孔型轧制中金属三维变形的模拟

D0I:10.13374/i.issn1001053x.1990.01.008 第12卷第1期 北京科技大学学报 Vol.12 No.1 1990年1月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jan.1990 孔型轧制中金属三维变形的模拟 王 进苏逢西 (压力加工系) 摘要：将双流函数法进行推广，设定出了对任意的孔型形状严格满是速度边界条 件的速度场：并用若干相交平面代替人口刚塑性变界面使速度不连续条件得到满足：用罚 函数法使体积不变条件得到满足，找到了一个用上界法模拟复杂孔型中金屈三维变形的一 般途径，提出了一个通用的速度场以5*和2*角铜的切分孔轧制为例，进行了模拟计算和相 应的物理模拟实坠。求出了孔型的充满，变形区的形状，变形区内金属流线的形状，速度 场，应变速率场，应力场以及轧制压力，前滑，延伸等参数。模拟计算值与实验值基本吻 合。这种模拟复杂孔型中金属三维变形的一般方法，为CRD技术的进一步发展打下了基 础。 关键词：孔型轧制，金屈三维变形，金属流动，计算机辅助孔型设计(CARD) R Simulation of Three Dimensional Metal Deformation in Caliber Rolling Wang Jin Su Fengxi ABSTRCT:The dual-stream functions method is improved and applied to establish the velocity field which strictly satisfies velocity boundary conditions of arbitrary caliber configurations.The rigid-plastic interface at the entrance is re- placed by several planes so that the veloclty discontinuity condition at the entr- ance is satisfied.Penalty function algorithm is applied to make the incompressibity condition be satisfied.Then,in complex caliber rolling,a general method for the simulation of three dimensional metal deformation is found and a general velocity field which can be used in arbitrary three dimensional metal flow is formulated. KEY WORDS:caliber rolling,three d'mensicna!metal defcrmation,metal flow,CARD 1988一11-24收稿 43

、 、 第 卷第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 孔型轧制 中金属三维变形的模拟 王 进 苏逢西 压 力加 下 系 摘 要 将双 疏 函 数法 进行推广 ， 设 定 出 了对任意 的 孔 型 形状 严格满足 速度边 界条 件的 速 度 场 多 并用若 千相 交 平 面代 替人 口 刚塑性 变界 面使速度不 连 续 条件得 到满足 多 用 罚 函 数法 使体 积不 变条 件得 到 满足 ， 找到了一个用上 界 法模拟 复杂 孔型 中金属三 维变形 的 一 般途径 ， 提 出 了一个 通 用的 速度 场 。 以 和 手 角钢的 切分 孔 轧制 为例 ， 进行 了 模拟计算和相 应 的 物 理 模拟 实验 。 求 出 了孔 型 的 充满 ， 变形 区 的形 状 ， 变形 区 内 金属流 线 的形 状 ， 速度 场 ， 应 变速率场 ， 应 力 场以 及 轧制压力 ， 前滑 ， 延伸 等 参数 。 模拟 计算 值 与实验值基 本吻 合 。 这 种模拟 复杂 孔 型 中金 属三维 变形的 一般 方 法 ， 为 技 术的 进 一步 发 展 打下 了基 础 。 关键 词 孔 型 轧 制 ， 金 属三 维 变 形 ， 金 属流 动 ， 计 算机辅 助 孔 型 设计 入 牙 儿 ” 劣 卜、 一 · 一 一 宝 ， ， 又 ， 了 。 ， ’ 切 。 毛 力 ， 环 · ， 日 一 一 收 稿 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1990．01．008

