工程科学学报，第39卷，第4期：593603,2017年4月 Chinese Journal of Engineering,Vol.39,No.4:593-603,April 2017 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2017.04.015:http://journals.ustb.edu.cn SI一FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 李 秾”，孔宁)四，李洪波”，张杰”，贾生晖”，褚玉刚，刘海军》 1)北京科技大学机械工程学院，北京1000832)武汉钢铁（集团）公司，武汉430083 ☒通信作者，E-mail:kongning(@usth.cdu.cm 摘要为从力学本质上揭示S一LAT非接触式板形仪的检测原理，基于薄板流固耦合振动理论，建立了薄板振幅与残余 应力关系的数学模型.在非协调Foppl-von Karman方程组的平衡方程中引入惯性项与流体压强项，利用气动载荷在时间上 的周期性将流体速度函数、流体压强函数、薄板挠度函数和薄板应力势函数的时间变量分离出来，得到描述S一FLAT板形仪 稳定工作状态的偏微分方程组。进一步利用分离变量法求解该方程组，最终建立起薄板振幅与残余应力的数学关系。同时 结合实测残余应力数据，利用Siemens提出的振幅一残余应力模型反算得到实际薄板振幅分布，并将其与流固耦合振动模型 计算的振幅进行对比，验证了提出的数学模型的可靠性.进一步利用流固耦合振动模型分析了气泵进风口流体速度、检测距 离和激振频率对振幅的影响，为S-FLAT板形仪科学合理的利用提供了理论依据. 关键词板形仪：残余应力：振动：薄板：流固耦合 分类号TG335.56 Analysis of fluid-structure interaction vibration based on the detection principle of SI-FLAT flatness measurement systems LI Nong'》,KONG Ning》a,LI Hong-bo',ZHANG Jie”,JIA Sheng-hui,CHU Yu-gang2,LN Hai-jun》 1)School of Mechanical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Wuhan Iron and Steel (Group)Corporation,Wuhan 430083,China Corresponding author,E-mail:kongning@ustb.edu.cn ABSTRACT In order to reveal the mechanical essence of the detecting principle of SI-FLAT flatness measurement systems,the mathematical model of the relationship between amplitude and residual stress was established,based on the theory of fluid-structure interaction vibration of thin plates.The terms of inertia and fluid pressure were introduced to the equilibrium equation in incompatible Foppl-von Karman equations.The time variables were separated out from the velocity function of fluid,pressure function of fluid, deflection function of thin plates and stress potential function of thin plates with consideration of periodic aerodynamic load.Therefore, the partial differential equations aiming at steady state of SI-FLAT flatness measurement systems was obtained.Solving the equations by using the method of separation of variables,the mathematical relationship between amplitude and residual stress was established. Combined with measured residual stress,the distribution of actual amplitude of thin plates could be calculated by the Siemens'ampli- tude-residual stress model,which coincided with the amplitude calculated by the fluid-structure interaction vibration model.The influences of fluid velocity at air pump's inlet,detecting distance and excitation frequency on amplitude were analyzed by using the fluid-structure interaction vibration model,which provides a theoretical basis for application of SI-FLAT flatness measurement systems. KEY WORDS flatness measurement systems:residual stress:vibration:thin plates:fluid-structure interaction 收稿日期：2016-09-14 基金项目：中央高校基本科研业务费专项资金资助项目(FRF-TP-15O16A3:“十二五”国家科技支撑计划资助项目(2015BAF30B01)
