直线的倾斜角和斜率(3.1.1) 教学目标 知识与技能 (1)正确理解直线的倾斜角和斜率的概念 (2)理解直线的倾斜角的唯一性 (3)理解直线的斜率的存在性 (4)斜率公式的推导过程,掌握过两点的直线的斜率公式 情感态度与价值观 (1)通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示,培养学生观察、探索能力,运用数学语言表达能力,数学交流 与评价能力 (2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导,帮助学生进一步理解数形 结合思想,培养学生树立辩证统一的观点,培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神, 重点与难点:直线的倾斜角、斜率的概念和公式 教学用具:计算机 教学方法:启发、引导、讨论. 教学过程: (一)直线的倾斜角的概念 我们知道,经过两点有且只有(确定)一条直线.那么,经过一点P的直线 I的位置能确定吗?如图,过一点P可以作无数多条直线a,b,c,…易见答案 是否定的这些直线有什么联系呢? c (1)它们都经过点P.(2)它们的‘倾斜程度不同.怎样描述这种“倾斜程度 的不同? 引入直线的倾斜角的概念 当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线I向上方向之 间所成的角a叫做直线I的倾斜角.特别地,当直线1与x轴平行或重合时
直线的倾斜角和斜率(3.1.1) 教学目标: 知识与技能 (1) 正确理解直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 理解直线的倾斜角的唯一性. (3) 理解直线的斜率的存在性. (4) 斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式． 情感态度与价值观 (1) 通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭 示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流 与评价能力． (2) 通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形 结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科 学态度和求简的数学精神． 重点与难点: 直线的倾斜角、斜率的概念和公式. 教学用具：计算机 教学方法：启发、引导、讨论. 教学过程： （一） 直线的倾斜角的概念 我们知道, 经过两点有且只有(确定)一条直线. 那么, 经过一点 P 的直线 l 的位置能确定吗? 如图, 过一点 P 可以作无数多条直线 a,b,c, …易见,答案 是否定的.这些直线有什么联系呢? P c a b Y O X (1)它们都经过点 P. (2)它们的‘倾斜程度’不同. 怎样描述这种‘倾斜程度’ 的不同? 引入直线的倾斜角的概念: 当直线 l 与 x 轴相交时, 取 x 轴作为基准, x 轴正向与直线 l 向上方向之 间所成的角α叫做直线 l 的倾斜角 ．．．.特别地,当直线 l 与 x 轴平行或重合时
规定a=0° 问:倾斜角α的取值范围是什么? ≤α<180° 当直线1与x轴垂直时,a=90 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度,引入直线的倾 斜角之后,我们就可以用倾斜角a来表示平面直角坐标系内的每一条直线 的倾斜程度 如图,直线a∥b∥c,那么它们 的倾斜角a相等吗?答案是背定的所以一个倾斜角a不能确定一条直线 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素:一个点P和一个倾斜 角a (二)直线的斜率: 条直线的倾斜角a(a≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率斜率常用小 写字母k表示,也就是 k tan a (1)当直线1与x轴平行或重合时,a=0°,k=tan0°=0; (2)当直线l与x轴垂直时,a=90°,k不存在 由此可知,一条直线1的倾斜角a一定存在,但是斜率k不一定存在 例如,a=45°时,k=tan5°=1; a=135°时,k=tan135°=tan(80°-45°)=-tan45°= 学习了斜率之后,我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度 (三)直线的斜率公式: 给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2的斜率? 可用计算机作动画演示:直线PP2的四种情况,并引导学生如何作辅助线 共同完成斜率公式的推导.(略) k y3 y 2 斜率公式:
规定α= 0°. 问: 倾斜角α的取值范围是什么? 0°≤α＜180°. 当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°. 因为平面直角坐标系内的每一条直线都有确定的倾斜程度, 引入直线的倾 斜角之后, 我们就可以用倾斜角α来表示平面直角坐标系内的每一条直线 的倾斜程度. 如图, 直线 a∥b∥c, 那么它们 Y X a b c O 的倾斜角α相等吗? 答案是肯定的.所以一个倾斜角α不能确定一条直线. 确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素: 一个点 ．． ．P．和一个倾斜 ．．．．． 角α．．. (二)直线的斜率: 一条直线的倾斜角α(α≠90°)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小 写字母 k 表示,也就是 k = tanα ⑴当直线 l 与 x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; ⑵当直线 l 与 x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在. 由此可知, 一条直线 l 的倾斜角α一定存在,但是斜率 k 不一定存在. 例如, α=45°时, k = tan45°= 1; α=135°时, k = tan135°= tan(180°－ 45°) = - tan45°= - 1. 学习了斜率之后, 我们又可以用斜率来表示直线的倾斜程度. (三) 直线的斜率公式: 给定两点 P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,如何用两点的坐标来表示直线 P1P2 的斜率? 可用计算机作动画演示: 直线 P1P2 的四种情况, 并引导学生如何作辅助线, 共同完成斜率公式的推导.(略) 斜率公式:
