雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 §34三维晶格的振动 三维复式格子:晶体由N=N1N2N3个原胞构成,一个原胞中有n个原子。 n个原子的质量分别是:m1,m2,m3…m 第l个原胞的位置:R()=la1+l2a2+l3 原胞中各原子的位置 062-) 原胞中各原子偏离格点的位移: 43}4 第k个原子的运动方程:m4|2|=-B 原子在三个方向上的位移分量,一个原胞中共有3n个类似的方程。 方程右边是原子位移的线性齐次函数 方程解的形式:μk) A 将方程解代回3n个运动方程,得到关于Ax,A1y,A1-;A2x,A2y,A2-…Am,Am,A;的3n个线性 齐次方程:m2A=∑ kk 根据系数行列式为零条件,得到3n个O,(=1,2,3,…3m) 可以证明:→0,3个Oq;将三个频率值代入m4n=C/9 A'B kk 得到A,A2,A3,…A,趋于一致。说明在长波极限下,三个频率对应的格波描述的是不同原胞之间 的相对运动 称为3支声学波。 另有3n-3支长波极限的格波描述的是一个原胞中各原子间的相对运动,称为3n-3支光学波。 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 §3.4 三维晶格的振动 三维复式格子：晶体由 N = N1N2N3 个原胞构成，一个原胞中有 n 个原子。 n 个原子的质量分别是： m m m "mn , , , 1 2 3 第l 个原胞的位置： 1 1 2 2 3 3 R(l) l a l a l a K K K K = + + 原胞中各原子的位置： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n l R l R l R l R K " K K K , 3 , 2 , 1 原胞中各原子偏离格点的位移： ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ n l l l l µ µ µ µ K " K K K , 3 , 2 , 1 第 k 个原子的运动方程： +" ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ k l k l mkµα βµ α α =1, 2, 3—— 原子在三个方向上的位移分量，一个原胞中共有 3n 个类似的方程。 —— 方程右边是原子位移的线性齐次函数 —— 方程解的形式： [ q] k l i t R k A e k l K K K ⎟⋅ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − =⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ω µα 将方程解代回 3n 个运动方程，得到关于 的 3n 个线性 齐次方程： , , ; , , ; , , ; A1x A1y A1z A2 x A2 y A2z " Anx Any Anz β β ω α αβ ' ' 2 , ' k k k k A k k q m A C ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ K 根据系数行列式为零条件，得到 3n 个 ( j 1, 2, 3, 3n) ω j = " 可以证明： q → 0 K ，3 个ω j ∝ q ；将三个频率值代入 β β ω α αβ ' ' 2 , ' k k k k A k k q m A C ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ∑ K 得到 A A A An K " K K K , , , 1 2 3 趋于一致。说明在长波极限下，三个频率对应的格波描述的是不同原胞之间 的相对运动 —— 称为 3 支声学波。 另有 3n－3 支长波极限的格波描述的是一个原胞中各原子间的相对运动，称为 3n－3 支光学波。 REVISED TIME: 05-4-9 - 1 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 结论:晶体中一个原胞中有n个原子组成,有3支声学波和3n-3支光学波。 三维格子中,波矢为矢量,可以表示为:q=xb+xb2+x3b b,b2,b2是波矢空间的3个基矢 x,x2x3为3个系数 ilor-R+-x,61 [ot-(N a1+Rix,A1 ane A ilor-(N,,+R 采用波恩-卡曼边界条件:pk) Ah.e Ahy- 1 A.-二4m x;= N, a, b N2a2x2b2=2,x2 h →x fax,b, N2a,b, h3 x Nsa,b3 得到:q=b+b2+b--h1,h2h为3个整数 爱空得一个点(一个状)占提的空同2=2 (2×b2) v0*=b1(b2×b3) 倒格子原胞体积 Ny 状态密度 (b,×b2 波矢q的取值 在原子振动波函数H|=4e cN中,波矢的作用体现在不同原胞之间的位相联系:e0 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 结论：晶体中一个原胞中有 n 个原子组成，有 3 支声学波和 3n－3 支光学波。 