2.2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1.掌握向量的加、减法运算,并理解其几何意义; 2.会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量,培养数形结 合解决问题的能力: 3.通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比,使学生掌握向量加法运算的交换律和 结合律,并会用它们进行向量计算,渗透类比的数学方法; 4.掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律,会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算 5.理解两个向量平行的充要条件,能根据条件判断两个向量是否平行 6.通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力,了 解事物运动变化的辩证思想 【导入新课】 设置情景: 1、复习:向量的定义以及有关概念 强调:向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此,我们研究 的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到 任何位置 2、情景设置: ABc (1)某人从A到B,再从B按原方向到C, 则两次的位移和:AB+BC=AC C A B (2)若上题改为从A到B,再从B按反方向到C, 则两次的位移和:AB+BC=AC (3)某车从A到B,再从B改变方向到C, 则两次的位移和:AB+ (4)船速为AB,水速为BC,则两速度和:AB+BC=AC 新授课阶段 、向量的加法
2．2《平面向量的线性运算》教学设计 【教学目标】 1．掌握向量的加、减法运算，并理解其几何意义； 2．会用向量加、减的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量，培养数形结 合解决问题的能力； 3．通过将向量运算与熟悉的数的运算进行类比，使学生掌握向量加法运算的交换律和 结合律，并会用它们进行向量计算，渗透类比的数学方法； 4．掌握实数与向量的积的定义以及实数与向量的积的三条运算律，会利用实数与向量 的积的运算律进行有关的计算； 5．理解两个向量平行的充要条件，能根据条件判断两个向量是否平行； 6．通过对实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽象的思维能力，了 解事物运动变化的辩证思想. 【导入新课】 设置情景： 1、 复习：向量的定义以及有关概念 强调：向量是既有大小又有方向的量.长度相等、方向相同的向量相等.因此，我们研究 的向量是与起点无关的自由向量，即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到 任何位置 2、 情景设置： （1）某人从 A 到 B，再从 B 按原方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （2）若上题改为从 A 到 B，再从 B 按反方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （3）某车从 A 到 B，再从 B 改变方向到 C， 则两次的位移和： AB + BC = AC （4）船速为 AB ，水速为 BC ，则两速度和： AB + BC = AC 新授课阶段 一、向量的加法 A B C C A B A B C A B C
1.向量的加法:求两个向量和的运算,叫做向量的加法 形法则(“首尾 相接,首尾 a连”) 如图,已知向量a、b.在平面内任取一点A,作AB=a,BC=b,则向量AC叫做 a与b的和,记作a十b,即a十b=AB+BC=AC,规定:a+0-=0+a 探究:(1)两相向量的和仍是一个向量 (2)当向量a与b不共线时,a+b的方向不同向,且a+b|a|+|b| (3)当a与b同向时,则a+b、a、b同向, 且|a+b|=a|+|b|,当a与b反向时,若 a|>b|,则a+b的方向与a相同,且 a+b|=|a|-|b|:若|a|<|b|,则a+b的方向与b相同,且|a+b|=b|-|a (4)“向量平移”(自由向量):使前一个向量的终点为后一个向量的起点,可以推广到 个向量连加 例1已知向量a、b,求作向量a+b a+bt 作法:在平面内取一点,作OA=aAB=b,则OB=a+b 4.加法的交换律和平行四边形法则 问题:上题中b+a的结果与a+b是否相同?验证结果相同 从而得到:1)向量加法的平行四边形法则(对于两个向量共线不适应);
