依题意,有AB|+BC|=800+800=1600(km) 又a=35°,β=55°,∠ABC=35°+55°=90 所以AC=AB2+1BC1=(00+80=80km) 其中∠BAC=45°,所以方向为北偏东35°+45°=80 从而飞机飞行的路程是1600km,两次飞行的位移和的大小为800V2km,方向为北偏 东8 类题·通 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 用向量表示实际问题中既有大小又有方向 的量 运算 利用平行四边形法则或三角形法则求向量 的和,并用直角三角形等知识解决问题 作答 根据题意作答 练一练 3.轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40km到达B处,再由B处沿正北方向行驶40 km到达C处,求此时轮船与A港的相对位置 解:如图所示,设AB、BC分别是轮船的两次位移,则AC表示最终位移,且AC=AB 在Rt△ABD中,DB|=20km AD|=203km, 在Rt△ACD中,AC /AD12+1DC12=403km, 即此时轮船位于A港东偏北60°,且距离A港40√3km处 [课堂归纳·感悟提升] 1.本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算,难点是向量和的应用 2.要掌握向量加法的三个问题
6 依题意，有 ＝800＋800＝1 600 (km)． 又 α＝35°，β＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°. ＝ 8002＋8002＝800 2(km)． 其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东 35°＋45°＝80°. 从而飞机飞行的路程是 1 600 km，两次飞行的位移和的大小为 800 2 km，方向为北偏 东 80°. 利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤 练一练 3．轮船从 A 港沿东偏北 30°方向行驶了 40 km 到达 B 处，再由 B 处沿正北方向行驶 40 km 到达 C 处，求此时轮船与 A 港的相对位置． 解：如图所示，设 分别是轮船的两次位移，则 表示最终位移，且 ＝ ＋ . ∠CAD＝60°， 即此时轮船位于 A 港东偏北 60°，且距离 A 港 40 3 km 处． ——————————————[课堂归纳·感悟提升]————————————— —— 1．本节课的重点是向量和的作法以及向量和的运算，难点是向量和的应用． 2．要掌握向量加法的三个问题
(1)求作向量的和,见讲1 (2)向量加法运算,见讲2 (3)向量加法的应用,见讲3 3.求作向量时应注意以下两点 (1)利用三角形法则求和向量时,关键要抓住“首尾相接”,并且和向量是由第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点 (2)利用平行四边形法则求和向量时,应注意“共起点” 训练提能区 达标练 能力练 学业水平小测,让学 课下能力提升,提速 生趁热打铁消化所学 提能,每课一检测,步 既练速度又练准度 步为营步步赢 分层练习固本提能 fencexglianxi guest inen 课下能力提升(十四 [学业水平达标练] 题组1求作向量的和 1.如图,已知两个不共线的非零向量a,b,求作a+b 解:在平面内任取一点O, 作OA=a,AB=b 则OB=a+b. 2.已知两非零向量a,b(如图所示)求作a+b 解:如图 所示:在平面内任取一点O,作OA=a,AB=b,则OB=a+b 题组2向量加法运算 3.化简AE+EB+BC等于 A B O C. AC D. BE 解析:选C(AE+EB)+BC=AB+BC=AC.故选C 4.下列等式错误的是()
7 (1)求作向量的和，见讲 1； (2)向量加法运算，见讲 2； (3)向量加法的应用，见讲 3. 3．求作向量时应注意以下两点 (1)利用三角形法则求和向量时，关键要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一个 向量的起点指向最后一个向量的终点． (2)利用平行四边形法则求和向量时，应注意“共起点”． 课下能力提升(十四) [学业水平达标练] 题组 1 求作向量的和 1． 如图，已知两个不共线的非零向量 a，b，求作 a＋b. 解：在平面内任取一点 O， 2．已知两非零向量 a，b(如图所示)求作 a＋b. 解：如图 所示：在平面内任取一点 O，作 题组 2 向量加法运算 4．下列等式错误的是( )
