方坯连铸凝固过程冷却的最优化

D0I:10.13374/i.issn1001-053x.1991.s1.003 第13卷第4(I)期 北京科技大学学报 Vol.13No.4(I) 1991年7月 Journal of University of Science and Technology Beijing July 199t 方坯连铸凝固过程冷却的最优化 张风禄·李劲东· 摘要：建立了方还连铸冷却最优化数学榄型，用于确定最优二冷制度和最大拉速。应用 分布参数系统最优化控制理论，对此最优化问题进行了分析求解。模型还应用于某厂方坯 连铸，进行优化计算，证明模型是合理的。 关健词：二次冷却，冶金冷却准则，分布参数系统，最优化 Optimization of Cooling Condition in Billet Continuous Casting Zhang Fenglu Li Jingdong ABSTRACT:An optimal model of cooling condition in billet continuous casting is setted up.It is suit for the making choice of optimal secondary cooling scheme and maxinum casting speed.This optimization problem is analyzed with the optimal control theory of separated parameter system.The model has been applied in production and it has been proved to be reasonable. KEY WORDS:secondary cooling,metallurgical cooling criteria,separated para- meter system,optimization 随着连铸技术的迅速发展，对铸坯质量和对铸机的生产能力有更高的要求，而这在很大 程度上取决于它的冷却制度和浇注速度。 冷却制度的最佳目标是最大生产率和高质量的产品。已往的冷却制度的确定都是以实 验或以传热模型的预测为基础的，实践表明，这些方法很难找到最佳冷却制度，不能充分发 1991-05-06收稿 ·热能工程系(Department of Encrgy Engincering) 16

第一 卷第 期 。 ，一年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 立 。 。 ，马 方坯连铸凝固过程冷却的最优化 张凤禄 ’ 李劲东 ’ 摘 要 建立 方坯连铸 冷却最 优化数学模 型 ， 用于确 定最优二冷制度和最大拉速 。 应用 分 布参数 系 统最优 化控 制理论 ， 对 此最 优化问题进 行 了分析求 解 。 模 型 还 应 用 于某厂 方坯 连 铸 ， 进行优化计算 ， 证 明模型 是 合理 的 。 关健 词 二 次 冷却 ， 冶金 冷却 准 则 ， 分布参数 系统 ， 最优化 。 夕 尸 夕 “ 五 夕 ， ， ， ， 乌 随着连铸技术的 迅速发展 ， 对铸坯 质量和对铸机 的生产 能力有更高的 要求 ， 而 这在很大 程度上取决于它 的 冷却制度和浇注速度 。 冷却制度的最佳 目标是最大生产率和高质量的 产品 。 已往的 冷却制度的确定 都 是 以 实 验或以传热模型 的 预测 为基础的 ， 实践 表明 ， 这些 方法很难找到 最 佳冷却制度 ， 不 能充分发 一 一 收稿 热 能工程 系 几 口 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1991．s1．003

