第一讲随机变量、离散型随机变量及其分布律 I授课题目： 第一节随机变量 第二节离散型随机变量及其分布律 Ⅱ教学目的与要求： 1.熟练掌握随机变量的概念和性质： 2.掌握离散型随机变量的概念和计算 Ⅲ教学重点与难点： 重点：随机变量的概念和性质 难点：离散型随机变量的计算 V讲授内容： 一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的 概念 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的 点数：七月份本市的最高温度：昆虫的产卵数 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而 叫号码一样，二者建立了一种对应关系，这种对应关系在数学上理解为定义了一种实 值函数.e-X(e) 思考：这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？ (1)它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围， 而不能预先肯定它将取哪个值.(2)由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这 种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率称这种定义在样本 空间上的实值函数为随机变量，简记为r.v 随机变量通常用大写字母X,Y,Z或希腊字母S,1等表示：而表示随机变量所取 箱支童药买食染家有行机生盆城中种所 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用X表示，它是一个随机变量 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现 象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的 研究， 通常分为两类：离散型随机变量所有取值可以逐个一一列举，如“取到次品的 个数”，“收到的呼叫数”等连续型随机变量全部可能取值不仅无穷多，而且还不能 一列举，而是充满一个区间，例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误 差”等. 二、离散型随机变量 设X是一个离散型随机变量，它可能取的值是x,x2,.x。,.为了描述随机 从具考尚殿金取
第一讲随机变量、离散型随机变量及其分布律 Ⅰ 授课题目： 第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量及其分布律 Ⅱ 教学目的与要求： 1.熟练掌握随机变量的概念和性质； 2.掌握离散型随机变量的概念和计算 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：随机变量的概念和性质 难点：离散型随机变量的计算 Ⅳ 讲授内容： 一、随机变量概念的产生 在实际问题中，随机试验的结果可以用数量来表示，由此就产生了随机变量的 概念 1、有些试验结果本身与数值有关（本身就是一个数）.例如，掷一颗骰子面上出现的 点数；七月份本市的最高温度；昆虫的产卵数 2、在有些试验中，试验结果看来与数值无关，但我们可以引进一个变量来表示它的 各种结果.也就是说，把试验结果数值化.正如裁判员在运动场上不叫运动员的名字而 叫号码一样，二者建立了一种对应关系，这种对应关系在数学上理解为定义了一种实 值函数. e- X(e) 思考：这种实值函数与在高等数学中大家接触到的函数一样吗？ （1）它随试验结果的不同而取不同的值，因而在试验之前只知道它可能取值的范围， 而不能预先肯定它将取哪个值. （2）由于试验结果的出现具有一定的概率，于是这 种实值函数取每个值和每个确定范围内的值也有一定的概率. 称这种定义在样本 空间上的实值函数为随机变量, 简记为 r.v. 随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母ζ,η等表示;而表示随机变量所取 的值 时,一般采用小写字母 x,y,z 等.有了随机变量,随机试验中的各种事件，就可以 通过随机变量的关系式表达出来. 如：单位时间内某电话交换台收到的呼叫次数用 X 表示，它是一个随机变量. 随机变量概念的产生是概率论发展史上的重大事件.引入随机变量后，对随机现 象统计规律的研究，就由对事件及事件概率的研究扩大为对随机变量及其取值规律的 研究,? 通常分为两类:离散型随机变量 所有取值可以逐个 一一列举 ,如“取到次品的 个数”，“收到的呼叫数”等. 连续型随机变量全部可能取值不仅无穷多，而且还不能 一一列举，而是充满 一个区间, 例如，“电视机的寿命”，实际中常遇到的“测量误 差”等. 二、离散型随机变量 设 X 是一个离散型随机变量，它可能取的值是 1 2 , , , n x x x 为了描述随机 变量 X ，我们不仅需要知道随机变量 X 的取值，而且还应知道 X 取每个值的概率. 例1 从 2 个白球、3 个红球中任取 3 个球取到的白球数 X 是一个随机变量 X 可能取