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期: 593--603，2017 年 4 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 39，No． 4: 593--603，April 2017 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2017． 04． 015; http: / /journals． ustb． edu． cn SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 李 秾1) ，孔 宁1) ，李洪波1) ，张 杰1) ，贾生晖2) ，褚玉刚2) ，刘海军2) 1) 北京科技大学机械工程学院，北京 100083 2) 武汉钢铁( 集团) 公司，武汉 430083 通信作者，E-mail: kongning@ ustb． edu． cn 摘 要 为从力学本质上揭示 SI--FLAT 非接触式板形仪的检测原理，基于薄板流固耦合振动理论，建立了薄板振幅与残余 应力关系的数学模型． 在非协调 Fppl--von Kármán 方程组的平衡方程中引入惯性项与流体压强项，利用气动载荷在时间上 的周期性将流体速度函数、流体压强函数、薄板挠度函数和薄板应力势函数的时间变量分离出来，得到描述 SI--FLAT 板形仪 稳定工作状态的偏微分方程组． 进一步利用分离变量法求解该方程组，最终建立起薄板振幅与残余应力的数学关系． 同时 结合实测残余应力数据，利用 Siemens 提出的振幅--残余应力模型反算得到实际薄板振幅分布，并将其与流固耦合振动模型 计算的振幅进行对比，验证了提出的数学模型的可靠性． 进一步利用流固耦合振动模型分析了气泵进风口流体速度、检测距 离和激振频率对振幅的影响，为 SI--FLAT 板形仪科学合理的利用提供了理论依据． 关键词 板形仪; 残余应力; 振动; 薄板; 流固耦合 分类号 TG335. 5 + 6 收稿日期: 2016--09--14 基金项目: 中央高校基本科研业务费专项资金资助项目 ( FＲF--TP--15--016A3) ; “十二五”国家科技支撑计划资助项目( 2015BAF30B01) Analysis of fluid--structure interaction vibration based on the detection principle of SI--FLAT flatness measurement systems LI Nong1) ，KONG Ning1) ，LI Hong-bo1) ，ZHANG Jie1) ，JIA Sheng-hui2) ，CHU Yu-gang2) ，LIU Hai-jun2) 1) School of Mechanical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Wuhan Iron and Steel ( Group) Corporation，Wuhan 430083，China Corresponding author，E-mail: kongning@ ustb． edu． cn ABSTＲACT In order to reveal the mechanical essence of the detecting principle of SI--FLAT flatness measurement systems，the mathematical model of the relationship between amplitude and residual stress was established，based on the theory of fluid--structure interaction vibration of thin plates． The terms of inertia and fluid pressure were introduced to the equilibrium equation in incompatible Fppl--von Kármán equations． The time variables were separated out from the velocity function of fluid，pressure function of fluid， deflection function of thin plates and stress potential function of thin plates with consideration of periodic aerodynamic load． Therefore， the partial differential equations aiming at steady state of SI--FLAT flatness measurement systems was obtained． Solving the equations by using the method of separation of variables，the mathematical relationship between amplitude and residual stress was established． Combined with measured residual stress，the distribution of actual amplitude of thin plates could be calculated by the Siemens’amplitude--residual stress model，which coincided with the amplitude calculated by the fluid--structure interaction vibration model． The influences of fluid velocity at air pump’s inlet，detecting distance and excitation frequency on amplitude were analyzed by using the fluid--structure interaction vibration model，which provides a theoretical basis for application of SI--FLAT flatness measurement systems． KEY WOＲDS flatness measurement systems; residual stress; vibration; thin plates; fluid--structure interaction