轧制过程的变形模拟是计算机辅助孔型设计(CARD)技术是否成功的关键之一，但是复 杂孔型中金属的三维变形模拟到现在还没有解决。以往在研究复杂孔型中金属的流动时，常 常将孔型几何形状进行转化，这种转化大大影响了模拟结果的精度。 本文在对任何复杂的孔型形状不进行丝转化的条件下，提出了一个用改进的上界法来 模拟孔型轧制中金属三维变形的-·般途径。这种方法既可以用于CARD技术，又可以用于指 导现场生产。 1改进的上界法及一般的三维变形速度场 上界法的基本原理是刚塑性体的第一变 y Interscetion line of work 分原理，在此基础上Kobayashi【1J进行了改 piece and upper roll 进，指出：使能串泛函取得极值的运动许可 , Upper roll 的速度场对某一给定形状是稳定的，那么这 ( F(x2) 个形状和速度场就是这一包含自由边界问题 (x2) 的解。解的精度和计算时间与所设定的速度 IVk(=) Lower roll 场有关。 G(x.2) 为了使速度场适合于任意孔型形状，设 Intersectlon line I of workpiece and 变形区中坐标系如图1示：其中，x轴与下 lower roll 辊轴线重合，上、下辊面方程分别为y= F(x,2)及y=G(x,2)。 Roll direetion Rolling direction 1.1速度边界条件 图1变形区中坐标系 将V,Nagpal提出的双流函数法【2】进 Fig.1 Coordinate in deformation zone 行推广，应用到型钢轧制中来。先设定一个 流函数X(x,y,2),Y(x,y,2)=(y-G)1(F-G),使上、下辊面同时为流表面，从而使 速度边界条件得到满足；再设定另外一个流函数中(x,y,2)使速度场对设定的变形区左、 右边界W4(x,2)=W:(2)-x=0及Wn(x,z)=WR(2)-x=0是稳定的；即： v.grad(W)=0 在x=W(2)上 (1) v·grad(Wa)=0在x=WR(2)上 其中：v为速度矢量。 这样求出的速度场为： .=[(WR-x)dwv/dz+(x-WL)dw a!dz]v.(x,y,2)/(W w-WL) Uy=-Ux (y-F)OGlx(G-y)oF/0xv(y-F)0Glz+(G-y)oFioz F-G F-G v,=0,(x,y,2) (2) 44

轧 制过 程的变形 模拟 是 计算机辅 助孔 型设计 技 术是否 成功 的关 键之 一 ， 但是 复 杂 孔 型中金属 的三维变形 模拟到 现 在还没 有解决 。 以 往在研 究复杂 孔 ‘ 型 中金属 的流动时 ， 常 常将孔 型 几何 形状 进行转化 ， 这种转化 大大 影响 了 模拟 结果 的 精 度 。 本文 在对 任何 复杂 的孔 型 形状 不进行丝毫转化 的条件下 ， 提 出了 一个 用 改 进 的上界法来 模拟孔 型 轧 制中金 属三维 变形的一搬途径 。 这种 方法既 可以 用于 技术 ， 又可 以用 于指 导 现 场生 产 。 改进的 上 界法及 一 般的 三维变形速度场 上界 法 的基 本原 理是 刚塑性体 的第一 变 分原理 ， 在此 基础 上 了 ’ 进行 了改 进 ， 指 出 使能率 泛 函取 得 极值 的运 动许可 的速度场 对某一 给定 形状 是稳定 的 ， 那 么这 个 形状和 速度场 就 是 这 一 包含 自由边界问题 的解 。 解 的精度和 计 算时 间与所 设定的速度 场有关 。 为 了使速度场 适 合于 任意孔 型形状 ， 设 变形 区中坐标 系如 图 示 其 中 ， 二 轴 与下 辊轴线重 合 ， 上 、 下辊面 方 程 分 别 为 二 ， 及 二 二 ， 的 。 份、 ‘ ， 卜 · 户 是乏 ，， 馆 速 度边 界条 件 将 提 出的双流函数 法 ’ 进 行推广 ， 应 用到型 钢轧 制 中来 。 先 设定一个 图 变形 区 中坐 标系 「 一 若 屯 流 函数 二 ， 夕， “ ， ， ， “ 一 ‘ 一 ， 使上 、 下 辊面 同时为流 表面 ， 从 而 使 速 度边界 条件得到 满 足 再 设定 另 外 一个流 函数 功 ， 夕， 使 速度场 对 设定 的 变形 区左 、 右边 界才 ， 习 附 一 二 。 及 附 。 ， 班 一 二 二 。 是稳定 的 即 石 ‘ 砰 ， ‘ 牙 ， 在 牙 上 在 不于 尹 上 其中 为速度矢 量 。 这样求 出的速度 场为 二 〔 环 二 一 、 否犷 一 不 才 〕 二 二 ， 夕 ， 才 ， 一 不不 一 一 十 一 一 一 二 一 一 一 二 戈 ， ， 之 阳 、尸