的值是0,1,2。取每个值的概率为 P(X=0)=C P(Y=1)=CiC P(X=2)=CC 且满足∑PX=)=1 这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律 定义1：设xk=1,2,)是离散型随机变量X所取的一切可能值，称 P(X=x)=Pk (k=1,2,.)为离散型随机变量X的概率分布或分布律， 有的书上也称概率函数. 其中P(X=x)=P4(k=1,2,.)满足 (1)P20(k=1,2,.) 2)n,=l 用这两条性质判断一个函数是否是概率分布 例2设随机变量X的概率分布为PX==0对k=01.2”公>0 试确定常数a 解：依据概率分布的性质： (1)p420(k=1,2,.) ②)2A=1 欲使上述函数为概率分布应有 02若l 从中解得a=e 随机变量的表示方法 (1)列表法 (2)公式法 (3)图示法 例3.某篮球运动员投中篮圈概率是0.9，求他两次独立投篮投中次数X的概率分 布 解X可取0、1、2为值
的值是 0,1,2 。取每个值的概率为 3 3 3 5 ( 0) C P X C = = 2 1 3 2 3 5 ( 1) C C P X C = = 1 2 3 2 3 5 ( 2) C C P X C = = 且满足 2 0 ( ) 1 i P X i = = = 这样，我们就掌握了 X 这个随机变量取值的概率规律. 定义 1 ：设 k x (k=1,2, .)是离散型随机变量 X 所取的一切可能值，称 ( ) P X x p = = k k ， （ k=1,2,. .） 为离散型随机变量 X 的概率分布或分布律， 有的书上也称概率函数. 其中 ( ) P X x p = = k k (k=1,2, .) 满足： （1） 0 k p （k=1，2，.） （2） 1 1 k k p = = 用这两条性质判断一个函数是否是概率分布 例 2. 设随机变量 X 的概率分布为： ( ) ! k P X k a k = = ,k =0,1,2,., 0 试确定常数 a . 解: 依据概率分布的性质: （1） 0 k p （k=1，2，.） （2） 1 1 k k p = = 欲使上述函数为概率分布 应有 a 0, 0 1 ! k k a ae k = = = 从中解得 a e − = . 随机变量的表示方法 （1）列表法 （2）公式法 （3）图示法 例 3. 某篮球运动员投中篮圈概率是 0.9，求他两次独立投篮投中次数 X 的概率分 布. 解 X 可取 0、1、2 为值
P(X=0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X=1)=2(0.9)(0.1)=0.18 P(X=2)=(0.9)(0.9=0.81 且 P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=1 常常表示为： 0 0.01 0.18 0.81 文试昆【的概索分布 例4电子线路中装有两个并联的继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机性， 且彼此独立.已知每个电器接通的概率为0.8，记X为线路中接通的继电器的个数. 求：(1)X的分布律. (2)线路接通的概率 解(1).记Ai={第i个继电器接通}，i=l,2. ,两个继电器是否接通是相互独立的 A1和A2相互独立，另外P(A1)=P(A2)=0.8 下面求X的分布律.首先：X可能取0,1,2，三个值 P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通} P{X=1}=P{恰有 个由接通】 P{X=2}=P{两个继电器都接通}， .X的分布律为 PX=0)=PAA2=0.20.2=0.04 PX=1)=P4A+A4)=0.8.0.2+0.20.8=0.32 PX=0)=P(44)=0.80.8=0.64 2）,是并联电路 ∴.P(线路接通)=P(只要一个继电器接通) =P{X≥1}=P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64 =0.96 三、常见的离散型随机变量的概率分布 1、两点分布 设E是一个只有两种可能结果的随机试验，用Q={x,x,}表示其样 本空间. P({x})p,P({x2})=1- 例5X(w)=1,取到合格品1，取到不合格品0 则pX=11=196/200=0.98 PX=0}=4/200=0.02 故X服从参数为0.98的两点分布.即X~B(1,0.98). 2、贝努里概型和二项分布 例6设生男孩的概率为P,生女孩的概率为q=1-p,令X表示随机抽查出生的4 个婴儿中“男孩”的个数 我们来求X的概率分布. X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为p.X可取值0,1,2,3,4. X的概率分布