·594· 工程科学学报，第39卷，第4期 冷轧带钢残余应力的检测是实现板形自动控制和 对带钢振幅大小的影响.对于以上所有问题，可将S- 消除板形缺陷的前提，故检测结果的准确程度直接影 FLAT板形仪的检测机理问题抽象为带残余应力弹性 响成品板形质量.对带钢残余应力的检测是通过板形 薄板的流固耦合振动问题加以解决 仪实现的，其中，Siemens公司研发的采用气流激振一 带有残余应力（非协调变形）弹性薄板流固耦 涡流测幅原理的SI-FLAT非接触式板形仪得到了比 合振动问题的研究尚未见于公开发表的文献中，但是 较普遍的应用网.该板形仪利用气泵产生的周期性 关于弹性结构流固耦合振动问题的研究-围以及关于 空气负压作为激振载荷，驱动受足够大张应力（使带 带有残余应力弹性结构振动问题的研究切已分别 钢不发生在线屈曲)的在线运动带钢进行受迫振动， 有一些成果 通过涡流传感器检测带钢在法向的位移，进而得到带 对于弹性结构流固耦合振动问题的研究，主要有 钢振幅在宽度方向上的分布，最后利用Siemens公司 解析一半解析法-W与有限单元法2.郑哲敏与马 提出的一套基于带张力梁振动理论的振幅一残余应力 宗魁图采用纯解析法、Rayleigh法和小参数摄动法分 模型计算带钢的残余应力，并利用基础目标曲 析了等截面悬臂梁一侧受到流体作用时的流固耦合自 线习对结果进行修正 由振动模态，进一步采用Rayleigh法对变截面悬臂梁 长期以来，关于S-FLAT板形仪检测原理的研究 进行了类似的分析：ln等四研究了中等雷诺数(Re= 主要是基于Siemens公司提出的振幅-残余应力模型 30)情形下固定平板在带有攻角来流下周围的流场， 展开的.黄桥宝网与杨光辉等0采用与Siemens公司 以涡量（涡旋矢量垂直于平面的分量）表示的二维 相同思路的分条离散化解析模型，将带钢沿轧制方向 Navier-Stokes方程为控制方程，通过Laurent级数展 切分为相互独立的窄条，并将气动载荷简化为集中载 开处理涡量在板边缘尖端的奇异性，在远离尖端以及 荷，基于梁的振动理论研究了带钢振幅一残余应力的 边界层的外场部分采用有限差分法进行涡量分析，并 关系，再采用有限元模型修正气动载荷分布规律，并 与尖端部分的涡量进行匹配得到全场解：郝亚娟@ 与Siemens公司提出的振幅-残余应力模型进行对比： 采用相容Lagrange-Euler法，较为系统地分析了弹性 包仁人利用有限元软件建立了固壁在狭窄均匀来流 薄板在理想不可压缩势流定常绕流下的小变形力学行 喷吹下的三维模型，对SI-FLAT板形仪的测量准确性 为，给出了相应的算例，同时利用有限元软件对同一 及误差分布形式进行了分析，解释了误差形成机理， 算例进行数值模拟进行对比验证，分析了误差产生的 同时给出了相应的补偿量计算方法，其结果与Sie- 原因：胡世良等山对流场与平板之间的耦合运动进 mens给出的基础目标曲线相吻合.杨光辉等圆在实 行了有限元仿真，基于流体的有限体积法求解任意 际生产数据的基础上提出了气动载荷激振频率的设置 Lagrange-Euler描述下不可压缩Navier一Stokes方程的 原则，并利用有限元模型分析了具有几种典型残余应 理论，同时考虑到有限单元法离散求解Lagrange坐标 力分布形式的带钢在不同宽度、厚度、张应力等情况下 下弹性动力学方程，计算了在静止流场中弹性薄板的 的固有频率对振幅的影响. 自由振动和方柱后部平板的涡激振动问题，分析了流 总结Siemens公司提供的振幅-残余应力模型以 体与固体的不同物性参数对于平板耦合运动的影响： 及上述学者的工作可以得出以下几点：模型将板带沿 吕坤等四利用ANSYS和CX软件的双向流固耦合功 轧制方向进行了分条离散化，进而采用带张力梁的模 能模拟大空间中薄平板在一定攻角不同来流下的流固 型分析梁的振幅与张应力关系，未将金属带钢作为连 耦合特性，控制方程为非定常Reynolds平均Navier一 续的薄板处理：将气动载荷作为均布集中载荷处理， Stokes方程，利用动网格计算得到大Reynolds数带攻 载荷大小人为给定，且未考虑到流体与固体间的耦合 角均匀来流平板的振动特性以及平板周围流场的非定 关系，与实际情况不符.以上两点所带来的误差Sie- 常流动特性；Vaziri与Hutchinson国研究了金属夹芯 mens公司通过基础目标曲线进行消除，但该曲线的机 板构成的工字钢结构在高强度气流冲击下的流固耦合 理并未明确.有限元仿真分析SI-FLAT的检测机理则 作用，但是将气体激波的传播与固体结构做解耦处 未能考虑到带钢的残余应力，或仅考虑到几种典型的 理，重点研究了两种不同的加载方式：随时间变化的 残余应力分布形式，并且将带钢简化为固壁，没有进 压力载荷与强制不变的初始速度 行真正的流固耦合振动分析，无法对生产实际进行指 对于带有残余应力弹性结构振动问题的研究较 导.另一方面，SI-FLAT板形仪采用的涡流测距传感 少，主要以半解析法为主.高永毅等n利用Tapk阳 器检测振幅在0.15mm左右网，否则无法保证检测结 方法计算了具有给定形式残余应力四边简支薄板的固 果的准确性，故有必要考虑检测距离（检测平台与带 有频率，并与无残余应力的情况进行了比较：Dudarev 钢底面距离)与进风口处空气速度（或气泵风机流量） 等的研究了带有残余应力管的稳态径向振动问题