三维格子中，波矢为矢量，可以表示为： 1 1 2 2 3 3 q x = + b x b + x b K K K K —— b b 1 2 , , b 是波矢空间的 3 个基矢 K K K 3 —— 1 2 3 x , , x x 为 3 个系数 采用波恩－卡曼边界条件： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 [ ] [ ( ) [ ] [ ( ) [ ] [ ( ) x x y y z z l l i t R x b i t N a R x b k k x kx kx l l i t R x b i t N a R x b k k y ky ky l l i t R x b i t N a R x b k k z kz kz l A e A e k l A e A e k l A e A e k ω ω ω ω ω ω µ µ µ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅ − ⋅ − + ⋅ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ] ] ] 111 1 222 2 333 3 2 2 2 N a x b Nax b N a x b π π π = = = ， 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 h x x N a b N h x x N a b N h x x N a b N π π π = ⇒ = = ⇒ = = ⇒ = 得到： 1 2 3 123 1 2 3 h h h q b b N N N = + + K K K b K —— h h 1 2 , , h3 为 3 个整数 波矢 q 空间一个点（一个状态）占据的空间体积： K 1 2 3 1 2 3 1 2 3 ( ) * ( ) b b b b b b V N N N N ⋅ × = ⋅ × = K K K K K K 0 * * v V N = ，v b 0 1 * ( = ⋅ b2 × b —— 倒格子原胞体积 K K K 3 ) 状态密度： 0 3 3 0 123 * ( ) (2 ) (2 N N Nv V v b b b π π ) = = = ⋅ × K K K 波矢 q 的取值 K 在原子振动波函数 ( ) [ ] l i t R q k k l A e k ω µα ⎛ ⎞ − ⋅ = ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ K K K 中，波矢的作用体现在不同原胞之间的位相联系： iR( )l q e− ⋅ K K REVISED TIME: 05-4-9 - 2 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 波矢改变一个倒格矢:Gn=nb+n2b2+n2b3 seiR(g R(D)Gn=(l1a1+l2a2+l3a3)(m1b1+n2b2+n2b3)=2n(1n1+l2n2+lyn3) -q和q+Gn产生的位相一样 q 的取值限制在一个倒格子原胞中,即第一布里渊区:{-22 的总数: (b2×b3)=N 晶体原胞总数 b 2 9=b+26,+b3 h2<hb2<互 <h≤ N3∠h3=2 有N=N1N2N3个取值 对应一个q有3支声学波和3n-3支光学波,不同的格波总数:N·(3+3n-3)=3nN E=∑∑n(q)+h(q),E=∑n(q)+bo(q) 共有3N种不同的模式,即有3N个不同的(q)值。此外晶格振动能量的增减必须是h,(q) 整数倍 这种晶格振动的能量子称为声子( Phonon) REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 K 波矢改变一个倒格矢：G n n 1 1 2 2 3 3 = + b n b + n b K K K ( ) ( ) ( ) n iR l G q iR l q e e − ⋅ + − ⋅ = K K K K K ( ) ( ) ( ) 2 ( ) 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1 1 2 2 3 3 R l G l a l a l a n b n b n b l n l n l n ⋅ n = + + ⋅ + + = π + + K K K K K K K K —— q 和K q Gn K K + 产生的位相一样 —— q 的取值限制在一个倒格子原胞中，即第一布里渊区： K 1 1 2 2 3 3 2 2 2 2 2 2 x y z b b q b b q b b q ⎧− < ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨− < ≤ ⎪ ⎪− < ≤ ⎪ ⎩ q K 的总数： b b b N V ⋅ ⋅( × ) = (2 ) 3 1 2 3 K K K