21.3二次根式的加减(3) 第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除;多项式与单项式相乘、相除; 多项式与多项式相乘、相除;乘法公式的应用 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应 用算 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运 重难点关键 重点:二次根式的乘除、乘方等运算规律; 难点关键:由整式运算知识迁移到含二次根式的运算 教学过程 复习引入 学生活动:请同学们完成下列各题 1.计算 (1)(2x+y)·zx(2)(2x2y+3xy2) 2.计算 (1)(2x+3y)(2x-3y) (2)(2x+1)2+(2x-1)2 老师点评:这些内容是对八年级上册整式运算的再现.它主要有(1)单项 式×单项式;(2)单项式×多项式;(3)多项式÷单项式:(4)完全平方公式;(5) 平方差公式的运用. 二、探索新知 如果把上面的x、y、z改写成二次根式呢?以上的运算规律是否仍成立呢? 仍成立 整式运算中的x、y、z是一种字母,它的意义十分广泛,可以代表所有一切, 当然也可以代表二次根式,所以,整式中的运算规律也适用于二次根式 例1.计算 (1)(√+3)×√(2)(4√6-3√)÷2√2 分析:刚才已经分析,二次根式仍然满足整式的运算规律,所以直接可用整 式的运算规律 解:(1)(√6+8)×33=6×√3+√×√ h8+√24=3√2+2√6 解:(4√6-3)÷2=4√6÷2√2-3√÷22
- 36 - 21.3 二次根式的加减(3) 第三课时 教学内容 含有二次根式的单项式与单项式相乘、相除；多项式与单项式相乘、相除； 多项式与多项式相乘、相除；乘法公式的应用． 教学目标 含有二次根式的式子进行乘除运算和含有二次根式的多项式乘法公式的应 用． 复习整式运算知识并将该知识运用于含有二次根式的式子的乘除、乘方等运 算． 重难点关键 重点：二次根式的乘除、乘方等运算规律； 难点关键：由整式运算知识迁移到含二次根式的运算． 教学过程 一、复习引入 学生活动：请同学们完成下列各题: 1．计算 （1）（2x+y）·zx （2）（2x 2y+3xy2）÷xy 2．计算 （1）（2x+3y）（2x-3y） （2）（2x+1）2+（2x-1）2 老师点评：这些内容是对八年级上册整式运算的再现．它主要有（1） 单项 式×单项式；（2）单项式×多项式；（3）多项式÷单项式；（4）完全平方公式；（5） 平方差公式的运用． 二、探索新知 如果把上面的 x、y、z 改写成二次根式呢？以上的运算规律是否仍成立呢？ 仍成立． 整式运算中的 x、y、z 是一种字母，它的意义十分广泛，可以代表所有一切， 当然也可以代表二次根式，所以，整式中的运算规律也适用于二次根式． 例 1．计算: （1）（ 6 + 8 ）× 3 （2）（4 6 -3 2 ）÷2 2 分析：刚才已经分析，二次根式仍然满足整式的运算规律， 所以直接可用整 式的运算规律． 解：（1）（ 6 + 8 ）× 3 = 6 × 3 + 8 × 3 = 18 + 24 =3 2 +2 6 解：（4 6 -3 2 ）÷2 2 =4 6 ÷2 2 -3 2 ÷2 2
例2.计算 (1)(√5+6)(3-√)(2)(√10+7)(√10-√7) 分析:刚才已经分析,二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中 仍然成立 解:(1)(√5+6)(3-√5) √-(√5)2+18-6√5 13-3 √5 (2)(0+√7)(√0-√7)=(0)2-(7) =10-7=3 三、巩固练习 课本Pa练习1、2. 四、应用拓展 例3.已知x-b2b其中a、b是实数,且a+b≠0, +1+ 化简 √x√x+1-√x 并求值 分析:由于(√x+1+x)(√x+1-√x)=1,因此对代数式的化简,可先将 分母有理化,再通过解含有字母系数的一元一次方程得到x的值,代入化简得结 果即可 解:原式 (x+1+√x)2 +1+√x)(√x+1-√x)(x+1-√xX√x+1+√x) (√x+1-√x)2(√x+1+√x)2 (x+1)-x x+1)-x 1)+x+2√x(x+1 ∴b(x-b)=2ab-a(x-a) Ca+b)x=a2+2ab+b2 ∴(a+b)x=(a+b)2 a+b≠0
