第四章小结、习题 、分离变量法: 用于求解规则边界条件下的拉普拉斯方程 根据边界面的形状,选择适当的坐标系,如平面边界 则选直角坐标;圆柱面、选园柱坐系;球面、选球坐标。 以便以简单的形式表达边界条件。将电位函效表示成三 个一维函数的乘积,通过分离变量将拉普拉斯方程变为 个常微分方程,得到电位函数的通解,然后寻求满足 边界条件的特解
第四章小结、习题 一、分离变量法： 用于求解规则边界条件下的拉普拉斯方程。 根据边界面的形状，选择适当的坐标系，如平面边界、 则选直角坐标；圆柱面、选园柱坐系；球面、选球坐标。 以便以简单的形式表达边界条件。将电位函效表示成三 个一维函数的乘积，通过分离变量将拉普拉斯方程变为 三个常微分方程，得到电位函数的通解，然后寻求满足 边界条件的特解
1.直角坐标系中的分离变量法.(拉普拉斯方程解法I 方程:V2=0++0y=0令=X(x)Y(y)z(z) dy az 将代入方程,整理得 XY Z ++=0 Y K 2 K 2 X K2,得 a+K2X=0、q2y d 2X d-z +KY=0 ?+K2Z=0 K2+K2+K2=0
2 2 2 '' '' '' '' 2 2; 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222 0 ; ; : 0; 0 0; 0 X Y z x y z x y z x y z Y Z Y Z Y z K K K Y Z d X d Y d Z K K K dx dy dz KKK X Y Z + + = = − = − = − + = + = + = + + = 222 ２ " "" 1.直角 中的分离变量法.(拉普拉斯方程解法I) 方程: = + + =0 令 =X(x)Y(y)Z(z) X 将 代入方程,整理得 X X 令 得 x 坐标系
d 2X 求 a+2+K2X=0的解 (1)K2>0,K为实数,方程解为X=Aikx+A2cosk1x (2)K2<0K为纯虚数,方程解为X=Bsha,x+B2chax (3)K2=0,X=Cx+C2 Y和Z解的形式同X(x)形式 4,1图所示为一长方形截面的导体槽.槽可以视为无限 长.其上有一块与槽相绝缘的盖板,槽的电位为零.盖板的电 位为U求内槽的电位函数 Uo b
4，1 图所示为一长方形截面的导体槽．槽可以视为无限 长．其上有——块与槽相绝缘的盖板，槽的电位为零．盖板的电 位为UO求内槽的电位函数。 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 2 0 1 0; , sin . cos . 2 0; , c 3 0; ( ) x x x x x x x x x x d X K dx K K X A k x A k x K K X B sh x B h x K X C x X C Y Z X x + = = + = + = = + 求 的解 为实数 方程解为 为纯虚数 方程解为 和 解的形式同 形式
V=0 x=0,x=a,y=0,d=0 y=b,d=U 由边条得 Φ(x,y2)=∑4sin-sh n7 y n=1 =∑41sizx, sh nzt ∫Un nIx sin =「sm2(x-), sh -dx
( ) 2 0 1 0 1 2 0 0 0 0 0, , 0, 0 , , , sin sin sin sin ( ) n n n n a a n x x a y y b U n x n y x y z A sh a a n x n b U A sh a a n x n x n b U dx A sh dx a a a = = = = = = = = = = = = 由边条得
4乙 An =1n·mb… n=1.3.5 n=2.4.6 4U.ch nny 丌x n=13.5 a 4.4图所示的导体槽,底面保持电位 Uo.其余两面电位为0,求槽内的电位的解
0 0 1,3,5... 4 ............... 1,3,5... 0 ...............n=2,4,6... 4 sin n n U n n b A n sh a n y U sh a n x n b a n sh a = = = = 4．4 图所示的导体槽，底面保持电位 UO．其余两面电位为0，求槽内的电位的解