数值计算方法 第4章插值法 44 Newton插值法 武汉大学数学与统计学院
数值计算方法 第 4 章 插 值 法 4.4 Newton 插值法 武汉大学数学与统计学院
上一讲的简单回顾 ●插值多项式的存在惟一性 满足插值条件 Pn(x)=fx,(i=0,1,2,…,n n次插值多项式Pa(x)=a0+a1x+a2x2+,…+amx存在而且惟 ●插值余项:Rx)=f(x)-Pa(x)= (n+1) mn(x),5∈(a,b) ● Lagrange插值多项式 Ln(x)=∑f(x)(x) 其中1(/(x-x)…(x-x)x-x)…(x-x)1=01.n (x1-x0)…(x1-x21)x1-x+1)…(x-xn) 称为 Lagrange插值基函数
上一讲的简单回顾 ● 插值多项式的存在惟一性: 满足插值条件 Pn (xi )=f(xi ), ( i=0,1,2,…,n) n次插值多项式Pn (x)=a0+a1x+a2x 2+……+anx n 存在而且惟一. ● 插值余项: Rn (x)= f(x)- Pn (x)= , ● Lagrange插值多项式 ( 1) 1 ( ) ( ) ( 1)! n x n f w x n + + + ( , ) x a b 0 ( ) ( ) ( ) n n i i i L x f x l x = = 0 1 1 0 1 1 ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) i i n i i i i i i i n x x x x x x x x l x x x x x x x x x − + − + − − − − = − − − − 其中 ,i =0,1,…,n 称为Lagrange插值基函数
优点:具有严格的规律性,便于记忆 缺点:不具有承袭性即每当增加一个节点时,不仅要增加求 和的项数,而且以前的各项也必须重新计算 为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式 Newton插值公式 本讲主要内容: ● Newton插值多项式的构造 ●差商的定义及性质 ●差分的定义及性质 ●等距节点 Newton插值公式
优点: 具有严格的规律性,便于记忆. 缺点: 不具有承袭性,即每当增加一个节点时,不仅要增加求 和的项数,而且以前的各项也必须重新计算. 为了克服这一缺点,本讲将建立具有承袭性的插值公式— Newton插值公式. 本讲主要内容: ● Newton插值多项式的构造 ● 差商的定义及性质 ● 差分的定义及性质 ● 等距节点Newton插值公式
基函数 问题1求作n次多项式Nn(x) Nn(x)=Co+C(x-xo)+C,(x-xo(x-x)+ +Cn(x-xo(x-x(x-x2) (x-xu-pd) 使满足 Nn(x,)=f(x),i=0,1,…n 为了使N(x)的形式得到简化引入如下记号 (x)三1 q2(x)=(x-x21)21(x) =(x-x0)(x-x1)…(x-x1-1),i=1,2,n
一 基函数 问题1 求作n次多项式 使满足 ( ) N x n 0 1 0 2 0 1 0 1 2 1 ( ) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) n n n N x c c x x c x x x x c x x x x x x x x − = + − + − − + + − − − − ( ) ( ), 0,1, N x f x i n n i i = = (2) 为了使 N x n ( ) 的形式得到简化,引入如下记号 0 1 1 0 1 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) , 1,2, i i i i x x x x x x x x x x x i n − − − = − = − − − = (3) (1)
定义由式(3)定义的n+1个多项式(x)9(x)…9,(x) 称为 Newton插值的以xm,x1…,xn为节点的基函数即 N,(x)=Co(x)+c9(x)+.+C,n(x) 可以证明,这样选取的基函数是线性无关的,由此得 出的问题41的解便于求值而且新增加一个节点xm+时 只需加一个新项Cn+1n1(x)即 n+1 )+C1(x)+…+cnn(x)+Ccn+(9n+1(x) 而 9n1(x)=(x-xn)1(x)
定义 由式(3)定义的n+1个多项式 称为Newton插值的以x0 ,,x1 ,…,xn为节点的基函数,即 可以证明,这样选取的基函数是线性无关的,由此得 出的问题4.1的解便于求值,而且新增加一个节点 xn+1时 只需加一个新项 即 而 0 1 ( ), ( ), , ( ) n x x x 0 0 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) N x c x c x c x n n n = + + + 1 1() c x n n + + 1 1() n n c x + + 1 1( ) n n c x + + 1 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) N x c x c x c x c x n n n n n + + + = + + + + 1 ( ) ( ) ( ) n n n x x x x + = − (4)