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 冷轧带钢残余应力的检测是实现板形自动控制和 消除板形缺陷的前提，故检测结果的准确程度直接影 响成品板形质量． 对带钢残余应力的检测是通过板形 仪实现的，其中，Siemens 公司研发的采用气流激振-- 涡流测幅原理的 SI--FLAT 非接触式板形仪得到了比 较普遍的应用［1--2］． 该板形仪利用气泵产生的周期性 空气负压作为激振载荷，驱动受足够大张应力( 使带 钢不发生在线屈曲) 的在线运动带钢进行受迫振动， 通过涡流传感器检测带钢在法向的位移，进而得到带 钢振幅在宽度方向上的分布，最后利用 Siemens 公司 提出的一套基于带张力梁振动理论的振幅--残余应力 模型［3--4］计算 带 钢 的 残 余 应 力，并利用基础目标曲 线［3，5］对结果进行修正． 长期以来，关于 SI--FLAT 板形仪检测原理的研究 主要是基于 Siemens 公司提出的振幅--残余应力模型 展开的． 黄桥宝［3］与杨光辉等［4］采用与 Siemens 公司 相同思路的分条离散化解析模型，将带钢沿轧制方向 切分为相互独立的窄条，并将气动载荷简化为集中载 荷，基于梁的振动理论研究了带钢振幅--残余应力的 关系，再采用有限元模型修正气动载荷分布规律，并 与 Siemens 公司提出的振幅--残余应力模型进行对比; 包仁人［5］利用有限元软件建立了固壁在狭窄均匀来流 喷吹下的三维模型，对 SI--FLAT 板形仪的测量准确性 及误差分布形式进行了分析，解释了误差形成机理， 同时给出了相应的补偿量计算方法，其结果与 Siemens 给出的基础目标曲线相吻合． 杨光辉等［6］ 在实 际生产数据的基础上提出了气动载荷激振频率的设置 原则，并利用有限元模型分析了具有几种典型残余应 力分布形式的带钢在不同宽度、厚度、张应力等情况下 的固有频率对振幅的影响． 总结 Siemens 公司提供的振幅--残余应力模型以 及上述学者的工作可以得出以下几点: 模型将板带沿 轧制方向进行了分条离散化，进而采用带张力梁的模 型分析梁的振幅与张应力关系，未将金属带钢作为连 续的薄板处理; 将气动载荷作为均布集中载荷处理， 载荷大小人为给定，且未考虑到流体与固体间的耦合 关系，与实际情况不符． 以上两点所带来的误差 Siemens 公司通过基础目标曲线进行消除，但该曲线的机 理并未明确． 有限元仿真分析 SI--FLAT 的检测机理则 未能考虑到带钢的残余应力，或仅考虑到几种典型的 残余应力分布形式，并且将带钢简化为固壁，没有进 行真正的流固耦合振动分析，无法对生产实际进行指 导． 另一方面，SI--FLAT 板形仪采用的涡流测距传感 器检测振幅在 0. 15 mm 左右［2］，否则无法保证检测结 果的准确性，故有必要考虑检测距离( 检测平台与带 钢底面距离) 与进风口处空气速度( 或气泵风机流量) 对带钢振幅大小的影响． 对于以上所有问题，可将 SI- -FLAT 板形仪的检测机理问题抽象为带残余应力弹性 薄板的流固耦合振动问题加以解决． 带有残余应力( 非协调变形［7］) 弹性薄板流固耦 合振动问题的研究尚未见于公开发表的文献中，但是 关于弹性结构流固耦合振动问题的研究［8--13］以及关于 带有残余应力弹性结构振动问题的研究［14--17］已分别 有一些成果． 对于弹性结构流固耦合振动问题的研究，主要有 解析--半解析法［8--11］与有限单元法［12--13］． 郑哲敏与马 宗魁［8］采用纯解析法、Ｒayleigh 法和小参数摄动法分 析了等截面悬臂梁一侧受到流体作用时的流固耦合自 由振动模态，进一步采用 Ｒayleigh 法对变截面悬臂梁 进行了类似的分析; In 等［9］研究了中等雷诺数( Ｒe = 30) 情形下固定平板在带有攻角来流下周围的流场， 以涡量( 涡旋矢量垂直于平面的分量) 表 示 的 二 维 Navier--Stokes 方程为控制方程，通过 Laurent 级数展 开处理涡量在板边缘尖端的奇异性，在远离尖端以及 边界层的外场部分采用有限差分法进行涡量分析，并 与尖端部分的涡量进行匹配得到全场解; 郝亚娟［10］ 采用相容 Lagrange--Euler 法，较为系统地分析了弹性 薄板在理想不可压缩势流定常绕流下的小变形力学行 为，给出了相应的算例，同时利用有限元软件对同一 算例进行数值模拟进行对比验证，分析了误差产生的 原因; 胡世良等［11］对流场与平板之间的耦合运动进 行了有限元仿真，基于流体的有限体积法求解任意 Lagrange--Euler 描述下不可压缩 Navier--Stokes 方程的 理论，同时考虑到有限单元法离散求解 Lagrange 坐标 下弹性动力学方程，计算了在静止流场中弹性薄板的 自由振动和方柱后部平板的涡激振动问题，分析了流 体与固体的不同物性参数对于平板耦合运动的影响; 吕坤等［12］利用 ANSYS 和 CFX 软件的双向流固耦合功 能模拟大空间中薄平板在一定攻角不同来流下的流固 耦合特性，控制方程为非定常 Ｒeynolds 平均 Navier-- Stokes 方程，利用动网格计算得到大 Ｒeynolds 数带攻 角均匀来流平板的振动特性以及平板周围流场的非定 常流动特性; Vaziri 与 Hutchinson［13］研究了金属夹芯 板构成的工字钢结构在高强度气流冲击下的流固耦合 作用，但是将气体激波的传播与固体结构做解耦处 理，重点研究了两种不同的加载方式: 随时间变化的 压力载荷与强制不变的初始速度． 对于带有残余应力弹性结构振动问题的研究较 少，主要以半解析法为主． 高永毅等［14］利用 Галёркин 方法计算了具有给定形式残余应力四边简支薄板的固 有频率，并与无残余应力的情况进行了比较; Dudarev 等［15］研究了带有残余应力管的稳态径向振动问题， · 495 ·
李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 595 残余应力由管道内压卸载后引起，将系统量纲一和线 化.因此，若只研究SI-FLAT板形仪在稳定工作状态 性化后导出了依赖残余应力大小的固有频率形式： (对应于轧机的稳定轧制阶段、带钢残余应力沿轧制 Gorb与Walton基于大变形理论建立了分析带有残 方向不变)的检测机理，可以忽略带钢的运动而将其 余应力弹性体叠加在大变形基础上的微幅振动模型， 作为具有静态的对边简支对边自由边界条件的薄板， 并将其应用于血管内超声成像技术，算例对比了在不 检测平台轧机末机架工作辊， 同血压下残余应力对血管径向振动本征频率的影响： Jiag等切研究了残余应力与局部的几何非线性对压 金属带材 电纳米线振动特性的影响，基于Hamilton原理推导出 张力辊进风口 涡流测距传感器 动力学方程，并将残余应力与表面效应同时进行考 调凝器 虑，在给定电压下计算出纳米线的振动频率并与零残 余应力状态下Young--Laplace模型进行对比. 借鉴以上工作的思路，本文将结构流固耦合振动 风机 问题的研究与带有残余应力结构振动问题的研究相结 卷取机 合，联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调Foppl-一 口气流 von Karman方程组以及不可压缩流体方程组，得到问 图2SI-FLAT板形仪检测示意图 题的基本控制方程组，并根据实际工程背景分别给出 Fig.2 Diagram of detection principle of SI-FLAT 结构、流体的边界条件以及它们之间的连接条件，进 为便于进一步分析，在检测区域附近建立三维直 而形成相应边值问题，利用分离变量法与级数展开法 角坐标系.