3泰勒级数 函数f(x)在x的邻域U(xr)中有任意阶导数,幂级数 ∑1(x-x) 为函数(x)在x的泰勒级数。若幂级数的收敛半径为 R>0,且limR2(x)=0,则当<R时,有 n→)0 r(n) f(x)=∑1(x-x) 当x=0时,相应的幂级数称为麦克劳林级数
3.泰勒级数 函数 f (x)在x0的邻域U(x0, r )中有任意阶导数，幂级数 ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ! n n n f x x x n ∞ = ∑ − 为函数f (x)在x0的泰勒级数。若幂级数的收敛半径为 R>0，且 lim n ( ) 0，则当|x|<R时，有 n R x → ∞ = ( ) ( ) 0 0 0 ( ) ( ) . ! n n n f x f x x x n ∞= = − ∑ 当x=0时，相应的幂级数称为麦克劳林级数
常用的麦克劳林展开式 ∑ xx∈(-0,0 2n-1 sInx ∑ X x∈(-∞0,0 (2n-1) 2n COSX= xx∈(-c 2n
常用的麦克劳林展开式。 ( ) 0 1 , . x n n e x x n ∞ = = ∑ ∈ − ∞ ∞ ！ ( ) ( ) 2 1 1 1 si n , . 2 1 n n x x x n ∞ − = = ∈ − ∞ ∞ − ∑ ！ ( ) ( ) 2 0 1 cos , . 2 n n x x x n ∞ = = ∑ ∈ − ∞ ∞ ！
∑xx∈(-1) X n= +x)=∑ x∈(-1,1 ad (1+x)2=1+ax+ 2! a(a-1)·(-n+ x∈
( ) 0 1 1,1 . 1 n n x x x ∞= = ∈ − − ∑ 1 1 ( 1) ln(1 ) ( 1,1]. n n n x x x n ∞ − = − + =∑ ∈ − ( ) 2 ( 1) (1 ) 1 2! ( 1) 1 , ( 1,1) ! x x x n x x n α α α α α α α α − + = + + + − − + + + ∈ − " "
1×3 +x=1+-x 22×42×4×6 1.、(-1)(2n 1+-x+ x∈ (2n)! 11×3 1×3×5 x+ 1+x 22×42×4×6 1+ (-1)”(2n-1)! ∈(-1,1 (2n)!!
2 3 1 1 1 1 1 3 1 1 2 2 4 2 4 6 1 ( 1) (2 1)!! 1 [ 1,1). 2 (2 )!! n n n x x x x n x x x n ∞ − = × + = + − + − × × × − − = + +∑ ∈ − " 2 3 1 1 1 1 3 1 3 5 1 1 2 2 4 2 4 6 ( 1) (2 1)!! 1 ( 1,1]. (2 )!! n n n x x x x n x x n ∞ = × × × = − + + − + × × × − − = + ∑ ∈ −
、傅立叶级数 1周期为2π的可积函数的傅立叶级数 设∫∈R2m,记 f(x)dx f(x)cos hxdx n=1.2 b f(x)sin kxdx
三、傅立叶级数 1.周期为2π的可积函数的傅立叶级数 设 f ∈R2π，记 0 1 2 ( ) , 2 a f x dx π π −π = ∫ 1 ( ) cos , n a f x kxdx π π −π = ∫ 1 ( )sin . n b f x kxdx π π −π = ∫ n = 1, 2