- 37 - =2 3 - 3 2 例 2．计算 （1）（ 5 +6）（3- 5 ） （2）（ 10 + 7 ）（ 10 - 7 ） 分析：刚才已经分析，二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中 仍然成立． 解：（1）（ 5 +6）（3- 5 ） =3 5 -（ 5 ）2+18-6 5 =13-3 5 （2）（ 10 + 7 ）（ 10 - 7 ）=（ 10 ）2 -（ 7 ）2 =10-7=3 三、巩固练习 课本 P20练习 1、2． 四、应用拓展 例 3．已知 x b a − =2- x a b − ，其中 a、b 是实数，且 a+b≠0， 化简 1 1 x x x x + − + + + 1 1 x x x x + + + − ，并求值． 分析：由于（ x +1 + x ）（ x +1- x ）=1，因此对代数式的化简，可先将 分母有理化，再通过解含有字母系数的一元一次方程得到 x 的值，代入化简得结 果即可． 解：原式= 2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) x x x x x x + − + + + − + 2 ( 1 ) ( 1 )( 1 ) x x x x x x + + + − + + = 2 ( 1 ) ( 1) x x x x + − + − + 2 ( 1 ) ( 1) x x x x + + + − =（x+1）+x-2 x x( 1) + +x+2 x x( 1) + =4x+2 ∵ x b a − =2- x a b − ∴b（x-b）=2ab-a（x-a） ∴bx-b 2=2ab-ax+a2 ∴（a+b）x=a 2+2ab+b2 ∴（a+b）x=（a+b）2 ∵a+b≠0
+b ∴原式=4x+2=4(a+b)+ 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算 六、布置作业 1.教材Pa1习题21.31、8、9. 2.选用课时作业设计. 3课后作业:《同步训练》 作业设计 选择题 (x-35+22)x√的值是() A. 3-3√30B.3 C.20-23D.20-√30 2.计算(√x+√x-1)(√x-√x-1)的值是() B.3 二、填空题 )2的计算结果(用最简根式表示)是 2.(1-23)(1+2√3)-(2√3-1)2的计算结果(用最简二次根式表示)是 3.若x=√2-1,则x2+2x+1 4.已知a=3+2√2,b=3-2√,则a2b-ab2= 、综合提高题 1.化简 h10+√4+h5+√2 x+1+√x2 2.当 时,求 的值 √2 1-√x2+ (结果用最简二次根式表示) 课外知识 1.同类二次根式:几个二次根式化成最简二次根式后,它们的被开方数相同, 这些二次根式就称为同类二次根式,就是本书中所讲的被开方数相同的二次根
- 38 - ∴x=a+b ∴原式=4x+2=4（a+b）+2 五、归纳小结 本节课应掌握二次根式的乘、除、乘方等运算． 六、布置作业 1．教材 P21 习题 21．3 1、8、9． 2．选用课时作业设计． 3.课后作业:《同步训练》 作业设计 一、选择题 1．（ 24 -3 15 +2 2 2 3 ）× 2 的值是（ ）． A． 20 3 3 -3 30 B．3 30 - 2 3 3 C．2 30 - 2 3 3 D． 20 3 3 - 30 2．计算（ x + x −1 ）（ x - x −1 ）的值是（ ）． A．2 B．3 C．4 D．1 二、填空题 1．（- 1 2 + 3 2 ）2 的计算结果（用最简根式表示）是________． 2．（1-2 3 ）（1+2 3 ）-（2 3 -1）2 的计算结果（用最简二次根式表示）是_______． 3．若 x= 2 -1，则 x 2+2x+1=________． 4．已知 a=3+2 2 ，b=3-2 2 ，则 a 2b-ab2=_________． 三、综合提高题 1．化简 5 7 10 14 15 21 + + + + 2．当 x= 1 2 1− 时，求 2 2 1 1 x x x x x x + + + + − + + 2 2 1 1 x x x x x x + − + + + + 的值． （结果用最简二次根式表示） 课外知识 1．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同， 这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根