1.2速度不连续条件 就孔型轧制的-·般情形而言，变形区的入、出口各是一个速度不连续面。 轧件出口刚塑性交界面上法向速度连续的条件要求：v,l,=o=常数。将Kato提出的v,的 设定方法「81加以改进、推广，设： =,4-(4,+4'()-(÷)(✉)门 A,=a1+a前+a() (3) 4=:+a成+，() 式中，v。入1测刚区速度，。，TL来料最大宽度和高度；y,为轧件与下辊最先接触 点y座标，1最大接触弧长；(x),,(x)分别为入口刚塑性交界面与上、下银交线在水平 面内的没影；A为由体积不变条件决定的常数，a1~a为待定参数。 入口刚塑性交界面的速度不连续条件难以精确满足。为此在之(x),2。(x)上各选3点， 以过某点的微小平面的法向做为该点的法向，在这6点上列出法向速度连续条件所要求满足 的方程，解以？1~a:为未知量的六元一次方程组，求出a1~a。根据Kto【81的观点，该面 上法向速度连续的条件可以认为近似满足了。 1.3体积不变条件 将体积不变条件￡r=0等价地转化为约束： J∬(r1八ar=0 (4) 其中：V为变形区体积，ε为体积应变速率。 将约束(4)下求能率泛函极小值的问题用外罚函数转化为无约束问题，并用Hestenes乘 子法「4防止病态收敛。目标函数为： F=jlo:&dr+j儿：mkAo,ds+4 kdvds j(n1v)dr+(e12)(∬，(Vdv) (5) 其中：c,u为根据Hestenes方法决定的常数。 对上式变分，求出球应力分量： o.=（3是)(e1s(cj∬，(rlV)ndv-) (6) 这样，优化后的速度场就成为运动许可的了。上述方法，提供了一个模拟孔型轧制中金 属三维变形的一般途径，并给出了一个通用速度场。 45

速 度不连 续条 件 就孔 型轧 制 的 一 役情形而 言 ， 变形区 的入 、 出 口 各是一个 速度不连 续面 。 轧 件 出 口 刚塑性 交界面上法 向速度连续 的条件要 求 。 。 ， 。 二 常数 。 将 提出 的公 的 设定方法 〔 “ 加以 改 迸 、 推 广 ， 设 。 。 。 〔 ‘ 一 。 夕 一 夕 。 了 。 万 一 之 一 千 “ 。 工 。 戈 工 、 禹 一 “ ‘ 十 “ 瓦 十 “ “ 又瓦 〕 、 、 过 、 万 十 。 一 昨 。 了 些 、 奋 式 中 ， 。 。 入 汉刚 区速 度 ， 砰 。 ， 。 来 料最 大宽 度和 高度 夕 。 ，为轧件与 下辊最 先接触 点 夕 座标 ， 最大接触弧长 二 ， 、 劝 分 别为入 口刚塑性 交界面与 上 、 下辊 交线在水 平 面 内的 设影 左为 由体积不 变 条件 决定的常数 ， 。 ， 一 。 。 为待定 参数 。 人 口 刚塑性 交界面 的 速度 不连 续 条件难 以精 矶满 足 。 为 此 在之 。 ， 。 幼 上各选 点 ， 以 过某 点的 微小 平面 的 法 向 做为 该点 的 法 向 ， 在 这 点 上列 出 法向速度连续 条件所要 求 满足 的 方程 ， 解 以 。 一 。 。 为未 知 量的六 元 一 次 方程组 ， 求 出 ， 一 。 。 。 根据 。 〔 “ ’ 的观点 ， 该面 上 法向速度连 续 的条件可 以认为近 似满 足 了 。 体 积 不变条 件 将 体积 不变 条 件“ 。 等价地 转化 为约束 二 ‘ 二“ 厂， ‘ ’ 犷 “ 其 中 为 变形区体 积 ， 。 为体 积应 变速 率 。 将 约束 下 求 能率泛 函 极小 值的问题 用 外 罚函数转 化为无约束问题 ， 并 用 乘 子 法 〔 ‘ ’ 防 止病 态 收 敛 。 目标 函数为 饭 、 二 飞 一 犷 阴 “ 一‘ ￡ “ ‘ · ‘ · 一 。 。 二 · 厂 ， ， 厂 ‘ · ， 丁工 ‘ 二 · 犷， ‘ ’ 厂 其 中 。 ， 。 为根据 方法决定 的常数 。 对 上式 变分 ， 求 出球应 力分 量 碑 、 、 久粼 ‘六‘犷， ， 。 ‘六‘犷，“ “ ‘ 一 这 样 ， 优化后的速度场 就成为运 动许可 的 了 。 上 述方法 ， 提供 了一个 模拟 孔 型轧 制中金 属 三维 变形 的 一般 途径 ， 并 给出 了一个 通 用速度场