如图1所示，坐标原点0在带钢一条边界 对该边值问题求解，形成描述SI-LAT板形仪振幅一 上，且位于轧机末机架工作辊与带钢相接触处（近似 残余应力关系的流固耦合振动模型，用于指导实际应 认为是线接触)的正下方，同时原点O还在带钢的中 用与自主开发 曲面上，x轴平行于带钢宽度方向，y轴平行于轧制方 1流固耦合振动分析的物理模型 向（带钢运动方向），进而xOy平面与带钢中面重合， z轴由右手定则确定.设检测区域内的带钢占据0< SI-FLAT板形仪的实物图与检测原理示意图分别 x<b,0<y<l,-h/2<z<h2,其中，b为带钢宽度， 如图1和图2所示.带有残余应力的带钢沿轧制方向 1为工作辊一带钢接触线与张力辊一带钢接触线间的距 运动，布置了位移传感器与气泵出口的检测平台位于 离（即检测区域沿轧制方向长度），为带钢厚度：检 张力辊与轧机末机架之间的检测区域，可认为任意时 测平台位于平面z=-H-h2,其上的气泵进风口占 刻带钢在检测区域具有轧制方向两侧对边简支，宽度 据区域-d<x<b+d,L<y<L+a,其中，d为气泵进 方向两侧对边自由的边界条件，同时受到下方气泵周 风口比带钢两侧各多出的距离（进风口沿宽度方向长 期性抽真空造成的“吸力”作用而进行受迫振动，带钢 度为b+2),L为进风口靠近轧机工作辊一侧的边界 离开检测区域后最终进入卷取机.虽然带钢沿轧制方 与工作辊-带钢接触线在xOy平面的投影距离，a为 向运动，但由于其残余应力张量的唯一非零分量（轧 气泵进风口沿轧制方向长度. 制方向正应力分量)沿轧制方向几乎不变5，刀，故带 2流固耦合振动分析的数学模型 钢在激振频率、激振力不变情况下的受迫振动响应 (振幅分布和振动频率)也应保持稳定而不随时间变 2.1流固耦合振动边值问题的建立 首先建立描述SI-FLAT板形仪检测机理的基本 控制方程组，该方程组由描述薄板大变形的方程组与 描述Newton流体低速运动的方程组两部分组成.在 第1节建立的三维直角坐标系中，设i、和k代表坐 标轴xy和z的单位矢量.记二维Laplace算子△=子/ ax2+子/ay2,三维Hamilton算子V=a/ari+a/ay+a/ zk,二元算子L(A,B)=8A/ax2·a2B/y2+8B/ax2· 2A/ay2-2aA/ary·aB/xy.用以描述带有残余 应力薄板受迫振动的具有惯性项与流体压强项的非协 调Fppl-von Karman方程组为 图1SI-FLAT板形仪 Fig.1 Photograph of SI-FLAT x02e-L(Φ，、刀 h
李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 残余应力由管道内压卸载后引起，将系统量纲一和线 性化后导出了依赖残余应力大小的固有频率形式; Gorb 与 Walton［16］基于大变形理论建立了分析带有残 余应力弹性体叠加在大变形基础上的微幅振动模型， 并将其应用于血管内超声成像技术，算例对比了在不 同血压下残余应力对血管径向振动本征频率的影响; Jiang 等［17］研究了残余应力与局部的几何非线性对压 电纳米线振动特性的影响，基于 Hamilton 原理推导出 动力学方程，并将残余应力与表面效应同时进行考 虑，在给定电压下计算出纳米线的振动频率并与零残 余应力状态下 Young--Laplace 模型进行对比． 借鉴以上工作的思路，本文将结构流固耦合振动 问题的研究与带有残余应力结构振动问题的研究相结 合，联立带有惯性项和流体压强载荷的非协调 Fppl-- von Kármán 方程组以及不可压缩流体方程组，得到问 题的基本控制方程组，并根据实际工程背景分别给出 结构、流体的边界条件以及它们之间的连接条件，进 而形成相应边值问题，利用分离变量法与级数展开法 对该边值问题求解，形成描述 SI--FLAT 板形仪振幅-- 残余应力关系的流固耦合振动模型，用于指导实际应 用与自主开发． 1 流固耦合振动分析的物理模型 SI--FLAT 板形仪的实物图与检测原理示意图分别 图 1 SI--FLAT 板形仪 Fig． 1 Photograph of SI--FLAT 如图 1 和图 2 所示． 带有残余应力的带钢沿轧制方向 运动，布置了位移传感器与气泵出口的检测平台位于 张力辊与轧机末机架之间的检测区域，可认为任意时 刻带钢在检测区域具有轧制方向两侧对边简支，宽度 方向两侧对边自由的边界条件，同时受到下方气泵周 期性抽真空造成的“吸力”作用而进行受迫振动，带钢 离开检测区域后最终进入卷取机． 虽然带钢沿轧制方 向运动，但由于其残余应力张量的唯一非零分量( 轧 制方向正应力分量) 沿轧制方向几乎不变［5，7］，故带 钢在激振频率、激振力不变情况下的受迫振动响应 ( 振幅分布和振动频率) 也应保持稳定而不随时间变 化． 因此，若只研究 SI--FLAT 板形仪在稳定工作状态 ( 对应于轧机的稳定轧制阶段、带钢残余应力沿轧制 方向不变) 的检测机理，可以忽略带钢的运动而将其 作为具有静态的对边简支对边自由边界条件的薄板． 图 2 SI--FLAT 板形仪检测示意图 Fig． 2 Diagram of detection principle of SI--FLAT 为便于进一步分析，在检测区域附近建立三维直 角坐标系． 如图 1 所示，坐标原点 O 在带钢一条边界 上，且位于轧机末机架工作辊与带钢相接触处( 近似 认为是线接触) 的正下方，同时原点 O 还在带钢的中 曲面上，x 轴平行于带钢宽度方向，y 轴平行于轧制方 向( 带钢运动方向) ，进而 xOy 平面与带钢中面重合， z 轴由右手定则确定． 设检测区域内的带钢占据 0 ＜ x ＜ b，0 ＜ y ＜ l，－ h /2 ＜ z ＜ h /2，其中，b 为带钢宽度， l 为工作辊--带钢接触线与张力辊--带钢接触线间的距 离( 即检测区域沿轧制方向长度) ，h 为带钢厚度; 检 测平台位于平面 z = － H － h /2，其上的气泵进风口占 据区域 － d ＜ x ＜ b + d，L ＜ y ＜ L + a，其中，d 为气泵进 风口比带钢两侧各多出的距离( 进风口沿宽度方向长 度为 b + 2d) ，L 为进风口靠近轧机工作辊一侧的边界 与工作辊--带钢接触线在 xOy 平面的投影距离，a 为 气泵进风口沿轧制方向长度． 2 流固耦合振动分析的数学模型 2. 1 流固耦合振动边值问题的建立 首先建立描述 SI--FLAT 板形仪检测机理的基本 控制方程组，该方程组由描述薄板大变形的方程组与 描述 Newton 流体低速运动的方程组两部分组成． 在 第 1 节建立的三维直角坐标系中，设 i、j 和 k 代表坐 标轴 x、y 和 z 的单位矢量． 记二维 Laplace 算子 Δ = 2 / x 2 + 2 / y 2 ，三维 Hamilton 算子 Δ = / xi + / yj + / zk，二元算子 L( A，B) = 2 A / x 2 · 2 B / y 2 + 2 B / x 2 · 2 A / y 2 － 2 2 A / x y· 2 B / x y． 用以描述带有残余 应力薄板受迫振动的具有惯性项与流体压强项的非协 调 Fppl--von Kármán 方程组［18］为 ρs 2 w t 2 + D h Δ2 w － L( Φ，w) － T0 2 w y 2 = · 595 ·