对于上面的斜率公式要注意下面四点: (1)当x1=x2时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角a=90°,直 线与x轴垂直; (2)k与P1、P2的顺序无关,即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同时 交换,但分子与分母不能交换; (3)斜率k可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4)当y1=y2时,斜率k=0,直线的倾斜角a=0°,直线与x轴平行或重合 (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到. 四)例题 例1已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直线AB,BC,CA的斜率,并判断它们 的倾斜角是钝角还是锐角(用计算机作直线图1即可求得k的值 分析:已知两点坐标,而且x1≠x2,由斜率公式代入 而当k=tana<0时,倾斜角a是钝角; 而当k=tana>0时,倾斜角a是锐角; 而当k=tana=0时,倾斜角a是0 略解:直线AB的斜率k1=1/7>0,所以它的倾斜角a是锐角; 直线BC的斜率k2=0.5<0,所以它的倾斜角a是钟角; 直线CA的斜率k3=1>0,所以它的倾斜角a是锐角 例2在平面直角坐标系中,画出经过原点且斜率分别为1,-1,2,及-3的直 线a,b,c,L 分析要画出经过原点的直线a,只要再找出a上的另外一点M.而M的坐 标可以根据直线a的斜率确定;或者k=tana=1是特殊值,所以也可以以原 点为角的顶点,x轴的正半轴为角的一边,在x轴的上方作45°的角,再把 所作的这一边反向延长成直线即可 略解:设直线a上的另外一点M的坐标为(x,y),根据斜率公式有 l=(y-0)/(x-0) 所以 可令x=1,则y=1,于是点M的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1),可作直线 同理,可作直线b,c,L(用计算机作动画演示画直线过程) (五练习:P911. (六)小结 (1)直线的倾斜角和斜率的概念 (2)直线的斜率公式 (七课后作业:P94习题3.11.3. (八)板书设计:
对于上面的斜率公式要注意下面四点： (1) 当 x1=x2 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角α= 90°, 直 线与 x 轴垂直； (2)k 与 P1、P2 的顺序无关, 即 y1,y2 和 x1,x2 在公式中的前后次序可以同时 交换, 但分子与分母不能交换; (3)斜率 k 可以不通过倾斜角而直接由直线上两点的坐标求得; (4) 当 y1=y2 时, 斜率 k = 0, 直线的倾斜角α=0°，直线与 x 轴平行或重合. (5)求直线的倾斜角可以由直线上两点的坐标先求斜率而得到． (四)例题: 例 1 已知 A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线 AB, BC, CA的斜率, 并判断它们 的倾斜角是钝角还是锐角.(用计算机作直线, 图略) 分析: 已知两点坐标, 而且 x1≠x2, 由斜率公式代入即可求得 k 的值; 而当 k = tanα<0 时, 倾斜角α是钝角; 而当 k = tanα>0 时, 倾斜角α是锐角; 而当 k = tanα=0 时, 倾斜角α是 0°. 略解: 直线 AB 的斜率 k1=1/7>0, 所以它的倾斜角α是锐角; 直线 BC 的斜率 k2=-0.5<0, 所以它的倾斜角α是钝角; 直线 CA 的斜率 k3=1>0, 所以它的倾斜角α是锐角. 例 2 在平面直角坐标系中, 画出经过原点且斜率分别为 1, -1, 2, 及-3 的直 线 a, b, c, l. 分析:要画出经过原点的直线 a, 只要再找出 a 上的另外一点 M. 而 M 的坐 标可以根据直线 a 的斜率确定; 或者 k=tanα=1 是特殊值,所以也可以以原 点为角的顶点,x 轴的正半轴为角的一边, 在x 轴的上方作 45°的角, 再把 所作的这一边反向延长成直线即可. 略解: 设直线 a 上的另外一点 M 的坐标为(x,y),根据斜率公式有 1=(y－0)／(x－0) 所以 x = y 可令 x = 1, 则 y = 1, 于是点 M 的坐标为(1,1).此时过原点和点 M(1,1), 可作直线 a. 同理, 可作直线 b, c, l.(用计算机作动画演示画直线过程) (五)练习: P91 1. 2. 3. 4. (六)小结: (1)直线的倾斜角和斜率的概念． (2) 直线的斜率公式. (七)课后作业: P94 习题 3.1 1. 3. (八)板书设计:
直线倾斜角的概念 3例1… 练习1练习3 2.直线的斜率 4例2……练习2练习4 两条直线的平行与垂直(3.1.2) 教学目标 (一)知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直 能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结 合能力 (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式 激发学生的学习兴趣 重点:两条直线平行和垂直的条件是重点,要求学生能熟练掌握,并灵活运用 难点:启发学生,把研究两条直线的平行或垂直问题,转化为研究两条直线的斜率的关 系问题. 注意:对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况,在课堂上老师应提醒学生注意解 决好这个问题 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课,我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念,而且知道可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于x轴的倾斜程度,并推导出了斜率的坐标计算公式.