2角钢切分孔轧制变形区的简化及速度场 作为CARD技术的模拟，主要是模拟孔型的充满，将不充满部分以直线代替，如图2所 示，则不充满以×，与W.,表示。 不考虑轧件的宽展，根据纯几何关系，先求出变形区的形状，做为模拟计算中变形区设 定和简化的依据。 3(g,o (Weg.0) Workpicee Caliber B (g产g 。r) (o,6f》 (x) (x) P (x3g,22g) (0,2) . (,2uD 图2孔型允满 图3变形区形状 Fig.?Filling of caliber Fig.3 Configuration of deformation zone 2.1变形区左、右端面的简化 如图3，求于对称性，左端面： x=W,(z)=0 (7) 参照不考虑宽展时的计算结果，右端面取三阶多项式： x=W.(z)=W(z)=W。十S(22,-2) +(-) +(叠-2”，)- (8) 式中：S,=-dW1d2l,2,其余见图3。 2,2入口刚塑性交界面的简化 由不考虑宽展时的计算结果，设入口刚塑性交界面与上、下辊交线在x02内的投影2.(x) 与26(x)为： 21+22(x-x)0xx 2.(x）= (x (9) 21 0xx 26(x）= 239一261 {21+(i-（x-1)21xW 46

角钢切 分孔 轧制变形 区 的简化及速度场 作为 尺 技 术的 模拟， 主 要 是模拟 孔 型的 充满 ， 将不充满部分以 直 线代 替 ， 如 图 所 示 ， 则不充满 以 ， 与 附 ， 表示 。 不考虑轧 件的 宽展 ， 根 据纯几何关系 ， 定和 简化 的依 据 。 先求 出 变形区的形状 ， 做为 模拟 计算中变形区 设 一 一 以 场，〕 弘 叨 ‘ ，分 甲 甲劣 味溉勺枷 ︸︸妇‘口。 目︸曾 ， ， 井石 吸 沪 图 于 型 充 满 弓 图 变 形 区形 状 厂 变形 区 左 、 右端面 的简化 如 图 ， 求 于对 称性 ， 左端 面 戈 二 牙 二 参照 不 考虑宽展 时 的计 算结 果 ， 右端面取 三阶 多项式 才 之 之 二 。 ， 之 ， 一 之 不 。 ， 一 平 。 ， 之 ‘ 。 一 “ ， 。 详 十 ‘ ，乒 一 － ， 。 一 “ ’ 犷 “ 了一 式中 ， 一 甲 。 ， ， 其余 见 图 。 。 入 口 附塑 性 交 界面 的简 化 尸口 由不 考虑宽 展 时 的计算结果 ， 设入 口 刚塑 性 交界面与 上 、 下 辊 交线在 内的 投影 劝 与 。 二 为 口 一 之 。 ， ， 一 一 玉万厂 气工 一 峋 ’ 一 ” 义 一 火 气 ‘ 之 日 一 ， 一 一矛 义 一 。 一 、 火 ， ， 之 矛‘ 十 ﹄ ﹃ 一 、尹 之 浑 一 工 一 、 。 了 之 ， 一 之 ‘ 。 ， 一 卜 艺 一 。 。 厂 一 羊 一 才 厂白之， 、 几 一︸