挥铸机潜在的生产能力。为此，本文将建立一个最优冷却控制模型，克服上述方法之不足， 来确定方坯连铸最优冷却制度和最大生产率。 目前，连铸机的生产过程最优化模型都是按物理化学规律或统计规律建立起来的：1， 其中最有代表性的是根据治金谁则建立起来的最优化模型【2)，这个模型物理意义明确、易 懂，在计算机上容易实现，它的主要缺点是采用分段平均传热系数作为控制变量，没有考虑 到喷水冷却的间断冲击性的影响，不能准确地描述铸坯的温度变化，使优化结果的准确性受 到影响。本文将根据文献〔2〕的思路，在此基础上进行改进，将连铸冷却最优化问题化成一 个分布参数系统最优控制问题，然后用最优控制理论和方法进行分析求解。 1最优控制模型的建立 最优控制模型通常是由系统状态方程和目标函数及约束条件构成的。其中目标函数是反 映系统性能指标要求。由于治金冷却准则是以温度来表示治金上的要求，是保证铸坯质量的 前提条件。因此，本文将根据这些准则，建立连铸生产过程的质量目标函数。此外，系统状 态可由传热方程来描述，这样就构成一个最优控制问题。 1,1治金冷却准则及其目标函数 治金冷却准则是从大量的研究实践总结出来的，具有普遍意义。下文用到符号： a=a, 当a≥0 a+=0, 当a<0 (1)对治金长度的限制及其目标函数这个谁则要求铸坯在到达矫直时完全凝固以保证 凝固前沿不因在矫直应力的作用下而产生裂纹和偏析。用数学描述为： T(x,y,t)≤Tg 它的相应的目标函数可写成： 1(o(dxdy (1) 式中T、t:分别是固相温度和矫直时间，h、hy为传热系数，a,为方坯尺寸，当J:=0时，表 明满足准则要求。 (2)矫直点表面温度的限制及其目标函数这个准则要求在矫直点处的表面温度避开低 延展性区，即避开温度700~900℃。因此，这里要求在矫直点处的最低温度不能低于900℃， 即： T(x,y,tt)T 其月标函数为： J2(h,点，)=∫gg(cT1-T1-)2dxdy (2) (3)铸坯鼓肚的限制及其目标函数鼓肚将引起凝固前沿产生拉应力，可能导致凝固前 17

挥铸机潜在的生产能力 。 为此 ， 本文将 建立一 个 最优 冷却控制模型 ， 克服上述 方法之不足 ， 来 确定 方坯连铸最优冷却 制度和最大生产率 。 目前 ， 连铸机的 生产过程最优化模型都是按物理化学规律或 统 计规律建立起来的 ‘ ” ， 共中最有代表性的是根据冶金推 则建立起来 的 最优 化模型 〔 “ 〕 ， 这个模型 物理意义明确 、 易 懂 ， 在计算机上容易实现 ， 它的 主要 缺点是采用分 段平均传热系数作为控制 变量 ， 没 有考虑 到喷 水冷却的 间断冲击性的影响 ， 不 能准确地描述铸坯的 温度变化 ， 使优化结果的准确性受 到影响 。 本文将根据文 献 〔幻 的思路 ， 在此 基础上 进行改进 ， 将连铸冷却最优化 问题化 成一 个分 布参数系统最优控制 问题 ， 然后 用最优控制理论和方 法进行分 析求解 。 最优控制模型的建立 最优控制模型通 常是由系统状态 方程和 目标 函数及 约 束条 件构成的 。 其中 目标 函数是反 映系统性能指标要求 。 由于冶金冷却准则是 以温度来 表示冶金上 的要求 ， 是保证铸坯质量的 前提条件 。 因此 ， 本文将根据这些 准则 ， 建立连铸生产过程的 质量 目标函数 。 此 外 ， 系统状 态可 由传热方程来描述 ， 这 样就构成一 个最优控制问题 。 冶 金冷却准则 及其 目标 函数 冶金 冷却准 则是从大量的研 究 实践总结 出来 的 ， 具有普遍意义 。 下文 用到符号 。 二 。 ， 当 ， 当 对冶金长度的限 制及其 目标函数 这个准则要求铸坯在到达矫直 时完全 凝固以保证 凝固前沿不因在矫直 应力的 作用下而产生 裂纹和偏析 。 用数学描述 为 戈 ， 夕， 攫 。 它 的相 应的 目标 函数可写 成 ‘ · ， ” · · 二 。 几 。 ‘ 〔 ‘ 。一 一 · 〕 · ， ’ 二 ‘ ， 式中 。 、 ，分 别是 固相 温度和 矫直时 间 ， 二 、 为传热 系数 ， “ 。 为方坯尺 寸 ， 当 ， 二 时 ， 表 明满足准 则要求 。 矫直点 表面温度的限 制及 其 目标函数 这 个准则要求在矫直点处的 表面 温度避开低 延展性区 ， 即避开温度 一 ℃ 。 因此 ， 这里要录在矫直 点 处的 最低温度不 能低于 ℃ ， 且 ， 夕， 其 目标函数为 ， ‘ ， “ ， 卜 。 二 。 〔 一 ， ，一 ， 〕 · ， “ 二 ‘ 铸坯鼓肚的限制及其 目标函数 鼓肚将 引起凝固前沿产生拉应力 ， 可 能导致凝固前