·596· 工程科学学报，第39卷，第4期 (1) 其进行简化并将时间变量分离出来以形成只含有坐标 变量的边值问题 4+，=式 (2) 由于薄板处于微幅低频振动状态，且薄板上侧空 气压强接近大气压强P,因，故可将(1)和(12)两式 其中，t为时间变量，w=w(x,y,t)为薄板受迫振动的 分别近似为 挠度函数（横向位移），中=中(x,y,）为薄板的薄膜应 力势函数，p=p(x,y,z,)为板形仪附近空气的压力函 辛+只4-1m-亲 P. 数，，=可(x)为薄板残余应力张量的轧制方向正应 (13) 力分量囚，广为其对坐标x的二阶导数，P,为薄板的 (pl 密度，D=Eh/12(1-2)为薄板的弯曲刚度，E为薄 ul. (14) 板弹性模量，v为薄板Poisson比，h为薄板厚度，T。 为张力辊对薄板施加的张应力.另一方面，用以描述 由边界条件(11)，设板形仪附近空气运动的速度矢量 板形仪附近空气低速运动的不可压缩流体控制方程 函数具有如下形式 组9为 u=U°(x,y,z）+U(x,y,z）sin wt.. (15) 7u=0, (3) 由式(4)和(15)，板形仪附近空气压力函数应具有如 +a)=-k-[p-(a+是)小 下形式 p=po+P(x,y,2)cos ot+P'(x,y,z)cos2at.(16) (4) 由(14)和(15)两式，薄板挠度函数应具有如下形式 其中，u=u(x,y,z,t)为板形仪附近空气的速度矢量 0=W'(x,y）+W(x,y）cos wt. (17) 函数，g为重力加速度，P.为空气密度，4为空气的动 由(2)和(17)两式，薄板应力函数应具有如下形式 力学黏性系数. Φ=山(x,y）+(x,y）cos ot+*(x,y）cos2al. 然后分别给出薄板变形与板形仪附近空气运动应 (18) 满足的边界条件.对边简支对边自由薄板应满足的边 将式(15)~(18)代入式(2)~(4)与式(13)，并将与 界条件为 时间变量1有关的部分分离后可得 +) 7U°=0. (19) =0 2/ x=0, 7U=0. (20) [+- =0 (5) a ay 2 x=0,b .()(()v. l,o1=0,00| =0. (6) (21) (22) Φ =0, Φ1 ap,U=-VP. 2 =0 (7) x=0,b 0r0dyx=0,& a子中 Φ )u.(3) =0 (8) x2y0. =a,+T。,时，o4 p.U(VU)=VP'. (24) 板形仪附近空气应满足的边界条件为 4=g国-号1(，r). (25) pl.-+4=Po' (9) △2=-EL(W,W), pl,-0l=Po’ (10) (26) ul:--u-=uoH(y-L)H(L+a-y)(sin ot -1)k. w*=-51(w,m. (27) (11) 其中，和w分别为气泵进风口处空气速度大小周期 名4'w-T。W-L(w,w)=0. (28) 性变化的幅度和圆频率，H(x)为Heaviside函数. 最后给出薄板与板形仪附近空气间的连接条件. ip.W- 0产+L(,助+ 考虑到速度场在薄板底面的连续性网，薄板与流体 (29) 间应有连接条件 L(w,r)+Pn=0. (12) Lw,0+L,F)+7Pa=0.(30) 至此，描述SI-LAT板形仪检测机理的基本偏微分方 L(w**,W)=0 (31) 程组及相应边界条件(1)~(12)已经建立，进一步对 边界条件式(5)~(8)化为
工程科学学报，第 39 卷，第 4 期 1 h ( p | z = w － h/2 － p | z = w + h/2 ) ， ( 1) 1 E Δ2 Φ + 1 2 L( w，w) = 1 E σ槇″ y ． ( 2) 其中，t 为时间变量，w = w( x，y，t) 为薄板受迫振动的 挠度函数( 横向位移) ，Φ = Φ( x，y，t) 为薄板的薄膜应 力势函数，p = p( x，y，z，t) 为板形仪附近空气的压力函 数，σ槇y = σ槇y ( x) 为薄板残余应力张量的轧制方向正应 力分量［5］，σ槇″ y 为其对坐标 x 的二阶导数，ρs 为薄板的 密度，D = Eh3 /12( 1 － v 2 ) 为薄板的弯曲刚度，E 为薄 板弹性模量，v 为薄板 Poisson 比，h 为薄板厚度，T0 为张力辊对薄板施加的张应力． 另一方面，用以描述 板形仪附近空气低速运动的不可压缩流体控制方程 组［19］为 Δ u = 0， ( 3) u t + u( Δ u) = － gk － 1 ρ [ a Δ p － μ ( Δ + 2 z 2 ) ] u ． ( 4) 其中，u = u( x，y，z，t) 为板形仪附近空气的速度矢量 函数，g 为重力加速度，ρa 为空气密度，μ 为空气的动 力学黏性系数． 然后分别给出薄板变形与板形仪附近空气运动应 满足的边界条件． 对边简支对边自由薄板应满足的边 ( 界条件为 2 w x 2 + v 2 w y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 w x 3 + ( 2 － v) 3 w x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 5) w| y = 0，l = 0， 2 w y 2 y = 0，l = 0． ( 6) 2 Φ y 2 x = 0，b = 0， 2 Φ x y x = 0，b = 0． ( 7) 2 Φ x 2 y = 0，l = σ槇y + T0， 2 Φ x y y = 0，l = 0． ( 8) 板形仪附近空气应满足的边界条件为 p | x = － d，b + d = p0， ( 9) p | y = 0，l = p0， ( 10) u | z = － H － h/2 = u0H( y － L) H( L + a － y) ( sin ωt － 1) k． ( 11) 其中，u0 和 ω 分别为气泵进风口处空气速度大小周期 性变化的幅度和圆频率，H( x) 为 Heaviside 函数． 