�+} 使得，∀� �! ≈ 1 � < #$% &"'( �#�)#*! 由逆变换可得 �+ = ∑+#$ %&'( �"� +,-. / ，进而由Euler公式可得 �# + ��# = 1 � < !$% &"'( �! cos ��! + � sin ��! = −1 # � �#. 傅里叶变换的unitary性质 ↔ 三角级数的正交性
求解线性方程 给定矩阵A∈Rmxn，,向量b∈Rm,，求x∈Rn使得Ax=b 只有三种情况 ·对任意的向量b,存在唯一解 不可解，或方程不一致(inconsistent,over-determined) ·存在无穷多组解(under-determined) 性质：只要存在两个不同的解，则一定存在无穷多组解。 性质：如果m>n则存在b使得方程不可解。 性质：如果m<n则存在b使得方程存在无穷多组解。 注：解线性方程组，与矩阵求逆是两回事 以下我们假设m=n 8
求解线性方程 给定矩阵� ∈ ℝ$×&，向量� ∈ ℝ$ ，求� ∈ ℝ&使得�� = � 只有三种情况 • 对任意的向量�，存在唯一解 • 不可解，或方程不一致 (inconsistent, over-determined) • 存在无穷多组解 (under-determined) 性质：只要存在两个不同的解，则一定存在无穷多组解。 性质：如果� > � 则存在�使得方程不可解。 性质：如果� < � 则存在�使得方程存在无穷多组解。 注：解线性方程组，与矩阵求逆是两回事 以下我们假设� = � 8
回顾高斯消元法 a11 a12 aln b1 a21 a22 a2n b2 a11 a12 aln 0 a21 a22 a12 ..a2n- c2以n 1b2 c2以b1 a11 a11 a11 可以一行一行地消，也可以一列一列地消 这里以行为例，主要涉及三种操作 ·交换行（交换两组方程） 。 给一行乘上一个数 在一行上减去另一行的一个倍数 9
回顾高斯消元法 可以一行一行地消，也可以一列一列地消 这里以行为例，主要涉及三种操作 • 交换行（交换两组方程） • 给一行乘上一个数 • 在一行上减去另一行的一个倍数 9
回顾高斯消元法：交换行 令o∈Sn为[n]上的一个置换 eo(1) eo(n) 其中向量e;是只有在第j个分量上为1的单位向量 10
回顾高斯消元法：交换行 令 � ∈ �+为 � 上的一个置换 �, = ⋯ �, - . ⋯ ⋮ ⋯ �, + . ⋯ 其中向量�/是只有在第�个分量上为1的单位向量 10
回顾高斯消元法：给一行乘上一个数 考虑对角矩阵 C 0 2 D 00 0 00 。。 11
回顾高斯消元法：给一行乘上一个数 考虑对角矩阵 � = �- 0 ⋯ 0 0 0 �0 ⋯ 0 ⋱ 0 0 0 0 ⋯ �+ 11