第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacob方法 94对分法 9.5乘幂法 9.6反幂法 9.7QR方法
第9章 矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
91特征值与特征向量 设A是n阶矩阵,x是非零列向量如果有 数λ存在,满足Ax=Ax(1) 那么,称ⅹ是矩阵A关于特征值λ的特征向 量
9.1 特征值与特征向量 设A是n阶矩阵，x是非零列向量. 如果有 数λ存在，满足 ， (1) 那么，称x是矩阵A关于特征值λ的特征向 量
如果把(1)式右端写为x,那么(1)式又可写 为 (I-A)x=0(2) 即|aI-A=0 f()=nI-A=n+an-n++a,n+o 它是关于参数入的n次多项式,称为矩阵A的特 征多项式,其中a0=(-1)A
如果把(1)式右端写为 ，那么(1)式又可写 为: x ( ) 0 I A x − = 即| | 0 I A− = 1 1 1 0 ( ) | | ... n n n f I A a a a − = − = + + + + − 记 它是关于参数λ的n次多项式，称为矩阵A的特 征多项式， 其中a0=(-1)n｜A｜. (2)
显然,当λ是A的一个特征值时,它必然 是f()=0的根反之,如果是= 那么齐次方程组(2)有非零解向量x,使(1)式 成立.从而,λ是A的一个特征值 A的特征值也称为A的特征根
显然，当λ是A的一个特征值时，它必然 是 的根. 反之，如果λ是 的根， 那么齐次方程组(2)有非零解向量x，使(1)式 成立. 从而，λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根. f ( ) 0 = f ( ) 0 =
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质: 定理9.1.1n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.12设矩阵A与矩阵B相似,那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3n阶矩阵A与A有相同的特征值 定理9.14设是n阶矩阵A的两个互异特 征值,ⅹ、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量,那么,xy=0
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质： 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似，那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与AT有相同的特征值. 定理9.1.4 设λi≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 征值，x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量，那么，x Ty=0