沿断裂和偏折，因此必须加以限制。通常板坯表面温度不应超过1100℃·小方坯不要超过 1250℃，用数学描述为： T(x,a0,t)或T(aa,,t)≤Tmx 其相应的目标函数： (hh))dydt +(c71。-T2dy (3) (4)表面温度均匀性准则及其目标函数铸坯表面温度回升和下降对质量有很大的影 响，温度回升将导致凝固前沿产生张应力；温度下降使表面处于张应力状态，可能助长裂纹 的形成。由于连铸机的喷水是间断冲击冷却过程，使铸坯表面温度变化很大，并且不光滑连 续，因此，不能用通常的温度梯度来作为铸坯表面温度均匀性的指标，只能用波动幅值和波 动趋向来描述其性能指标，即通过限制温度的波动幅度和波动趋向，保证铸坯表面温度满足 均匀性准则。对此，文献〔3)已表明这一点，它指出，温度回升和下降速度及升降频率对凝 固前沿的热应力影响不大，而温度回升的幅值影响很大，通常不应超过150℃。为此，本文 将通过用上、下温度限不超过100℃方法来限制表面温度的上、下波动的幅值，以保证满足 表面温度均匀性准则。·其数学描述为： Tmtn≤T(ao,,t)或T(x,ao,t)≤Tmax 其目标函数为： Jh,点，）=g(c-Tlk+T)dyd +gc-T1+7.ydxd (dgds +∫i(T1-T2dxd (4) 1,2工艺约束及最小水量目标 喷嘴、水路的使用是有范围限制的，因此，传热系数就存在有上、下限的问题，即： hmtn≤h,或 hy≤hmax (5) 为了节约用水，减少生产成本，这里将建立最小用水目标，即： .,,)=Jg候dwd+g0dxd (6) 1,3最优控制模型 根据连铸凝固传热特点，系统状态可写为： 18

沿断 裂和偏折 ， 因此 必须加 以限 制 。 通 常板坯 表面温度 不 应超过 ℃ ， 小方坯不要超过 ℃ ， 用数学描述为 二 ， 。 ， 或 。 ， 夕， 二 。 二 其相应的 目标函数 ‘ · ， “ 艺 。 ‘ 〔 ，一 。 一 二 二 〕 ‘ ，“ ‘ ‘ 。 ‘ 〔全‘一 。 一 ，二 二 〕 ” ’ ’ ‘ 表面温度均匀性准则及其 目标函 数 铸坯 表面温度回升和下降对质 量 有 很 大的影 响 ， 温度回升将导致凝固前沿产生张应力 温度下降使表面处于张应力状态 ， 可能助长裂纹 的形成 。 由于连铸机的喷水是 间断 冲击 冷却过程 ， 使铸坯 表面 温度变化很大 ， 并且不光滑连 续 ， 因此 ， 不能用通常的温度梯度来 作为铸坯 表面温度均匀性的 指标 ， 只 能用波动幅值和波 动趋 向来描述其性能指标 ， 即通过限 制温度的波动幅度和波动趋 向 ， 保证铸坯表面温度满足 均匀性准则 。 对此 ， 文献〔 〕 已表明这一点 ， 它指出 ， 温度回升和下降速 度 及升降频率对凝 固前沿 的热 应力影响不大 ， 而温度回 升的 幅值影响很大 ， 通 常不应超过 ℃ 。 为此 ， 本文 将通过用上 、 下温度限不超过 ℃ 方法来限制表面温度的上 、 下波动的 幅值 ， 以 保 证满足 表面温度均匀性准则 。 其数学描述为 ， 。 。 ， 岁， 或 ， 。 ， 成 。 二 其 目标函数为 ， ， 丁二 。 ‘ 〔 一 ，一 。 · 〕 ‘ ’ “ “ 。 〔 一 ， · … 。 工 · 〕 ‘ ， ‘ ’ · ‘ 。 ‘ 〔 ，一 。 二 〕 ” “ ‘ 。 ‘ 〔 ，一 二 二 〕 ‘ ’ “ “ ‘ 工艺 约束及最 小水盆 目标 喷嘴 、 水路的使用是有范围限 制的 ， 因此 ， 传热系数就存 在有上 、 下限 的 问题 ， 即 。 提 二 或 镇 、 为 了节约 用 水 ， 减少生产 成本 ， 这里将建立最小用水 目标 ， 即 ‘ ‘ “ 一 “ · ，· 艺 。 “ ‘ ‘ ’ “ · ， 优控 制摸型 根据连铸 凝固传热特点 ， 系统 状态可写为 目 ‘

