1.3管内流体流动现象 本节重点：牛顿粘性定律、层流与湍流的比较。 难点：边界层与层流内层。 13.1流体的粘度 1.牛顿粘性定律 流体的典型特征是具有流动性，但不同流体的流动性能不同，这主要是因为流体内部质 点间作相对运动时存在不同的内摩擦力。这种表明流体流动时产生内摩擦力的特性称为粘性 粘性是流动性的反面，流体的粘性越大，其流动性越小。流体的粘性是流体产生流动阻力的 根源。 如图1-16所示，设有上、下两块面积很大且相距很近的平行平板，板间充满某种静止液 体。若将下板固定，而对上板施加一个恒定的外力，上板就以恒定速度“沿x方向运动。若“ 较小，则两板间的液体就会分成无数平行的薄层而运动，粘附在上板底面下的一薄层流体以 速度“随上板运动，其下各层液体的速度依次降低，紧贴在下板表面的一层液体，因粘附在 静止的下板上，其速度为零，两平板间流速呈线性变化。对任意相邻两层流体来说，上层速度 较大，下层速度较小，前者对后者起带动作用，而后者对前者起拖曳作用，流体层之间的这 种相互作用，产生内摩擦，而流体的粘性正是这种内摩擦的表现。 平行平板间的流体，流速分布为直线，而流体在圆管内流动时，速度分布呈抛物线形， 如图1-17所示。 面积A dy- u+du U-0 图1-16平板间液体速度变化 图17实际流体在管内的速度分布 实验证明，对于一定的流体，内摩擦力F与两流体层的速度差d“成正比，与两层之间的 垂直距离山成反比，与两层间的接触面积A成正比，即
1 1.3 管内流体流动现象 本节重点：牛顿粘性定律、层流与湍流的比较。 难点： 边界层与层流内层。 1.3.1 流体的粘度 1. 牛顿粘性定律 流体的典型特征是具有流动性，但不同流体的流动性能不同，这主要是因为流体内部质 点间作相对运动时存在不同的内摩擦力。这种表明流体流动时产生内摩擦力的特性称为粘性。 粘性是流动性的反面，流体的粘性越大，其流动性越小。流体的粘性是流体产生流动阻力的 根源。 如图 1-16 所示，设有上、下两块面积很大且相距很近的平行平板，板间充满某种静止液 体。若将下板固定，而对上板施加一个恒定的外力，上板就以恒定速度 u 沿 x 方向运动。若 u 较小，则两板间的液体就会分成无数平行的薄层而运动，粘附在上板底面下的一薄层流体以 速度 u 随上板运动，其下各层液体的速度依次降低，紧贴在下板表面的一层液体，因粘附在 静止的下板上, 其速度为零，两平板间流速呈线性变化。对任意相邻两层流体来说，上层速度 较大，下层速度较小，前者对后者起带动作用，而后者对前者起拖曳作用，流体层之间的这 种相互作用，产生内摩擦，而流体的粘性正是这种内摩擦的表现。 平行平板间的流体，流速分布为直线，而流体在圆管内流动时，速度分布呈抛物线形， 如图 1-17 所示。 实验证明，对于一定的流体，内摩擦力 F 与两流体层的速度差 . d u 成正比，与两层之间的 垂直距离 dy 成反比，与两层间的接触面积 A 成正比，即 图 1-16 平板间液体速度变化 图 1-17 实际流体在管内的速度分布
F-mdu (1-26) ”dy 式中：F一一内摩擦力，N: du 一一法向速度梯度，即在与流体流动方向相垂直的y方向流体速度的变化率，1s: y ”一一比例系数，称为流体的粘度或动力粘度，Pa·s。 一般，单位面积上的内摩擦力称为剪应力，以t表示，单位为P,则式(1-26)变为 =udu (1-26a) y 式(1-26)、(1-26a)称为牛顿粘性定律，表明流体层间的内摩擦力或剪应力与法向速度 梯度成正比。 剪应力与速度梯度的关系符合牛顿粘性定律的流体，称为牛顿型流体，包括所有气体 和大多数液体：不符合牛顿粘性定律的流体称为非牛顿型流体，如高分子溶液、胶体溶液及 悬浮液等。本章讨论的均为牛顿型流体。 2.流体的粘度 粘度的物理意义流体流动时在与流动方向垂直的方向上产生单位速度梯度所需的剪 应力。粘度是反映流体粘性大小的物理量。 粘度也是流体的物性之一，其值由实验测定。液体的粘度，随温度的升高而降低，压 力对其影响可忽略不计。气体的粘度，随温度的升高而增大，一般情况下也可忽略压力的影 响，但在极高或极低的压力条件下需考虑其影响。 粘度的单位 在国际单位制下，其单位为 小s。 Pa m/s=Pa.s m 在一些工程手册中，粘度的单位常常用物理单位制下的cP(厘泊)表示，它们的换算关 系为 1cP=10-3 Pa-s 运动粘度流体的粘性还可用粘度“与密度P的比值表示，称为运动粘度，以符号表
