§1.4向量和矩阵范数 >向量范数( vector norms 定义1:R空间的向量范数Ⅱ,对任意x,∈满足下列条件 ()‖≥0;‖=0=0 (2)x=对任意eC (3)‖x+ 常用向量范数: ll =Z x;= |x. I'=max x; i=1 i= 1sisn
§1.4 向量和矩阵范数 ➢ 向量范数 ( vector norms ) n x y R , 对任意 定义1：Rn空间的向量范数 || · || ,对任意 满足下列条件 (1) || || 0 ; || || 0 0 x x = x = (2) || x || | | || x || = C (3) || x y || || x || || y || + + 常用向量范数： = = n i i x x 1 1 || || | | = = n i i x x 1 2 2 || || | | || || max | | 1 i i n x x =
@主要性质 性质1:|-1|=|xl 性质2:||x-ly|s|xyll 性质3:向量范数}x是R上向量x的连续函数 范数等价设A和1l是R上任意两种范数,着存在 常数C、C>0使得C|214sC2|F |k和|||等价。 定理141R上一切范数都等价
主要性质 性质1:‖-x‖=‖x‖ 性质2:｜‖x‖-‖y‖｜≤‖x-y‖ 性质3: 向量范数‖x‖是Rn上向量x的连续函数. 范数等价:设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在 常数 C1、C2 > 0 使得 ,则称 ‖·‖A 和‖·‖B等价。 定理1.4.1 Rn 上一切范数都等价
定义2设{xk}是R上的向量序列, 令x=(X1X12…,kkn)T,k=12,… 又设x=(x1,X2,…xn)「是R上的向量 如果imxx对所有的=1,2…n成立, 那么称向量x是向量序列{xk的极限 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的 定理1.4.2任意一种向量范数而言,向量 序列{xk}收敛于向量x“的充分必要条件是 lim k
定义2:设｛xk｝是Rn上的向量序列， 令 xk=(xk1,xk2,…，xkn)Ｔ , k=1,2，…., 又设x *＝（x1 * ，x2 * ，…，xn * )Ｔ是Rn上的向量. 如果lim xki=xi对所有的i=1,2,…，n成立， 那么,称向量x *是向量序列｛xk｝的极限 ， 若一个向量序列有极限,称这个向量序列是收敛的. 对任意一种向量范数‖·‖而言，向量 序列｛xk｝收敛于向量x *的充分必要条件是 定理1.4.2 * lim || || 0 k k x x → − =
>矩阵范数( matrix norms) 定y3:对任意A,B∈酬·‖为Rmxn空间的矩阵范数, 指‖·满足(1)-(3): (1)‖A20;‖A=0分A=0 (2)‖A=121A对任意a∈C 3)‖A+B|s|A|+|B‖ 若还满足(4称为相容的矩阵范数 (4)‖AB‖s‖Al‖l·‖B‖
➢ 矩阵范数 ( matrix norms ) m n A B R 定义3:对任意 , ,称|| · || 为Rmn空间的矩阵范数, 指|| · ||满足(1)-(3)： (1) || A|| 0 ; || A|| = 0 A = 0 (2) || || | | || || A A = 对任意 C (3) || A+ B || || A|| + || B || (4) || AB || || A || · || B || 若还满足(4),称为相容的矩阵范数
例5:设A=(a)∈M定义 A||= 7 证明:这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数 证明:设A 11/,B=/1 22 AB Al|=1,B|-1,‖AB2 从而4B|AB
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义 2 , 1 1 || || | | n ij i j A a n = = 证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数. 证明：设 1 1 1 1 , 1 1 1 1 A B = = 2 2 2 2 AB = || || 1,|| || 1,|| || 2 A B AB = = = 从而 || || || || || || AB A B