(7.1) 而k=a+bT 这样pc,7=(a+bT)-(T+2T 0x2+ )+b(2+> (7.2) 为书写方便起见，写成： pcp-T:=(a+b.T).(Txx+Tyy)+b.(T+T) (7.3) Tl=Ta (8) -(a+bT).Tx!x-0; -(a+bT).Tl0=0 (9) -(a+bT).Tx!xme=hx(TIxme-T.) (10) -(a+bT)T,ly-o0=h,(TIm0-T.) (11) 在固相线S上有： -a+b.)…g10=-a+bT-g船。 (12) Tls-o=TIs+0 (13) 在液相线1上有： -(a+b7-船1,0=-a+b7)-8识10 (14) TlI-o=TlI+o (15) 系统的指标函数由上述的目标函数组成，可写成： (h,h,)=e1.+82.J2+83.13+84.J4+esJs =j88gdxdg+j89dxdy+jgg,dya dd+e8dxd (16) 式中ε，i=1,2,3…是比例系数，用于调节各准则的相对重要性。go,9x,9,是合并得到的 函数。 因此，由上述的传热方程、目标函数和式(5)的约束条件构成具有约束条件的分布参数 系统的最优控制问题。 2最优控制问题的分析 最优控制问题就是选择合理的控制规律使目标函数值最小。 19

沪 ， 、 ， 、 一 丽一 丽 ‘ 不石 十 万以百 “ 。 下叮 水 、片人‘ 这样 ，…子 一 一 “ · 袋 豁卜 “ 豁 芸 ， 。 为书写方便起见 ， 写 成 。 ， · ， · 二 · 愁 州 ， 。 ， ， 二 。 一 。 。 一 川， 。 。 一 ， ， 。 二 一 。 。 一 。 一 · ， ，。 。 。 ， ， 。 。 。 一 。 。 在 固相 线 上 有 一 十 ， ， ， 。 、 ， 丽 一 “ 二 一 “ 十 “ ” ’ 而 一 十 。 、 。 ， 。 在液相 线 上 有 一 · 。 卜 豁 ， 。 一 · ” · 器 ， 了一 ， 。 ，十 。 系统 的 指标函数由上述 的 目标函数组成 ， 可写成 二 ， ， ￡ 一 、 君 一 ￡ 一 ￡ 一 ￡ 。 。 ’ 。 、 。 · ‘ ‘ 。 。 · ‘ ， 。 。 · ‘ 少 ‘ · · 丁 ” ” ‘ 一 丁 。 “ · ‘ 式中 ， 二 ， ， “ 是 比例 系数 ， 用于 调节各准 则的相 对重要性 。 夕。 ， 二 ， 夕， 是合并得到 的 函数 。 因此 ， 由上述的 传热 方程 、 目标函数和式 的约束条 件构成具有约束条 件的分布参 数 系统 的最优控 制问 题 。 最优控制问题的分析 最优控制问题就是选择合理的控制规律使目标函数值最小