O A B a a a b b b １．向量的加法：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. ２．三角 形法则（“首尾 相接，首尾 连”） 如图，已知向量 a、ｂ.在平面内任取一点 A ，作 AB ＝a，BC ＝ｂ，则向量 AC 叫做 a 与ｂ的和，记作 a＋ｂ，即 a＋ｂ = AB + BC = AC ，规定： a + 0-= 0 + a. 探究：（1）两相向量的和仍是一个向量； （2）当向量 a 与 b 不共线时， a + b 的方向不同向，且| a + b |<| a |+| b |； （3）当 a 与 b 同向时，则 a + b 、a 、b 同向， 且| a + b |=| a |+| b |，当 a 与 b 反向时，若 | a |>| b |，则 a + b 的方向与 a 相同，且 | a + b |=| a |-| b |；若| a |<| b |，则 a + b 的方向与 b 相同，且| a +b|=| b |-| a |. （4）“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点，可以推广到 n 个向量连加. 例 1 已知向量 a 、b ，求作向量 a + b . 作法：在平面内取一点，作 OA = a AB = b ，则 OB = a + b . ４．加法的交换律和平行四边形法则 问题：上题中 b + a 的结果与 a + b 是否相同？ 验证结果相同 从而得到：１）向量加法的平行四边形法则（对于两个向量共线不适应）； A B C a+b a+b a a b b a ｂ ｂ ａ ＋ ｂ a
2)向量加法的交换律:a+b=b+ 5.向量加法的结合律:(a+b)+c=a+(b+c). 证:如图:使AB=a,BC=b,CD=c, w (a+b)+c=AC +CD= AD, a+(6+c)=AB+BD= AD (a+b)+c=a+(b+c) 从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行 向量的减法 1.用“相反向量”定义向量的减法 (1)“相反向量”的定义:与a长度相同、方向相反的向量.记作-a (2)规定:零向量的相反向量仍是零向量.-(-a)=a 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a+(-a)=0. 如果a、b互为相反向量,则B=-b,b=-a,a+b=0 (3)向量减法的定义:向量a加上b的相反向量,叫做a与b的差 即:a-b=a+(-b),求两个向量差的运算叫做向量的减法 2.用加法的逆运算定义向量的减法: 向量的减法是向量加法的逆运算 若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作a-b 3.求作差向量:已知向量a、b,求作向量a-b (a-b)+b=a+(-b)+b=a+0= 作法:在平面内取一点O, 作 ab= 6 则BA 即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量 注意:1°AB表示a-b.强调:差向量“箭头”指向被减数, 2°用“相反向量”定义法作差向量,a-b=a+(-b) 显然,此法作图较繁,但最后作图可统一 0---- -+=* B
２）向量加法的交换律： a + b = b + a . ５．向量加法的结合律：( a + b ) + c = a + ( b + c ). 证：如图：使 AB = a ， BC = b ， CD = c ， 则( a + b ) + c = AC +CD = AD ， a + ( b + c ) = AB+ BD = AD. ∴( a + b ) + c = a + ( b + c ). 从而，多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行. 二、向量的减法 1．用“相反向量”定义向量的减法 （1） “相反向量”的定义：与 a 长度相同、方向相反的向量.记作 −a. （2） 规定：零向量的相反向量仍是零向量.−(−a) = a. 任一向量与它的相反向量的和是零向量.a + (−a) = 0. 如果 a、b 互为相反向量，则 a = −b， b = −a， a + b = 0 （3） 向量减法的定义：向量 a 加上 b 的相反向量，叫做 a 与 b 的差. 即：a − b = a + (−b)，求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2．用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若 b + x = a，则 x 叫做 a 与 b 的差，记作 a − b. 3．求作差向量：已知向量 a、b，求作向量 a − b. ∵(a−b) + b = a + (−b) + b = a + 0 = a， 作法：在平面内取一点 O， 作 OA = a， AB = b. 则 BA = a − b. 即 a − b 可以表示为从向量 b 的终点指向向量 a 的终点的向量. 注意：1 AB 表示 a − b.强调：差向量“箭头”指向被减数， 2用“相反向量”定义法作差向量，a − b = a + (−b). 显然，此法作图较繁，但最后作图可统一. O A a B B’ b −b b B a+ (−b) a b O a b B a b a−b