式中各符号意义见图3，P、P,为轧件与上、下辊最先接触点。 入口的刚塑性交界面由过P。P:P.P2P,P的4个相交平面代替。 2.3拉缩变形区形状的假定 拉缩变形区不与上辊面接触，设其上端面为一个与x轴平行，过AB与CD的平面，参照 图2,3。其方程为： y=Fp(x,2)=y,-(y.,-y。/I)2 (10) 其中：yg=y.(x.),y。为CD的y座标。 拉缩与接触变形区的界面设为一个与y轴平行过y=F(x,)与上辊面交线的柱面。该 面是一个速度不连续面。 在(8)、(9)、(10)式中包含了6个独立的参数x:,W,,S,21,22,,23；它们 决定了整个变形区的形状，称为儿何参数。 2.4切分孔中的速度场 分别以x,W,S,21,22,2代替(8)、(9)、(10)中的x,W.,Sg,21g,22 ?:然后将(7)、(8)、(9)、(10)代人(2)、(3)可以求出切分孔中的速度场。其中包 括了7个参数，x,W,S,21,22,2a,o,称为速度场参数。 3优化计算 设定了变形区的形状与速度场，可以求出目标函数(5)式，它包括了6个几何参数与T 个速度场参数。对(5)式求极小值，直到达到稳定状态，即x。=x,W。=W,S=S,,21 =21,22=22,23=2g,这时的变形区形状与速度场为真实解【1门。在求目标函数时采用 了高斯数值积分法【5J;在优化计算中采用了Powell-一Sargent.与抛物线插值法。 4物理模拟实验 为了验证模拟研究的合理性，在实验室用铅试样、在红治钢厂用普碳钢分别模拟了2与 5角钢切分孔型的变形，得到了孔型充满x,与W。延伸4，前滑S和轧制压力P。此外，在 实验室实验中，通过在铅试样表面与剖分面上刻网格，考察了变形区中金属的流动与流线形 状。实验中所用材料的变形抗力为： 对工业纯铅：0s=49.3e25e004 (MN/m2) (11) 对锅(BY,F):os=9,8exp(片+a:）(/10)r4〔u6(e/0.4)s-(“。-1)0.4) (MN/m2) (12) 其中：T=(t+273)/1000,t变形温度°C, 47

式 中各 符号意义 见 图 ， 尸 。 、 。 为轧件与 上 、 下辊最 先接触点 。 入 口 的 刚塑 性 交界面由过尸。 尸 尸 。 尸 。 。 的 个相 交 平面代 替 。 拉 缩 变形 区形 状 的假 定 拉缩 变形 区 不与上辊面接触 ， 设其上端面为一个与 轴 平行 ， 过 与 刀 的平面 ， 参照 图 ， 。 其方程为 少 尸 工 ， 夕 ， ， 一 少， ， 一 夕 。 、 、 、 其 中 。 ， 少 “ ， ， 。 为 刀 的 座标 。 拉缩与接触 变形区 的界面设为 一个与 轴 平行过 夕 二 ， ， 习 与上辊面 交 线的柱面 。 该 面 是一个 速度不连 续面 。 在 、 、 式 中包含 了 个独立 的参数 二 。 ， 冲 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 它 扩 决定 了整个变形 区 的 形状 ， 称 为 几何 参数 。 切 分 孔 中的 速度场 分别以二 。 ， 。 然 后将 括 了 个 参数 ， 班 。 ， ， ， 。 ， 。 ， ， ， 代 替 代人 一 ， ， ， ， 、 中的二 ， ， 才 ， ， ， ， ， ， ， 、 可 以求 出切 分孔 中的速度场 。 其 中包 称 为 速度场 参数 。 优 化 计 算 设定 了变 形区 的形状 与 速度场 ， 可 以求 出 目标 函数 式 ， 它 包括 了 个几何 参数与 了 个 速度场 参数 。 对 式 求 极小值 ， 直到 达到 稳定状 态 ， 即二 一 二 ， ， ， 牙 。 研 。 。 ， ， ， 二 ，， ， ， 习 ， 。 二 。 。 ， 这 时 的变 形区形状与速度场为真实 解 〔 ” 。 在求 目标 函数 时采 用 了高斯数值积分法 〔 ’ 在 优化计算中采 用 了 一 与抛物 线插 值法 。 物理模拟实验 为 了验证 模拟 研 究的 合理性 ， 在实验室 用铅试样 、 在红冶 钢厂 用普 碳 钢分别模拟 了 井与 角钢切 分 孔 型 的变 形 ， 得到 了孔 型充满 ， ，与 附 ， ，， 延伸拼， 前滑 、 和 轧制压 力 此 外 ， 在 实验室实验 中 ， 通过 在铅试样 表面与剖分面上刻 网 格 ， 考察 了变 形 区中金属 的流 动与流 线 形 状 。 实验 中所用材 料 的变形抗 力为 对 工业纯铅 。 。 “ “ 。 。 对 钢 一 一 今 一 二 。 ，一 〔 一 “ ‘ ‘ ， “ 一 一 ‘ ，六〕 其中 了 ， 变形温度 “