2.1用变分法导出最优控制条件(7) 上述最优控制问题就是一个具有约束条件的极值问题。根据变分学中的拉氏乘子法，把 上述条件极值问题化为无条件极值问题，即： 7,a,)=a,A,）+∫gH.dxdd -J0pc,7,dxdi (17) 其中H=(x,y,t)〔(a+bT)(T+T,y)+b(T是+T)门，(x,y,)为拉氏乘子。略去高 阶小量，对无条件极值进行变分，得： 6J=J(h,+6h,h,+6h,)-J(h:,h,)0 (18) 经积分转换、化简，最后得到最优控制条件：拉氏乘子元(x,y,t)应满足方程： pcp2,+(a+b.T)(x:+2yy)=0 (19) pc…a刘，-8l1 (20) -(a+bT)lx=0=0;-(a+bT)2yly-0=0 (21) -（a+bT)=iA-9器l… (22) -a+bT)a,。=h,-9器1，… (23) 梯度方向及极值条件： 67()1xdyd (24) ≥0 6:-J802s,-aT-T.l…5i,dxdt ≥0 (25) 当hx、h,无约束时，极值条件就是梯度为零，当有约束时，沿着梯度的反方向找到极值点。 显然，上述的传热方程、伴随方程和极值条件构成偏微分方程组的定解问题，将能求出最优 解。 2,2相变界面上的不光滑连续问题4？ 由于在相变界面上，温度变化不是光滑连续的，要使问题有解，伴随函数必须要满足一 定的条件。这个问题可以根据相变界面为界分区，化成3个最优控制的子问题来讨论，通过 对它们进行变分、叠加，导出与总变分保持一致的情况下的连续条件<4)，最后得出： 在液相线上， 2|1-0=元1+0 (26) 20

用 变分 法导出最优控制条 件 ‘ 〕 上述最优控制问题就是一 个 具有约 束条 件的极值问题 。 根据变分学中的拉 氏乘子 法 ， 把 上 述条 件极值问题化为无条 件极值问题 ， 即 了“ 一 “ ， ‘ “ 一 “ ， 卜 歹二 。 了几 ” · ‘ 二 ， 一 尔 。 仁 “ · ” …， ， · “ 夕 “ 其中 久 ， 夕， · 〔 · 二 二 ， ， 多 签 〕 ， 久 ， ， 夕， 为 拉 氏乘子 。 略去高 阶小量 ， 对无条 件极值进行变分 ， 得 咨 二 二 ， ， 占 ， 一 ， ， 经 积分转换 、 化简 ， 最 后得到最优控制条 件 ， 拉 氏乘子 久 ， ， 应满足方程 户 ， · 几 ， 一 · 几 ， 又 ， ， 尸 久 ，一 ， 币了 一 ’ ‘ ‘ 一 · 久 二 ，一 。 一 · 久 】 ， 。 ， ， ， 、 。 ， ， ‘ 。 夕戈 、 一 、 “ 十 夕’ 八 ‘ 一 、 “ ’ 八 一 万了 一 夕 一 一 “ 久 ， ， 。 。 。 梯度方向及 极值条件 “ ， · “ 一 豁 ， 一 。 。 。 〔 一 “广 “ · ‘ 一 丁 · ，〕 ’ · · … ‘ “ · ‘ 李 。 ， 几 。 〔 一 “ 一 “ ‘ 一 。 ，〕 ，一 ‘ “ 二 二 “ 当 、 ， 无约束 时 ， 极值条 件就是 涕度为 零 ， 当有约束时 ， 沿着梯度 的反方向找到极值点 。 显然 ， 上述的传热方程 、 伴随 方程和极值条件构成偏微分 方程组的定解问题 ， 将能求 出最优 解 。 。 相 变界面 上的不 光滑 连续向题 ‘ 〕 由于在相 变 界面上 ， 温度 变化不是光滑连续的 ， 要使问题有解 ， 伴随 函数必须要满足一 定 的条件 。 这个 问题可以根据相 变 界面为 界分 区 ， 化成 个最优控制的子 问题来讨论 ， 通过 对它们进行变分 、 叠加 ， 导 出与总 变分保持一致的 情况下的连 续条件 〔 呜 ’ ， 最后得出 在液相线上 ， 久 一 。 久