2 dy d u F A . = （1-26） 式中：F——内摩擦力，N； dy d u . ——法向速度梯度，即在与流体流动方向相垂直的 y 方向流体速度的变化率，1/s； μ——比例系数，称为流体的粘度或动力粘度，Pa·s。 一般，单位面积上的内摩擦力称为剪应力，以τ表示，单位为 Pa，则式（1-26）变为 dy d u . = （1-26a） 式（1-26）、（1-26a）称为牛顿粘性定律，表明流体层间的内摩擦力或剪应力与法向速度 梯度成正比。 剪应力与速度梯度的关系符合牛顿粘性定律的流体，称为牛顿型流体，包括所有气体 和大多数液体；不符合牛顿粘性定律的流体称为非牛顿型流体，如高分子溶液、胶体溶液及 悬浮液等。本章讨论的均为牛顿型流体。 2．流体的粘度 粘度的物理意义 流体流动时在与流动方向垂直的方向上产生单位速度梯度所需的剪 应力。粘度是反映流体粘性大小的物理量。 粘度也是流体的物性之一，其值由实验测定。液体的粘度，随温度的升高而降低，压 力对其影响可忽略不计。气体的粘度，随温度的升高而增大，一般情况下也可忽略压力的影 响，但在极高或极低的压力条件下需考虑其影响。 粘度的单位 在国际单位制下，其单位为 Pa s m m s Pa . = = = d u dy 在一些工程手册中，粘度的单位常常用物理单位制下的 cP（厘泊）表示，它们的换算关 系为 1cP＝10-3 Pa·s 运动粘度 流体的粘性还可用粘度μ与密度ρ的比值表示，称为运动粘度，以符号ν表
示，即 v=4 (1-27) D 其单位为ms。显然运动粘度也是流体的物理性质。 3.剪应力与动量通量 如图1-16所示，沿流体流动方向相邻的两流体层，由于速度不同，动量也就不同。高速 流体层中一些分子在随机运动中进入低速流体层，与速度较慢的分子碰撞使其加速，动量增 大，同时，低速流体层中一些分子也会进入高速流体层使其减速，动量减小。由于流体层之 间的分子交换使动量从高速流体层向低速流体层传递。由此可见，分子动量传递是由于流体 层之间速度不等，动量从速度大处向速度小处传递。 剪应力可写为以下形式 异”帝需 式中，(mu)为动量，0为时间，所以剪应力表示了单位时间、通过单位面积的动量，即动量 通量，牛顿粘性定律也反映了动量通量的大小。 r=u业-gdm=vd则 (1-26b) dy p dy dy 式中，P1=严为单位体积流体的动量。称为动量浓度，m四为动量浓度梯度。由此可 dy 知，动量通量与动量浓度梯度成正比。 1.3.2流体的流动型态 1,两种流型—层流和灣流 (a) 6) (c) 图1-18雷诺实验装置 图119流体流动型态示意图
3 示，即 = （1-27） 其单位为 m2 /s。显然运动粘度也是流体的物理性质。 3．剪应力与动量通量 如图 1-16 所示，沿流体流动方向相邻的两流体层，由于速度不同，动量也就不同。高速 流体层中一些分子在随机运动中进入低速流体层，与速度较慢的分子碰撞使其加速，动量增 大，同时，低速流体层中一些分子也会进入高速流体层使其减速，动量减小。由于流体层之 间的分子交换使动量从高速流体层向低速流体层传递。由此可见，分子动量传递是由于流体 层之间速度不等，动量从速度大处向速度小处传递。 剪应力可写为以下形式 Ad d mu d du A m A ma A F ( ) = = = = 式中，（mu）为动量，θ为时间，所以剪应力表示了单位时间、通过单位面积的动量，即动量 通量，牛顿粘性定律也反映了动量通量的大小。 dy d u dy d u dy d u . . . ( ) ( ) = = = （1-26b） 式中， V mu u . . = 为单位体积流体的动量，称为动量浓度， dy d mu . ( ) 为动量浓度梯度。由此可 知，动量通量与动量浓度梯度成正比。 1.3.2 流体的流动型态 1． 两种流型——层流和湍流 图 1-18 雷诺实验装置 图 1-19 流体流动型态示意图
图1-18为雷诺实验装置示意图。水箱装有溢流装置，以维持水位恒定，箱中有一水平玻 璃直管，其出口处有一阀门用以调节流量。水箱上方装有带颜色的小瓶，有色液体经细管注 入玻璃管内。 从实验中观察到，当水的流速从小到大时，有色液体变化如图19所示。实验表明，流 体在管道中流动存在两种截然不同的流型。 层流（或滞流）如图1-19(a)所示，流体质点仅沿者与管轴平行的方向作直线运动， 质点无径向脉动，质点之间互不混合： 满流（或素流）如图1-19(c)所示，流体质点除了沿管轴方向向前流动外，还有径向 脉动，各质点的速度在大小和方向上都随时变化，质点互相碰撞和混合。 2.流型判据—雷诺准数 流体的流动类型可用需诺数R爬判断。 Re=dpu (1-28) Re准数是一个无因次的数群。 