现在,我们来研究能否 通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直 讨论:两条直线中有一条直线没有斜率(1)当另一条直线的斜率也不存在时,两直线的倾斜 角都为90°,它们互相平行;(2)当另一条直线的斜率为0时,一条直线的倾斜角为90°, 另一条直线的倾斜角为0°,两直线互相垂直 (二)两条直线的斜率都存在时,两直线的平行与垂直 设直线L1和I2的斜率分别为M和k2我们知道,两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的,而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的.所以我们下面要研 究的问题是:两条互相平行或垂直的直线它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合的情形.如果L1∥L2(图1-29),那么它们的倾斜角相 等:a1=a2.(借助计算机,让学生通过度量,感知a1,a2的关系)
两条直线的平行与垂直(3.1.2) 教学目标 (一)知识教学 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直. (二)能力训练 通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用已有知识解决新问题的能力, 以及数形结 合能力． (三)学科渗透 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式, 激发学生的学习兴趣． 重点：两条直线平行和垂直的条件是重点，要求学生能熟练掌握，并灵活运用． 难点：启发学生, 把研究两条直线的平行或垂直问题, 转化为研究两条直线的斜率的关 系问题． 注意：对于两条直线中有一条直线斜率不存在的情况, 在课堂上老师应提醒学生注意解 决好这个问题． 教学过程 (一)先研究特殊情况下的两条直线平行与垂直 上一节课, 我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念, 而且知道,可以用倾斜角和斜率来 表示直线相对于 x 轴的倾斜程度, 并推导出了斜率的坐标计算公式. 现在, 我们来研究能否 通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直． 讨论: 两条直线中有一条直线没有斜率, (1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜 角都为 90°，它们互相平行；(2)当另一条直线的斜率为 0 时，一条直线的倾斜角为 90°， 另一条直线的倾斜角为 0°，两直线互相垂直． (二)两条直线的斜率都存在时, 两直线的平行与垂直 设直线 L1 和 L2 的斜率分别为 k1 和 k2. 我们知道, 两条直线的平行或垂直是由两条直线 的方向决定的, 而两条直线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的. 所以我们下面要研 究的问题是: 两条互相平行或垂直的直线, 它们的斜率有什么关系? 首先研究两条直线互相平行(不重合)的情形．如果 L1∥L2(图 1-29)，那么它们的倾斜角相 等：α1=α2．(借助计算机, 让学生通过度量, 感知α1, α2 的关系) §3.1.1…… 1．直线倾斜角的概念 3.例 1…… 练习 1 练习 3 2. 直线的斜率 4.例 2…… 练习 2 练习 4
∴tgαl=tg 即k1=k2 反过来,如果两条直线的斜率相等:即k1=k2,那么tga1=tga2 由于0°≤a1<180°,0°≤a<180°, 又∵两条直线不重合, LI∥I 结论:两条直线都有斜率而且不重合,如果它们平行,那么它们的斜率相等;反之,如果它 们的斜率相等,那么它们平行,即112分k1=k2 注意:上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的,缺少这个前提,结论 并不成立.即如果k1=k2,那么一定有LI∥L2;反之则不一定 下面我们研究两条直线垂直的情形 如果L⊥L2,这时a1≠a2,否则两直线平行 设a2<a1(图1-30,甲图的特征是L1与I2的交点在x轴上方;乙图的特征是L与I2 的交点在x轴下方;丙图的特征是L1与L2的交点在x轴上,无论哪种情况下都有 因为L1、L2的斜率分别是kI、,即α1≠90°,所以a2≠0° 即k1=-或kk2=-1.∴tQ1=tg(90°+02) 反过来,如果k1=、7 即k1·k2=-1.不失一般性.设k1<0, k2>0,那么1=02=0+2) 可以推出:a1=90°+a2. L1⊥L2 结论:两条直线都有斜率,如果它们互相垂直,那么它们的斜率互为负倒数;反之,如果它 1 们的斜率互为负倒数,那么它们互相垂直,即 1⊥12分k1=-分k1k2=-1
∴tgα1=tgα2． 即 k1=k2． 反过来，如果两条直线的斜率相等: 即 k1=k2，那么 tgα1=tgα2． 由于 0°≤α1＜180°， 0°≤α＜180°， ∴α1=α2． 又∵两条直线不重合， ∴L1∥L2． 结论: 两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它 们的斜率相等，那么它们平行，即 注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在 ．．．．．．．．的前提下才成立的，缺少这个前提，结论 并不成立．即如果 k1=k2, 那么一定有 L1∥L2; 反之则不一定. 下面我们研究两条直线垂直的情形． 如果 L1⊥L2，这时α1≠α2，否则两直线平行． 设 α2＜α1(图 1-30)，甲图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上方；乙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴下方；丙图的特征是 L1 与 L2 的交点在 x 轴上，无论哪种情况下都有 α1=90°+α2． 因为 L1、L2 的斜率分别是 k1、k2，即α1≠90°，所以α2≠0°． ， 可以推出 : α1=90°+α2． L1⊥L2． 结论: 两条直线都有斜率 ．．．．．．．．，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它 们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即