P(X =0)=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1 常常表示为： X 0 1 2 P 0.01 0.18 0.81 这就是 X 的概率分布. 例 4 电子线路中装有两个并联的继电器.假设这两个继电器是否接通具有随机性, 且彼此独立.已知每个电器接通的概率为 0.8,记 X 为线路中接通的继电器的个数. 求:(1)X 的分布律. (2)线路接通的概率. 解 (1).记 Ai={第 i 个继电器接通},i=1,2. ∵ 两个继电器是否接通是相互独立的, ∴ A1 和 A2 相互独立,另外 P(A1)=P(A2)=0.8. 下面求 X 的分布律. 首先:X 可能取 0,1,2,三个值. P{X=0}=P{表示两个继电器都没接通} P{X=1}=P{恰有一个继电器接通} P{X=2}=P{两个继电器都接通}, ∴ X 的分布律为 P X P A A ( 0) 0.2 0.2 0.04 = = = = ( 1 2 ) P X P A A A A ( 1) 0.8 0.2 0.2 0.8 = = + = + ( 1 2 1 2 ) =0.32 P X P A A ( 0) 0.8 0.8 0.64 = = = = ( 1 2 ) 2) ∵是并联电路 ∴ P(线路接通)=P(只要一个继电器接通) =P{X≥1} =P{X=1}+P{X=2}=0.32+0.64 =0.96. 三、常见的离散型随机变量的概率分布 1、两点分布 设 E 是一个只有两种可能结果的随机试验,用Ω={ 1 2 x x, }表示其样 本空间. P({ 1 x })=p , P({ 2 x })=1-p 例 5 X(w)=1, 取到合格品 1, 取到不合格品 0 则 P{X=1}=196/200=0.98, P{X=0}=4/200=0.02 故 X 服从参数为 0.98 的两点分布 . 即 X ～ B(1,0.98). 2、 贝努里概型和二项分布 例 6 设生男孩的概率为 p,生女孩的概率为 q=1-p，令 X 表示随机抽查出生的 4 个婴儿中“男孩”的个数. 我们来求 X 的概率分布. X 表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为 p. X可取值0,1,2,3,4. X 的概率分布
例7将一枚均匀股子抛掷3次，令X表示3次中出现“4”点的次数X的概率分 一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A或排A,或者形象地把 两个互逆结果叫做“成功”和“失败”，再设我们重复地进行次独立试验(“重复” 是指这次试验中各次试验条件相同）每次试验成功的概率考 p, 失败的概率都是 q=1-p.这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型. 用X表示n重贝努里试验中事件A(成功)出现的次数，则称r.v.X服从参数为n 和p的二项分布，记作XB(血，p) 注：贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： (1)每次试验条件相同： (2)每次试验只考虑两个互逆结果A或非A,且P(A)=p: (3)各次试验相互独立 二项分布描述的是重贝努里试验中出现“成功”次数X的概率分布. 例8某类T为使用时数在2000小时以上视为正品.口知有一大批文类的t打拘.其次 品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验，求这20只灯泡中恰有3只是次品的概率 解：设X为20只灯泡中次品的个数，则.X~B(20,0.2) 1说明下面我们研究二项分布B(n,p)和两点分布B(1,p)之间的一个重要关系 设试验E只有两个结果：A和非A.记p=P(A),则P(A)=1-p,0<p<1,我们把试 验E在相同条件下，相互独立地进行n次，且记X为n次独立试验中结果A出现的次数. 把描述第i次实验的随机变量记作Xi则X B(1,p) 且X1,X2,?,X也是相 独立的（随机变量相互独立的严格定义第三章再讲）.则有X=X1+X2++X 3、泊松分布 (1)泊松分布的定义及图形特点 设随机变量X所有可能取的值为0,1,2，·，且概率分布为： 其中>0是常数，则称X服从参数为的泊松分布，记作XP() 例9某一无线寻呼台，每分钟收到寻呼的次数X服从参数=3的泊松分布. 求：(1)一分钟内恰好收到3次寻的概率. (2)一分钟内收到2至5次寻呼的概率 解：(1)P{X=3}=p3:3)=(33/3!)e-3≈0.2240 (2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+PX=3}+P{X=4}+P{X=5} =[(32/2!)+(33/3:)+(34/4!)+(35/5:)]e-3 ≈0.7169 例10某一城市每天发生火灾的次数X服从参数为0.8的泊松分布. 求：该城市一天内发生3次以上火灾的概率 解P{X≥3}=1-P{X<3}=1-[P{K=0}+P{X=1}+P{X=2}] =1-L(0.80/0:)+(0.81/1:)+(0.82/2!)e-0.8 ≈0.0474 (2)、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于1837年由法国数学家泊松引入的 对于二项分布B(n,p),当n充分大，p又很小时，则对任意固定的非负整数k,有近 似公式