最后给出薄板与板形仪附近空气间的连接条件． 考虑到速度场在薄板底面的连续性［19］，薄板与流体 间应有连接条件 u | z = w － h/2 = w t k． ( 12) 至此，描述 SI--FLAT 板形仪检测机理的基本偏微分方 程组及相应边界条件( 1) ～ ( 12) 已经建立，进一步对 其进行简化并将时间变量分离出来以形成只含有坐标 变量的边值问题． 由于薄板处于微幅低频振动状态，且薄板上侧空 气压强接近大气压强 p0 ［11--12］，故可将( 1) 和( 12) 两式 分别近似为 ρs 2 w t 2 + D h Δ2 w － L( Φ，w) － T0 2 w y 2 = 1 h ( p | z = － h/2 － p0 ) ， ( 13) u | z = － h/2 = w t k． ( 14) 由边界条件( 11) ，设板形仪附近空气运动的速度矢量 函数具有如下形式 u = U* ( x，y，z) + U( x，y，z) sin ωt． ( 15) 由式( 4) 和( 15) ，板形仪附近空气压力函数应具有如 下形式 p = p0 + P( x，y，z) cos ωt + P* ( x，y，z) cos2 ωt． ( 16) 由( 14) 和( 15) 两式，薄板挠度函数应具有如下形式 w = W* ( x，y) + W( x，y) cos ωt． ( 17) 由( 2) 和( 17) 两式，薄板应力函数应具有如下形式 Φ = ψ( x，y) + ψ* ( x，y) cos ωt + ψ＊＊ ( x，y) cos2 ωt． ( 18) 将式( 15) ～ ( 18) 代入式( 2) ～ ( 4) 与式( 13) ，并将与 时间变量 t 有关的部分分离后可得 Δ U* = 0． ( 19) Δ U = 0． ( 20) ρa ［U* ( Δ U* ) + U( Δ U) ］= － ρagk + μ ( Δ + 2 z 2 ) U* ． ( 21) ωρaU = － Δ P． ( 22) ρa ［U( Δ U* ) + U* ( Δ U) ］= μ ( Δ + 2 z 2 ) U． ( 23) ρaU( Δ U) = Δ P* ． ( 24) Δ2 ψ = σ槇″ y ( x) － E 2 L( W，W* ) ． ( 25) Δ2 ψ* = － EL( W，W* ) ， ( 26) Δ2 ψ＊＊ = － E 2 L( W，W) ． ( 27) D h Δ2 W* － T0 2 W* y 2 － L( ψ，W* ) = 0． ( 28) ω2 ρsW － D h Δ2 W + T0 2 W y 2 + L( ψ，W) + L( ψ* ，W* ) + 1 h P| z = － h/2 = 0． ( 29) L( ψ* ，W) + L( ψ＊＊ ，W* ) + 1 h P* | z = － h/2 = 0． ( 30) L( ψ＊＊ ，W) = 0． ( 31) 边界条件式( 5) ～ ( 8) 化为 · 695 ·
李秾等：S-FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动分析 597· 子W.W =0, ap =uowp,H (y-L)H(L+a-y). dy x=0,b :-H-k2 +(2-)取 (53) =0. (32) dx dy 0.k aP =w'p.W. (54) 0z:-2 a+o =0, y2x0.6 另一方面，由(36)、(39)与(51)三式可得 a'w +(2-)01 0 (33) 中=山(x), (55) ax ay x=0,b "=0,+T。 (56) w W1,0.1=0, =0. (34) 8y2,-0.1 考虑到式(50)，将式(56)代入式(29)消去业而得到 只含有W与P的式(57)，并与仅含P的控制方程式 W10.1=0， =0. (35) (52)、边界条件式(32)、(34)、(42)、(44)和(53)以及 y=0,1 正山 a 连接条件式(54)构成描述处于稳定工作状态时SI一 =0, =0. (36) x=0.b ax dy I:m0.6 FLAT板形仪检测原理的流固耦合振动边值问题 山 =0, 业 =0. 2 (37) 会sp-a+r-on.即-Pla=0, dx dy l :-0. 山** =0,业* (57) =0. (38) 0y2 x=0, ox dy x=0.6 a子山 a业 (a+是)P=0. y0.1 =,+To ax ayo =0. (39) =0, 山 =0, o'u" （r+子W)| =0. (40) dx dy l y-o.1 +(2-)即11 [aw =0, 业* =0,0业* d 3 =0. (41) ax" 0.1 ax ay y=0,1 1,1=0,0| =0, 边界条件式(9)~(11)化为 ay2 y-0.1 Pl-d6+d=0. (42) Pl.-dB4=0, pl=0. (43) P八y01=0, Pl,01=0. (44) a =-uopH(y-L）H(L+a-y）, :▣-H-k2 P1,o1=0. (45) aP U1:.-H-n=-,Hy-)H(L+a-y）k.(46) dz:-2 =wp.W Ul..-n-kn=uoH(y-L)H(L+a-y)k.(47) 其中，W与P之间的双向耦合特性体现在控制方程式 简化的连接条件(14)式化为 (57)与连接条件式(54)中.由于W=0,由式(17) Ul-b2=0. (48) 可以看出W即代表薄板的振幅，故上述边值问题涉及 Ul.-h2=-ωWk. (49) 到三个物理量：薄板的振幅W、板形仪附近空气压力 其中，(25)和(28)两式代表的控制方程组与式(33)、 函数以角频率ω周期性波动的幅值P和薄板的残余 (35)、(36)和(39)这些边界条件构成了关于W与山 应力分布.SI-LAT板形仪检测机理的核心即为W 的带有残余应力与张应力的薄板屈曲问题，由于张应 与，间的关系，求解该边值问题的过程中应设法将 力足够大使得带钢不发生在线屈曲，故有 P消去. W=0. (50) 2.2流固耦合振动边值问题的求解 △2山= (51) 现采用分离变量法求解流固耦合振动边值问题. 另一方面，由式(19)~(31)以及式(50)，与残余 首先需要找到满足边界条件(32)和(34)的本征函数 应力分布直接有关的物理量仅为U、P、W与山，故只 族Wn(x,y）,m=0,1,2,3,…,n=1,2,3,…,为此需 需考虑控制方程(20)、(22)和(29)，边界条件(32)、 求解对边简支对边自由薄板（无残余应力与张应力） (34)、(36)、(42)、(44)和(47)以及连接条件(49)即 的自由振动问题 可.考虑到(20)式，可将未知函数0消去，故式 △2Wn-wp.W=0 (58) (22)、(47)与(49)分别化为 (52) =0
