例题3-3计算仅有两个自由度体系的自由振动频率m0kk12[K][M]k21k220m2[k]- α [M] = 0可得：解：由式0kki2m,02I[K]-"[M]I0kak22mz=mm(o)-(km+kzm)o+(k22-kk2）=0解上方程得：olkk.k22-k2k21(k.k2)k221-2干0222mm,m,mzm2m2
例题3-3 计算仅有两个自由度体系的自由振动频率 = 21 22 11 12 k k k k K = 2 1 0 0 m m M 解：由式 − − = 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2 0 0 |[ ] [ ]| m m k k k k K M ( ) ( ) ( ) 11 22 12 21 2 11 2 22 1 2 2 1 2 = m m − k m + k m + k k − k k 0 2 K − M = = 0 解上方程得： 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 1 ( ) 2 1 ( ) 2 1 m m k k k k m k m k m k m k − − = + + 可得：
＊振型多自由度体系以某一阶圆频率の，自由振动时，将有一特定的振幅）与之相应它们之间应满足动力特征方程([k]-o? [mb(g,)= (0)6设(o)-[0u,pi2,-1-0n/0im,0i2/im0m-1/0im-与相应，用分块矩阵表达[A,n-1(B,In-I([K]-0 [M)[(B-)C
多自由度体系以某一阶圆频率 ＊振型 i 自由振动时，将有一特定的振幅 { } i 与之相应 它们之间应满足动力特征方程 ( ) 0 2 K −i M i = T 1 2 1 , , , , 设 i = i i in− in T 1 2 1 [ / , / , , / ,1] =i n i i n i i n i n− i n = − 1 i n 1 in { } 与 i 相应，用分块矩阵表达 − = − − − i n i i n i n i B C A B K M T 1 2 1 1 { } [ ] { } ( )
[4(B-0)-0)则动力特征方程din(BITS展开得解得、)--[4,]后(Bm-1(**)[4, n-(@- +(B,)n-1 =(0)(B@)- +C, =0(*)将（**）代入（*），可用以复验6求解结果的正确性
则动力特征方程 0 { } 1 [ ] { } 1 T 1 1 1 = − − − − i n i n i i n i n i n B C A B 展开得 [ ] { } 1 0 1 1 + − = Ai n− i n− Bi n { } 0 1 T 1 + = Bi n− i n− Ci 1 1 1 1 [ ] { } − − i n− = − Ai n− Bi n 解得 （**） （*） 将（**）代入（*），可用以复验 i n−1 求解结果的正确性
令中im=a,）(o.)=a, (6)由此得体系以の,频率自由振动的解为(x)=a,师)sin(,t+)体系在自由振动过程中的形状保持不变定义：振型把反映体系自由振动形状的向量=α称为振型把称为规则化的振型，也可简称为振型也称为第i阶振型
由此得体系以 i 频率自由振动的解为 x= a sin( t + ) i i i 体系在自由振动过程中的形状保持不变 定义：振型 i = ai i { } i 把反映体系自由振动形状的向量 称为振型 把 称为规则化的振型，也可简称为振型 { } i 也称为第i 阶振型 令 in = ai = − 1 i n 1 i i = ai i
m3=1000kg1例题3-4L4mk3=600kN/mm2 = 1500 kg三层剪切型结构如图所示求该结构的自振圆频率和振型4mkz=1200kN/mmi= 2000kg解：该结构为3自由度体系质量矩阵和刚度矩阵分别为5mk=1800kN/m20001.50x10kg[M]=00130-1.2x10°N/m[K]--1.21.8-0.60-0.60.6先由特征值方程求自振圆频率，令02B600
例题3-4 三层剪切型结构如图所示， 求该结构的自振圆频率和振型 解：该结构为3自由度体系， 质量矩阵和刚度矩阵分别为 10 kg 0 0 1 0 1.5 0 2 0 0 [ ] 3 M = 10 N / m 0 0.6 0.6 1.2 1.8 0.6 3 1.2 0 [ ] 6 − − − − K = 先由特征值方程求自振圆频率，令 600 B 2 =