A.a+0=0+a=a B AB+BC+AC=0 CAB+BA=0 D CA+AC=MN+NP+PM 解析:选BAB+BC+AC=2AC≠0. 5.在矩形ABCD中,AB|=4,BC|=2,则向量AB+AD AC的长度等于 解析:选B因为AB+AD=AC,所以AB+AD+AC的 长度为AC的模的2倍,故答案是4√5 6.根据图示填空. (1)AB+OA (2)BO-+OD+DO- (3)A0-+B0-+2 OD 解析:由三角形法则知 ()AB+OA=OA+AB=OB: (2)BO+OD+DO=BO (3)A0+B0+2 OD=AD+BD 答案:(1)OB(2)BO(3)AD+BD 7.已知正方形ABCD的边长为1,AB=a,AC=c,BC=b,则|a+b+c为 解析:|a+b+c|=|AB+BC+AC|=|AC+AC|=2AC=2VE. 答案:2V2 8.如图,O为正六边形 ABCDEF的中心,根据图示计算:
8 A．a＋0＝0＋a＝a A．2 5 B．4 5 C．12 D．6 6．根据图示填空． 解析：由三角形法则知 7．已知正方形 ABCD 的边长为 1， ＝a， ＝c， ＝b，则|a＋b＋c|为________． 解析：|a＋b＋c|＝ ＝ ＝2 2. 答案：2 2 8．如图，O 为正六边形 ABCDEF 的中心，根据图示计算：
(1)0A+OC (2)BC+F (3)0A+F 解:(1)因为四边形OABC是以OA,OC为邻边的平行四边形,OB为其对角线,所以 OA+OC=OB (2)因为BC与FE方向相同且长度相等,所以BC与FE 是相等向量,故BC+FE与BC方向相同,长度为BC长 度的2倍,因此BC+FE可用DA表示,所以BC+FE (3)因为OA与FE长度相等且方向相反,所以OA+FE 题组3向量加法的应用 9.若a等于“向东走8km”,b等于“向北走8km”则|a+b= a+b的方 向是 解析:如图所示,设AB=a,BC=b,则AC=a+b,且△AC为等腰直角三角形, 则|AC|=8V2km,∠BC=45° 答案:8V2km北偏东45° 10.雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的,无风时雨滴下落的速度是4.0m/s,现在 有风,风使雨滴以2m的速度水平向东移动,求雨滴着地时的速度和方向 解:如图,用OA表示雨滴下落的速度,OB表示风使雨滴水平向东的速度.以OA OE为邻边作平行四边形OACB,OC就是雨滴下落的实际速度 在R△OE中,1O1=4,1AC=5
9 解：(1)因为四边形 OABC 是以 OA，OC 为邻边的平行四边形，OB 为其对角线，所以 题组 3 向量加法的应用 9．若 a 等于“向东走 8 km”，b 等于“向北走 8 km”则|a＋b|＝________，a＋b 的方 向是________． 解析：如图所示，设 ＝a， ＝b，则 ＝a＋b，且△ABC 为等腰直角三角形， 则| |＝8 2 km，∠BAC＝45°. 答案：8 2 km 北偏东 45° 10．雨滴在下落一定时间后的运动是匀速的，无风时雨滴下落的速度是 4.0 m/s，现在 有风，风使雨滴以4 3 3 m/s 的速度水平向东移动，求雨滴着地时的速度和方向． 解：如图，用 表示雨滴下落的速度， 表示风使雨滴水平向东的速度．以 ， 为邻边作平行四边形 OACB， 就是雨滴下落的实际速度． 在 Rt△OAC 中，| |＝4，| |＝ 4 3 3
=+C下+()-5 43 tan∠AOC= AC|_33 ∠AOC=30° 故雨滴着地时的速度大小是ym/s,方向与垂直方向成30°角向东 [能力提升综合练 1.设a=(AB+CD)+(BC+DA),b是任一非零向量,则在下列结论中,正确的为( ①a∥b;②a+b=a:③a+b=b④a+b</a+|b:⑤/a+b=|a+|b A.①②B.①③ C.①③⑤D.③④⑤ 解析:选Ca=(AB+CD)+(BC+DA)=AB+BC+CD+DA)=0, ①③⑤是正确的 2.已知D,E,F分别是△ABC的边AB,BC,CA的中点,则下列等式中不正确的是( AFD+DA-FA B FD+DE+EF: C DE+DA=EC D DA+DE- FD 解析:选D由向量加法的平行四边形法则可知,DA+DE=DF≠FD 3.如图,四边形ABCD是梯形,AD∥BC,则OA+BC+AB=() A CD B C. DA D CO 解析:选BOA+BC+AB -OA+AB+ BC OB+BC=( 4.已知△ABC的三个顶点A,B,C及平面内一点P满足PA+PB=PC,则下列结论
10 ∴∠AOC＝30°. 故雨滴着地时的速度大小是8 3 3 m/s，方向与垂直方向成 30°角向东. [能力提升综合练] 1．设 a＝ ，b 是任一非零向量，则在下列结论中，正确的为( ) ①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|. A．①② B．①③ C．①③⑤ D．③④⑤ 解析：选 C a＝ ＝0， ∴①③⑤是正确的． 2．已知 D，E，F 分别是△ABC 的边 AB，BC，CA 的中点，则下列等式中不正确的是( ) 解析：选 D 由向量加法的平行四边形法则可知， 3．如图，四边形 ABCD 是梯形，AD∥BC，则 ＝( ) 4．已知△ABC 的三个顶点 A，B，C 及平面内一点 P 满足 ，则下列结论