李 秾等: SI--FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动分析 ( 2 W x 2 + v 2 W y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 W x 3 + ( 2 － v) 3 W x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 32 ( ) 2 W* x 2 + v 2 W* y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 W* x 3 + ( 2 － v) 3 W* x y 2 ] x = 0，b = 0． ( 33) W| y = 0，l = 0， 2 W y 2 y = 0，l = 0． ( 34) W* | y = 0，l = 0， 2 W* y 2 y = 0，l = 0． ( 35) 2 ψ y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ x y x = 0，b = 0． ( 36) 2 ψ* y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ* x y x = 0，b = 0． ( 37) 2 ψ＊＊ y 2 x = 0，b = 0， 2 ψ＊＊ x y x = 0，b = 0． ( 38) 2 ψ x 2 y = 0，l = σ槇y + T0， 2 ψ x y y = 0，l = 0． ( 39) 2 ψ* x 2 y = 0，l = 0， 2 ψ* x y y = 0，l = 0． ( 40) 2 ψ＊＊ x 2 y = 0，l = 0， 2 ψ＊＊ x y y = 0，l = 0． ( 41) 边界条件式( 9) ～ ( 11) 化为 P| x = － d，b + d = 0． ( 42) P* | x = － d，b + d = 0． ( 43) P| y = 0，l = 0． ( 44) P* | y = 0，l = 0． ( 45) U* | z = － H － h/2 = － u0H( y － L) H( L + a － y) k． ( 46) U| z = － H － h/2 = u0H( y － L) H( L + a － y) k． ( 47) 简化的连接条件( 14) 式化为 U* | z = － h/2 = 0． ( 48) U| z = － h/2 = － ωWk． ( 49) 其中，( 25) 和( 28) 两式代表的控制方程组与式( 33) 、 ( 35) 、( 36) 和( 39) 这些边界条件构成了关于 W* 与 ψ 的带有残余应力与张应力的薄板屈曲问题，由于张应 力足够大使得带钢不发生在线屈曲，故有 W* ≡0． ( 50) Δ2 ψ = σ槇″ y ( 51) 另一方面，由式( 19) ～ ( 31) 以及式( 50) ，与残余 应力分布直接有关的物理量仅为 U、P、W 与 ψ，故只 需考虑控制方程( 20) 、( 22) 和( 29) ，边界条件( 32) 、 ( 34) 、( 36) 、( 42) 、( 44) 和( 47) 以及连接条件( 49) 即 可． 考 虑 到 ( 20 ) 式，可 将 未 知 函 数 U 消 去，故 式 ( 22) 、( 47) 与( 49) ( 分别化为 Δ + 2 z 2 ) P = 0． ( 52) P z z = － H － h/2 = － u0ωρaH( y － L) H( L + a － y) ． ( 53) P z z = － h/2 = ω2 ρaW． ( 54) 另一方面，由( 36) 、( 39) 与( 51) 三式可得 ψ = ψ( x) ， ( 55) ψ″ = σ槇y + T0 ． ( 56) 考虑到式( 50) ，将式( 56) 代入式( 29) 消去 ψ 而得到 只含有 W 与 P 的式( 57) ，并与仅含 P 的控制方程式 ( 52) 、边界条件式( 32) 、( 34) 、( 42) 、( 44) 和( 53) 以及 连接条件式( 54) 构成描述处于稳定工作状态时 SI-- FLAT 板形仪检测原理的流固耦合振动边值问题 D h Δ2 W － ( σ槇y + T0 ) 2 W y 2 － ω2 ρsW － 1 h P| z = － h/2 = 0， ( 57 ( ) Δ + 2 z 2 ) P = 0 ( ， 2 W x 2 + v 2 W y 2 ) x = 0，b = 0 [ ， 3 W x 3 + ( 2 － v) 3 W x y 2 ] x = 0，b = 0， W| y = 0，l = 0， 2 W y 2 y = 0，l = 0， P| x = － d，b + d = 0， P| y = 0，l = 0， P z z = － H － h/2 = － u0ωρaH( y － L) H( L + a － y) ， P z z = － h/2 = ω2 ρaW． 其中，W 与 P 之间的双向耦合特性体现在控制方程式 ( 57) 与连接条件式( 54) 中． 由于 W* ≡0，由式( 17) 可以看出 W 即代表薄板的振幅，故上述边值问题涉及 到三个物理量: 薄板的振幅 W、板形仪附近空气压力 函数以角频率 ω 周期性波动的幅值 P 和薄板的残余 应力分布 σ槇y ． SI--FLAT 板形仪检测机理的核心即为 W 与 σ槇y 间的关系，求解该边值问题的过程中应设法将 P 消去． 2. 2 流固耦合振动边值问题的求解 现采用分离变量法求解流固耦合振动边值问题． 首先需要找到满足边界条件( 32) 和( 34) 的本征函数 族 Wmn ( x，y) ，m = 0，1，2，3，…，n = 1，2，3，…，为此需 求解对边简支对边自由薄板( 无残余应力与张应力) 的自由振动问题 D h Δ2 Wmn － ω2 mn ρsWmn = 0． ( 58 ( ) 2 Wmn x 2 + ν 2 Wmn y 2 ) x = 0，b = 0， · 795 ·