切向量弧长弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线即L的弧长可定义为G(9.1)Va2(t) +y"2(t) +z"2(t)dt.(t)dt=S=当曲线L是逐段光滑曲线时，可以逐段考虑曲线的弧长，对应上式右边的积分，也就是在[α，]上的分段积分如果平面曲线是由显表示y=f(a)，aE[a，b]给出，首先可以把它看成是参数表示的特殊情况()=(,f(),0),E[a,b)其中，是参数，则弧长公式为-b/1+f(α)da[r(α)da=S:我们在前面的章节中曾经也推导出这样的结果返回全屏关闭退出I二6/22
þ l lúª m¡ Û¼ê¡ Û¼ê = L l½Â s = Z β α |~r0 (t)|dt = Z β α p x02(t) + y02(t) + z 02(t) dt. (9.1) L ´Åã1w, ±ÅãÄl, éAþªm> È©, Ò´3 [α, β] þ©ãÈ©. XJ²¡´dwL« y = f(x), x ∈ [a, b] Ñ, Äk±r§w¤ ´ëêL«AϹ ~r(x) = (x, f(x), 0), x ∈ [a, b] Ù¥, x ´ëê, Klúª s = Z b a |~r0 (x)|dx = Z b a q 1 + f 02 (x)dx. ·3c¡Ù!¥Q²íÑù(J. 6/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
弧长切向量弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线3°弧长参数在L上取一动点M(t）则从起点A到动点M(t）的弧AM的长为s(t) = / α"2(T) +y'"(T) +z2(T) dT =Ir(T)I dT.当M在L上变化时，弧长s=s（t）是一个变上限的积分，因此确定了一个t的函数这个函数如下性质：其一是s(α）=0，s(t)>0（长度总是正的）其二对t求导得dsVc"2(t) +y"(t) + z"2(t) = [r(t)l.一dt因此，只要（t）0，函数是严格单调增的（从几何上看，随着动点向远处延伸，长度总是严格增加的）返回全屏关闭退出7/22
þ l lúª m¡ Û¼ê¡ Û¼ê 3 ◦ lëê 3 L þÄ: M(t), Klå: A Ä: M(t) l AM s(t) = Z t α q x02 (τ ) + y02 (τ ) + z 02 (τ ) dτ = Z t α |~r0 (τ )| dτ. M 3 L þCz, l s = s(t) ´CþÈ©, Ïd(½ t ¼ê. ù¼êXe5µ Ù´ s(α) = 0, s(t) > 0£Ýo´¤. Ùé t ¦ ds dt = q x02 (t) + y02 (t) + z 02 (t) = |~r0 (t)|. Ïd, |~r0 (t)| 6= 0, ¼ê´îüNO£lAÛþw, XÄ:? ò, Ýo´îO\¤. 7/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ
切向量弧长弧长公式空间曲面隐函数曲面隐函数曲线所以函数s=s(t)有反函数tt(s),也就是参数t可以表示成s的函数.代入曲线的参数方程表示，得= (s) = (t(s)或者α = α(s), y = y(s), z = z(s),也就是说曲线可以用以弧长s为参数的参数方程来表示因为弧长参数S是一个几何量，它是曲线本身所固有的，不随参数表示的不同而改变.因此我们把由曲线固有的儿何量弧长做为参数的曲线的参数方程表示称为空间曲线的自然方程返回全屏关闭退出I8/22
þ l lúª m¡ Û¼ê¡ Û¼ê ¤±¼ê s = s(t) k¼ê t = t(s), Ò´ëê t ±L«¤ s ¼ ê. \ëê§L«, ~r = ~r(s) = ~r(t(s)) ½ö x = x(s), y = y(s), z = z(s), Ò´`, ±^±l s ëêëê§5L«. Ïlëê s ´AÛþ, §´ ¤k, ØëêL« ØÓ UC. Ïd·rdkAÛþlëêëê §L«¡mg,§. 8/22 kJ Ik J I £ ¶ '4 òÑ