π —— 晶体原胞总数 1 2 3 123 1 2 3 h h h q b b N N N = + + K K K b K —— 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 b h b b N b h b b N b h b b N ⎧ − < ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨− < ≤ ⎪ ⎪ ⎪− < ≤ ⎩ 2 3 Ì 1 1 1 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 N N h N N h N N h ⎧− < ≤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨− < ≤ ⎪ ⎪− < ≤ ⎪ ⎩ —— q 有 个取值 K N N = 1 2 N N3 对应一个 q 有 3 支声学波和 3n－3 支光学波，不同的格波总数： K N ⋅(3+ 3n − 3) = 3nN ∑∑= = + N q n i i i E n q q 3 1 ) ( ) 2 1 ( ( ) =ω , ∑= = + nN i E ni q i q 3 1 ] ( ) 2 1 [ ( ) =ω —— 共有3lN 种不同的模式，即有3lN 个不同的 (q) ωi 值。此外晶格振动能量的增减必须是 (q) ωi = 整数倍 —— 这种晶格振动的能量子称为声子（Phonon） REVISED TIME: 05-4-9 - 3 - CREATED BY XCH
雪体物学_黄尾_筇三章晶格振动与晶体的热学唑质20050406 布里渊区 维布里渊区,如图ⅩCH00300901所示。 XCH00300901 b Brillouin Zone Ir b Brillouin ZoneⅢ Construction of the first Brillouin zone for an oblique lattice in two dimensions 正方格子的布里渊区 正方格子的基矢:q=a —倒格子原胞基矢 第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点:b,-b,b2,-b2 垂直平分线方程:k,=±k,=±z一一由此围成的区域为第一布里渊区,或简约布里渊区。 第一布里渊区大小:(2)2--如图XCH09300)所示 第二布里渊区:由4个倒格点 b+b2,-(b+b2),b-b2,-(b1-b2)的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成 第二布里渊区大小:()2 第三布里渊区由4个倒格点2b,2b2,-2b1,-2b2的垂直平分线和第二布里渊区边界围成。 第三布里渊区大小:(-),如图XCH00300902所示 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 布里渊区 二维布里渊区，如图 XCH003_009_01 所示。 正方格子的布里渊区 j 正方格子的基矢： —— 倒格子原胞基矢： 1 2 a ai a a = = K K K K 1 2 2 2 b i a b j a π π = = K K K K 第一布里渊区 倒格子空间离原点最近的四个倒格点： 1 2 2 b , b, b , b K K K K − − 垂直平分线方程： a k a kx y π π = ± = ± —— 由此围成的区域为第一布里渊区，或简约布里渊区。 第一布里渊区大小： 2 ) 2 ( a π —— 如图 XCH003_009_02 所示。 第二布里渊区：由 4 个倒格点 , ( ), , ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 b b b b b b b b K K K K K K K K + − + − − − 的垂直平分线和第一布里渊区边界所围成。 第二布里渊区大小： 2 ) 2 ( a π 第三布里渊区：由4个倒格点 1 2 1 2 2b , 2b , 2b , 2b K K K K − − 的垂直平分线和第二布里渊区边界围成。 第三布里渊区大小： 2 ) 2 ( a π ，如图 XCH003_009_02 所示。 REVISED TIME: 05-4-9 - 4 - CREATED BY XCH
固体特理学_黄尾筇三章晶格振动与朗热学陛质_20050406 其它布里渊区的形成可以用类似的方法得到,每个布里渊区的大小:( 此外每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。 第二区 算三区 区国区 REVISED TIME: 05-4 CREATED BY XCH
固体物理学_黄昆_第三章 晶格振动与晶体的热学性质_20050406 其它布里渊区的形成可以用类似的方法得到，每个布里渊区的大小： 2 2 ( ) a π 此外每个布里渊区经过适当的平移之后和第一布里渊区重合。 REVISED TIME: 05-4-9 - 5 - CREATED BY XCH