§4-2力矩转动定律转动惯量 在上一节中,讨论了刚体定轴转动的运动学问题,本节我们讨论刚体定轴转动的动力学问题,即研究 刚体获得角加速度的原因和刚体定轴转动所遵循的规律。为此我们首先引入力矩概念。 力矩( Moment of Force) 外力对刚体的作用效果,不仅取决于力的大小、方向,而且还与力的作用点的位置有关。这也是大家 熟悉的力的三要素。力通过转轴时,转动状态不改变;力离转轴远时,转动状态容易改变;力离转轴近时, 转动状态不易改变。引入力矩这个物理量来描述力对刚体转动的 影响 F 1.力矩: 如图所示,在一个作定轴转动的刚体上,有一外力作用于P F, 点,力在垂直转轴的转动平面内分量为F,则外力对转轴的力矩 为 M=F2d= F2rsin o (d=rsin 其中φ是F2与F之间的夹角。 写成矢量式M=F×F单位:N·m 力矩是矢量。在定轴转动中,力矩的方向总是沿着转轴的。其指向仍是右手螺旋法则:把右手拇指伸 直,其余四指由矢径,经小于180°的角度弯向力的方向时,拇指指向的方向就是力矩的方向。 M F 2.内力矩 刚体内任意两点之间的相互作用力,大小相等,方向相反,在同一条直线上 两力的力臂相等,因而两力的力矩相等,方向相反。故两个内力的合力矩为零。 如右图中的f2、f21是一对作用与反作用力,对刚体米说是一对内力,它们对 转轴的力臂都是d,所以合力矩为零 3.讨论 1)力与转轴平行,则M=0 2)若外力F不在转动平面内,则可把该力分解为两个分力。一个与转轴平行的分力F1,一个在垂直 与转轴平面内的分力F2,只有分力F2才对刚体的转动状态有影响 3)力矩的单位和功的单位不是一回事,力矩的单位不能写成焦耳 对于定轴转动来说,力矩M的方向只有两个,沿转轴方向或沿转轴方向反方向,所以可以用正、负
号表示其方向。 O 二、转动定律 1.质点 我们先讨论质量为m的质点作半径为r圆周运动。设某时刻质点位于P点,所受的切向力 F 其对转轴的力矩为 M=Fr=mra 2.刚体 把刚体看成是由许多质点所组成的。设第i个质点的质量为△m,所受的外力为F,内力为f,则由 上面的讨论可知 M=△mr:a 其中M,为外力矩和内力矩之和。 对于作定轴转动的刚体,它的力矩只有两个方向,所以可求 代数和。即∑M=∑△mra 转动惯量 则得 M=Ja 写成矢量形式M=J 由前面的讨论可知,内力矩的和为零,故刚体的转动定律:刚体在合外力矩的作用下,所获得的角加 速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。 3.说明: 1)合外力矩和转动惯量都是相对于同一转轴而言的 2)在刚体力学中转动定律的地位与质点动力学中牛顿第二定律相当。 、转动惯量——描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 1.转动惯量 应用刚体的定轴转动定律时,我们需要先求出刚体对固定转轴的转动惯量。而转动惯量的定义式为 ∑△m2。也就是说,刚体的转动惯量等于刚体中各质元的质量与它们到该转轴的垂直距离平方之 积的和。 2.转动惯量的计算:点→线→面→体 对于离散型J=∑mn2m、r—第i个质点的质量和到转轴的垂直距离
对于连续型J=rdm 单位:kg:m 维 dm= ndl λ—线密度:单位长度的质量 维 dm= ads 面密度:单位面积的质量 维 体密度:单位体积的质量 3.说明 1)转动惯量是描述刚体在转动中的惯性大小的物理量 2)对于儿何形状规则的刚体,则其转动惯量可以用积分进行计算,即J=r2cm 3)几何形状不规则刚体的J,由实验测定。 4)转动惯量有可加性,当一个刚体由几部分组成时,可以分别计算各个部分对同一转轴的转动惯量, 然后把结果相加就可以得到整个刚体的转动惯量: 例2.质量为m、长为l的均匀细棒。求通过棒中心、端点并与棒垂直的轴的转动惯量 解:设细棒的线密度为λ。如图所示,取距离转轴为r处的质量元dr,该质元的质量为 dm=A dr 则此质元的转动惯量为 d=r2dm=2 r2dr 付于OO轴,积分上式得 元2b=-x13 对于AN轴,积分得=(x2b=12xp=1mP2 两者之差为 4.平行轴定理( Parallel Axis Theoren) 刚体对任意轴的转动惯量J,等于它对通过刚体质心且与该轴线 平行的轴的转动惯量为J,加上刚体的质量与两轴距离d的平方的 乘积。即 式中m为刚体的质量,d为两平行轴之间的距离 这一关系称为平行轴定理。 平行 证明:在x平面内,有一个质量为m的刚体,通过刚 体质心的轴为Z,它与x平面垂直;另一轴线Z与通过质心的轴线Z相平行,它们之间的距 离为d。在刚体上的任一点P有一个质量元Δm,以质心为坐标原点0,P点到质心的距离为 OP-=x+y P点到0’点的距离为 OP2=x+y+d P对Z轴的转动惯量为 △mOP2=Mm(2+(y+)=△m(x2+y2+42+2yl) △m(OP2+d2+2yd)
对刚体上所有的质点求和得 J=∑△mOP2=∑△m(Op2+d2+2yl) ∑△mOP2+∑Mm:d2+∑△m:2yl 即J=J+mdl2+2d∑△m:y 根据质心的定义式 y 所以 因而 J=.+md 5.垂直轴定理( Perpendicular Axis Theorem) 对于薄板刚体,若建立坐标系Oz,(可参上图)其中z轴与薄板垂直,Oy平面在薄板内,则薄板 刚体对z轴(质心)的转动惯量等于对x轴的转动惯量和对y轴的转动惯量之和,即 J =J+J 证明:根据刚体转动惯量的定义有: J=∑n△m=∑(x2+y2)m=∑xMm+∑y2△m1=J+J 6.刚体的重力势能 在重力场中,刚体也具有一定的重力势能,它等于刚体上各个质点的重力势能之和。可以证明,刚体 的重力势能为 E,=mg 其中m为刚体的质量,h为刚体重心距势能零点的高度 例3.质量为m、半径为R的均匀圆盘。求通过圆盘中心并与圆盘垂直的轴的转动惯量 解:设圆盘的面密度为σ。如图所示,在圆盘上取半径为r宽为d的圆环,此圆环的质量为 dm=2丌tdr·a 此圆环的转动惯量为 J=rdm=r2 2r ro dr=2r rodr 积分得J=[2xr3abh=2zRa=mR2 例4.利用平行轴定理求通过园盘边沿轴的转动惯量 解:分析:上题是求通过质心的转动惯量,由平行轴定理得 =+md2=1mg2+mR2=3 例5.利用正交轴定理求通过园盘直径轴的转动惯量 解:分析:例2是求通过质心的转动惯量,由正交轴定理得 J=J+J