4探究 如果从向量a的终点指向向量b的终点作向量,那么所得向量是b-a o B B' O b B 2)若a∥b,如何作出a-b? 例2已知向量a、b、c、d,求作向量ab、cd 解:在平面上取一点0,作O4=a,OB=b,OC=c,OD=d, 作 则 6, DC= c-d B b 例3平行四边形ABCD中,AB=a,AD=b, 用a、b表示向量AC、DB B
4 探究： １） 如果从向量 a 的终点指向向量 b 的终点作向量，那么所得向量是 b − a. ２）若 a∥b， 如何作出 a − b？ 例 2 已知向量 a、b、c、d，求作向量 a−b、c−d. 解：在平面上取一点 O，作 OA = a， OB = b， OC = c， OD = d， 作 BA ， DC ，则 BA = a−b， DC = c−d. 例 3 平行四边形 ABCD 中， AB = a， AD = b， 用 a、b 表示向量 AC 、 DB . A B D C A B C b a d c D O a−b A A B B B’ O a a−b a b b O A O B a−b a−b A B O −b
解:由平行四边形法则得: AC= a+ b, DB= AB-AD=a-b 变式一:当a,b满足什么条件时,ab与ab垂直?(|a=|b) 变式二:当a,b满足什么条件时,|a+b=|a-b?(a,b互相垂直) 变式三:a+b与ab可能是相当向量吗?.(不可能,对角线方向不同) 三、向量数乘运算 1.定义: 请大家根据上述问题并作一下类比,看看怎样定义实数与向量的积?(可结合教材思考) 可根据小学算术中3+3+3+3+3=3?5的解释,类比规定:实数与向量a的积就 是Aa,它还是一个向量,但要对实数λ与向量a相乘的含义作一番解释才行 实数与向量a的积是一个向量,记作Aa.它的长度和方向规定如下: (1)|AaF=|A‖axl (2)4>0时,Aa的方向与a的方向相同;当A<0时,Aa的方向与a的方向相反 特别地,当A=0或a=0时,Aa=0 2.运算律 问:求作向量2(3a)和6a(a为非零向量)并进行比较,向量2(a+b)与向量2a+2b 相等吗?(引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较) 生:2(3a)=6a,2a+2b=2(a+b) 师:设a、b为任意向量,A、H为任意实数,则有 (1)(λ+)a=Aa+;a;(2)A(a)=(a);(3)A(a+b)=Aa+b 通常将(2)称为结合律,(1)(3)称为分配律. 3.向量平行的充要条件: 请同学们观察a=m-n,b=-2m+2n,回答a、b有何关系? 生:因为b=-2a,所以a、b是平行向量 引导:若a、b是平行向量,能否得出b=Aa?为什么?可得出a=b吗?为什么?
解：由平行四边形法则得： AC = a + b， DB = AB − AD = a−b. 变式一：当 a， b 满足什么条件时，a+b 与 a−b 垂直？（|a| = |b|） 变式二：当 a， b 满足什么条件时，|a+ b| = |a−b|？（a， b 互相垂直） 变式三：a+b 与 a−b 可能是相当向量吗？（不可能，∵ 对角线方向不同） 三、向量数乘运算 1．定义： 请大家根据上述问题并作一下类比，看看怎样定义实数与向量的积？（可结合教材思考） 可根据小学算术中 3 3 3 3 3 3 5 + + + + = ? 的解释，类比规定：实数 λ 与向量 a 的积就 是 λa ，它还是一个向量，但要对实数 λ 与向量 a 相乘的含义作一番解释才行. 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量，记作 λa . 它的长度和方向规定如下： （1） | | | || | λa = λ a . （2） λ> 0 时， λa 的方向与 a 的方向相同；当 λ < 0 时， λa 的方向与 a 的方向相反； 特别地，当 λ = 0 或 a = 0 时， λa = 0 . 2．运算律： 问：求作向量 2(3 ) a 和 6a （ a 为非零向量）并进行比较，向量 2( ) a b + 与向量 2 2 a b + 相等吗？（引导学生从模的大小与方向两个方面进行比较） 生： 2(3 ) 6 a a = ， 2 2 2( ) a b a b + = + . 师：设 a 、b 为任意向量， λ 、 μ 为任意实数，则有： （1） ( ) λ+ = + μ a λa μa ； （2） λ( ) ( ) μa = λμa ； （3） λ( ) a b + = + λa λb . 通常将（2）称为结合律，（1）（3）称为分配律. 3．向量平行的充要条件： 请同学们观察 a m n = - ，b m n = - + 2 2 ，回答 a 、b 有何关系？ 生：因为 b a = - 2 ，所以 a 、b 是平行向量. 引导：若 a 、b 是平行向量，能否得出 b = λa ？为什么？可得出 a = λb 吗？为什么？