第六讲3.4多自由度弹性体系的地震反应分析口3.5多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用
3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 3.5 多自由度弹性体系最大地震反应与水平地震作用 第 六 讲
S3.4多自由度弹性体系的地震反应分析一、多自由度弹性体系的运动方程在单向水平地面运动作用下，多自由度体系mnXnf的变形如图所示。xm设该体系各质点的相对水平位移为x,(i=1,2, .".,n),m其中n为体系自由度数X1Jn则各质点所受的水平惯性力为++fn=-m,(x，+x)Xg图多自由度体系的变形f12=-mz（x+x2）fin=-mn(x。+xn)
§3.4 多自由度弹性体系的地震反应分析 一、多自由度弹性体系的运动方程 图 多自由度体系的变形 在单向水平地面运动作用下，多自由度体系 的变形如图所示。 设该体系各质点的相对水平位移为 xi(i=1,2,.,n), 其中n为体系自由度数， 则各质点所受的水平惯性力为 ( ) 1 1 1 f m x x I g = − + ( ) 2 2 2 f m x x I g = − + ( ) In n g n f = −m x + x
mnXn(F)=-[M((甲)+(1)xg)体系水平惯性力-n其中F-n12因[区，，,m;XJnmm2(0]-[1, ,][M]-myxfnmn-[K x]= (F]刚度方程：**xg(] -[,, , x,]图多自由度体系的变形[M []+[K Jx]=-[M J1]x多自由度体系无阻尼运动方程多自由度有阻尼体系运动方程[M [x] + [c](]+ [K Jx]= -[M Jx()-[x,x2,, x]
体系水平惯性力 ( 1 ) g F = − M x + x 其中 T I I In F [ f , f , , f ] = 1 2 T n x x , x , , x = 1 2 T 1 = 1,1, ,1 = mn m m M 2 1 刚度方程： Kx= F 多自由度体系无阻尼运动方程 g M x + K x = − M 1 x 多自由度有阻尼体系运动方程 g M x + C x + K x = − M 1 x 图 多自由度体系的变形 1 2 , , , T n x x x x = T n x x , x , , x = 1 2
二、多自由度体系的自由振动＊自由振动方程不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令x。=0[M [(]+[K ]x]= (0]多自由度自由振动方程设方程的解为(=sin(ot+）（-[2各质点振幅）二关于时间t微分两次得=-のsin(ot+）代入振动方程得：([K ]-0[Mb(@)sin(ot + p) = 0由于sin(のt+β)+0则须有：([]- 0[Mb(@)- (0)动力特征方程
( 各质点振幅） 二、多自由度体系的自由振动 ＊自由振动方程 不考虑阻尼的影响，体系不受外界作用，令 多自由度自由振动方程 = 0 g x M x +Kx= 0 (K− 2 M )= 0 动力特征方程 设方程的解为 x= sin(t + ) T n , , , = 1 2 sin( ) 2 关于时间t微分两次得 x = − t + ( ) sin( ) 0 2 K − M t + = 代入振动方程得： 由于 sin(t +) 0 则须有：
＊自振频率动力特征方程(k]- 0?[mb(@)= (0)有非零解，则必有：体系发生振动，[k]-α [M] = 0多自由度体系的动力特征值方程其解由小到大排列为の,02,0,の（i=1,2,n）为体系第阶自由振动圆频率一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态
＊自振频率 体系发生振动， 有非零解，则必有： 0 2 K − M = ——多自由度体系的动力特征值方程 (i 1,2, , n) i = 其解由小到大排列为 2 2 2 2 1 , , , n 为体系第i阶自由振动圆频率 一个n自由度体系，有n个自振圆频率，即有n种自由振动方式或状态 动力特征方程 ( ) 0 2 K − M =