式 练习:下列各组二次根式中,是同类二次根式的是() A.√x与√2yB.ab+与1ab C.、m与D.√m+n与√m+n 2.互为有理化因式:互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平 方差公式(a+b)(a-b)=a2-b2,同时它们的积是有理数,不含有二次根式:如 x+1-√x2+2x与x+1+√2+2x就是互为有理化因式:√与也是互为有理化因 式 练习:2+√3的有理化因式是 x-√y的有理化因式是 √x+1-√x-1的有理化因式是 3.分母有理化是指把分母中的根号化去,通常在分子、分母上同乘以一个 次根式,达到化去分母中的根号的目的 练习:把下列各式的分母有理化 (2) (3) (4) √5 1+23 33-42 4.其它材料:如果n是任意正整数,那么,n+ n 理由 1+、 n+n 练习:填空,22= 谷案 √3 4√2 、1.原式 √2√+√2+√√5+√√7 √+√7 √(++√(+万玉+√
- 39 - 式． 练习：下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（ ）． A． 2x 与 2y B． 8 3 4 9 a b 与 9 5 8 2 a b C． mn 与 n D． m n + 与 m n + 2．互为有理化因式： 互为有理化因式是指两个二次根式的乘积可以运用平 方差公式（a+b）（a-b）=a2-b 2，同时它们的积是有理数，不含有二次根式：如 x+1- 2 x x + 2 与 x+1+ 2 x x + 2 就是互为有理化因式； x 与 1 x 也是互为有理化因 式． 练习： 2 + 3 的有理化因式是________； x- y 的有理化因式是_________． - x +1- x −1 的有理化因式是_______． 3．分母有理化是指把分母中的根号化去，通常在分子、 分母上同乘以一个 二次根式，达到化去分母中的根号的目的． 练习：把下列各式的分母有理化 （1） 1 5 1− ； （2） 1 1 2 3 + ； （3） 2 6 2 − ； （4） 3 3 4 2 3 3 4 2 + − ． 4．其它材料：如果 n 是任意正整数，那么 2 1 n n n + − =n 2 1 n n − 理由： 2 1 n n n + − = 3 3 2 2 1 1 n n n n n n − + = − − =n 2 1 n n − 练习：填空 2 2 3 =_______； 3 3 8 =________； 4 4 15 =_______． 答案: 一、1．A 2．D 二、1．1- 3 2 2．4 3 -24 3．2 4．4 2 三、1．原式＝ 5 7 2 5 2 7 3 5 3 7 + + + + = 5 7 2( 5 7) 3( 5 7) + + + + = 1 2 3 +
√2-)=√-2 2.原式= (x+1+√x2+x)2+(x+1-√x2+x)2 (x+1)2-(√x2+x)2 2(x+1)+(x+x)x22(x+1)x+1+x)=2(2x+1) x+1 x+1 √2+1原式=2(2√2+3)=42+6
- 40 - =-（ 2 - 3 ）= 3 - 2 2．原式＝ 2 2 2 2 2 2 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 1) ( ) x x x x x x x x x + + + + + − + + − + = 2 2 2( 1) ( ) 2 1 x x x x + + + + = 2( 1)( 1 ) 1 x x x x + + + + = 2（2x+1） ∵x= 1 2 1− = 2 +1 原式＝2（2 2 +3）=4 2 +6