4)根轨迹的分离点 如果实轴上的两个相邻的开环极点或两个 相邻的开环零点之间存在根轨迹,它一定有分 离点。 基于分离点是重闭环极点的事实可以证明, 分离点的座标λ,是下列代数方程的解: ∑ ∑ 必须说明的是,方程只是必要条件而非充 分条件
基于分离点是重闭环极点的事实可以证明， 分离点的座标 λ，是下列代数方程的解： ∑∑= = − = − m l l n i i 1 p 1 z 1 1 λ λ 必须说明的是，方程只是必要条件而非充 分条件。 4）根轨迹的分离点 如果实轴上的两个相邻的开环极点或两个 相邻的开环零点之间存在根轨迹，它一定有分 离点
个特例,对于有两个开环极点p1、P2,而 无零点的系统,求分离点的代数方程为: 1-p1-P2 解得: 2÷+ 2 即分离点位于两个开环极点的坐标中点。典 型二阶系统有一个开环极点位于原点,因此, 分离点位于=n2/2处
一个特例，对于有两个开环极点p 1 、p 2 ，而 无零点的系统，求分离点的代数方程为： 1 2 1 1 0 λ λ p p + = − − 解得： 1 2 2 p p λ + = 即分离点位于两个开环极点的坐标中点。典 型二阶系统有一个开环极点位于原点，因此， 分离点位于 λ = p2 2 处
5)渐近线 根轨迹趋向无穷远时,逐渐靠近一条直线, 该直线称为这条根轨迹的渐近线。根据无穷远处 s→∞的特点可以证明:当n≠m时,根轨迹存在 n-m|支渐近线,且渐近线与实轴的夹角为: (2k+180 k=0,1,2,…,|n-m|-1 所有渐近线交与实轴上的一点,其坐标为: ∑p-∑
5）渐近线 根轨迹趋向无穷远时，逐渐靠近一条直线， 该直线称为这条根轨迹的渐近线。根据无穷远处 s→∞的特点可以证明：当n≠m时，根轨迹存在 |n－m|支渐近线，且渐近线与实轴的夹角为： 所有渐近线交与实轴上的一点，其坐标为： 0 (2 1)180 φ , 0,1,2, ,| | 1 + = =− − − k " k k nm n m 1 1 σ = = − = − ∑ ∑ n m i l i l p z n m
可以推知,n-m支渐近线平分圆周角, 即它们在根平面上均匀分布。 另外,由于根轨迹对称于实轴,因此,它 们的渐近线也对称于实轴。 由于渐近线平分圆周角,又对称于实轴, 因此,知道了根轨迹有几条渐近线,只需求出 它们交于实轴上一点的坐标,就知道了它们在 根平面上的分布
可以推知，|n－m|支渐近线平分圆周角， 即它们在根平面上均匀分布。 另外，由于根轨迹对称于实轴，因此，它 们的渐近线也对称于实轴。 由于渐近线平分圆周角，又对称于实轴， 因此，知道了根轨迹有几条渐近线，只需求出 它们交于实轴上一点的坐标，就知道了它们在 根平面上的分布
6)根轨迹与虚轴的交点 将s00代入闭环特征方程,令特征方程 的实部和虚部分别等于零,可以解出0和 K0。用劳斯(Roth)判据也可以求得K
将s=jω0 代入闭环特征方程，令特征方程 的实部和虚部分别等于零，可以解出ω0 和 K0 。用劳斯（Roth）判据也可以求得K0 。 6）根轨迹与虚轴的交点