大量的实验结果表明，流体在直管内流动时 (1)当Re≤2000时，流动为层流，此区称为层流区： (2)当Re≥4000时，一般出现湍流，此区称为湍流区： (3)当2000<Re<4000时，流动可能是层流，也可能是湍流，与外界干扰有关，该 区称为不稳定的过渡区。 雷诺数的物理意义R反映了流体流动中惯性力与粘性力的对比关系，标志流体流动的 湍动程度。其值愈大，流体的湍动愈剧烈，内摩擦力也愈大。 1.3.3流体在圆管内的速度分布 流体在圆管内的速度分布是指流体流动时管截面上质点的速度随半径的变化关系。无论 是层流或是湍流，管壁处质点速度均为零，越靠近管中心流速越大，到管中心处速度为最大。 但两种流型的速度分布却不相同。 1.层流时的速度分布 实验和理论分析都己证明，层流时的速度分布为抛物线形状，如图1-20所示。以下进行 理论推导
4 图 1-18 为雷诺实验装置示意图。水箱装有溢流装置，以维持水位恒定，箱中有一水平玻 璃直管，其出口处有一阀门用以调节流量。水箱上方装有带颜色的小瓶，有色液体经细管注 入玻璃管内。 从实验中观察到，当水的流速从小到大时，有色液体变化如图 1-19 所示。实验表明，流 体在管道中流动存在两种截然不同的流型。 层流（或滞流） 如图 1-19（a）所示，流体质点仅沿着与管轴平行的方向作直线运动， 质点无径向脉动，质点之间互不混合； 湍流（或紊流） 如图 1-19（c）所示，流体质点除了沿管轴方向向前流动外，还有径向 脉动，各质点的速度在大小和方向上都随时变化，质点互相碰撞和混合。 2． 流型判据——雷诺准数 流体的流动类型可用雷诺数 Re 判断。 du Re = （1-28） Re 准数是一个无因次的数群。 大量的实验结果表明，流体在直管内流动时， （1） 当 Re≤2000 时，流动为层流，此区称为层流区； （2） 当 Re≥4000 时，一般出现湍流，此区称为湍流区； （3） 当 2000< Re <4000 时，流动可能是层流，也可能是湍流，与外界干扰有关，该 区称为不稳定的过渡区。 雷诺数的物理意义 Re 反映了流体流动中惯性力与粘性力的对比关系，标志流体流动的 湍动程度。其值愈大，流体的湍动愈剧烈，内摩擦力也愈大。 1.3.3 流体在圆管内的速度分布 流体在圆管内的速度分布是指流体流动时管截面上质点的速度随半径的变化关系。无论 是层流或是湍流，管壁处质点速度均为零，越靠近管中心流速越大，到管中心处速度为最大。 但两种流型的速度分布却不相同。 1． 层流时的速度分布 实验和理论分析都已证明，层流时的速度分布为抛物线形状，如图 1- 20 所示。以下进行 理论推导
DR 图1-20层流时的速度分布 图121层流时管内速度分布的推导 如图1-21所示，流体在圆形直管内作定态层流流动。在圆管内，以管轴为中心，取半径 为人长度为1的流体柱作为研究对象。 由压力差产生的推力(P-P2)m 流体层间内摩擦力 F=u=-42an0 流体在管内作定态流动，根据牛顿第二定律，在流动方向上所受合力必定为零。即有 (n-m2=-2m0 dr 整理得 du=_(p-P:)r 24 利用管壁处的边界条件，=R时，Ⅱ=0，积分可得速度分布方程 u=B-P2(R2-r2) (1-29 Aul 管中心流速为最大，即r=0时，4=山m,由式(1-29)得 Mm-B二PlR (1-30) 4ul 将式(1-30)代入式(1-29)中，得 -周 (1-29a 根据流量相等的原则，确定出管截面上的平均速度为
5 如图 1-21 所示，流体在圆形直管内作定态层流流动。在圆管内，以管轴为中心，取半径 为 r、长度为 l 的流体柱作为研究对象。 由压力差产生的推力 2 1 2 ( p − p )r 流体层间内摩擦力 dr d u rl dr d u F A . . = − = −(2 ) 流体在管内作定态流动，根据牛顿第二定律，在流动方向上所受合力必定为零。即有 dr d u p p r rl . 2 1 2 ( − ) = −(2 ) 整理得 r p p dr d u 2 ( ) 1 2 . − = − 利用管壁处的边界条件，r＝R 时， . u ＝0，积分可得速度分布方程 ( ) 4 ( ) 1 2 2 2 . R r l p p u − − = （1-29） 管中心流速为最大，即 r＝0 时， . u ＝umax，由式（1-29）得 1 2 2 max 4 ( ) R l p p u − = （1-30） 将式（1-30）代入式（1-29）中，得 = − 2 max . 1 R r u u （1-29a） 根据流量相等的原则，确定出管截面上的平均速度为 图 1-20 层流时的速度分布 图 1-21 层流时管内速度分布的推导