例 7 将一枚均匀骰子抛掷 3 次， 令 X 表示 3 次中出现“4”点的次数 X 的概率分 布 一般地，设在一次试验中我们只考虑两个互逆的结果：A 或非 A ，或者形象地把 两个互逆结果叫做“成功”和“失败”.再设我们重复地进行 n 次独立试验 ( “重复” 是指这次试验中各次试验条件相同 ) 每次试验成功的概率都是 p，失败的概率 都是 q=1-p.这样的n次独立重复试验称作n重贝努里试验，简称贝努里试验或贝努里概型. 用 X 表示 n 重贝努里试验中事件 A（成功）出现的次数，则 称 r.v.X 服从参数为 n 和 p 的二项分布，记作 X~B(n,p) 注: 贝努里概型对试验结果没有等可能的要求，但有下述要求： （1）每次试验条件相同； （2）每次试验只考虑两个互逆结果 A 或非 A ，且 P(A)=p ； （3）各次试验相互独立. 二项分布描述的是 n 重贝努里试验中出现 “成功”次数 X 的概率分布. 例 8 某类灯泡使用时数在 2000 小时以上视为正品.已知有一大批这类的灯泡,其次 品率是0.2.随机抽出20只灯泡做寿命试验,求这20 只灯泡中恰有3 只是次品的概率. 解: 设 X 为 20 只灯泡中次品的个数 ,则. X ~ B (20, 0.2) 1 说明 下面我们研究二项分布 B(n,p)和两点分布 B(1,p)之间的一个重要关系 设试验 E 只有两个结果:A 和非 A .记 p=P(A),则 P( A )= 1- p ,0<p<1,我们把试 验E在相同条件下,相互独立地进行n次,且记X为n 次独立试验中结果A 出现的次数. 把描述第 i 次实验的随机变量记作 Xi 则 Xi ～ B(1,p), 且 X1,X2 ,? ,Xn 也是相互 独立的(随机变量相互独立的严格定义第三章再讲).则有 X= X1+X2+.+Xn 3、泊松分布 （1）泊松分布的定义及图形特点 设随机变量 X 所有可能取的值为 0 , 1 , 2 , . , 且概率分布为： 其中 >0 是常数,则称 X 服从参数为 的泊松分布,记作 X~P( ). 例 9 某一无线寻呼台,每分钟收到寻呼的次数 X 服从参数 =3 的泊松分布. 求:(1)一分钟内恰好收到 3 次寻的概率. (2)一分钟内收到 2 至 5 次寻呼的概率. 解: (1)P{X=3}=p(3;3)=(33/3!)e-3≈0.2240 (2)P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5} =[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3 ≈0.7169 例 10 某一城市每天发生火灾的次数 X 服从参数为 0.8 的泊松分布. 求:该城市一天内发生 3 次以上火灾的概率. 解 P{X≥3}=1- P{X<3} =1-[P{X=0}+ P{X=1}+P{X=2}] =1-[(0.8 0/0!)+(0.81/1!)+(0.82/2!)]e-0.8 ≈0.0474 （2）、二项分布与泊松分布 历史上，泊松分布是作为二项分布的近似，于 1837 年由法国数学家泊松引入的 对于二项分布 B(n,p),当n 充分大,p 又很小时,则对任意固定的非负整数k,有近 似公式
我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件.如地震、火山爆发、特 大洪水、意外事故等等 由泊松定理，n重Π察里式哈中稀有事件出现的次数斤似地服从泊松分布 例11某出租汽车公司共有出租车400辆，设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02， 求：一天内没有出租车出现故障的概率. 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验E.因为每辆车是否出现故障与其 它车无关，于是观察400辆出租车是否出现故障就是做400次伯努利试验，设X表示 一天内出现故障的出租车数，则：X~B(400,0.02). 今1=nD=400×0.02=8 于是：P(一天内没有出租车出现故障】 =P{X=0}=b(0:400,0.02) ≈(80/0：)e-8=0.0003355 本次课，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.对于离散型随机变量，如果知道 了它的概率分布，也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上，我们说 离散型随机变量由它的概率分布唯一确定 小结与提问： 小结：本次课，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.对于离散型随机变量， 如果知道了它的概率分布，也就知道了该随机变量取值的概率规律.在这个意义上， 我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定 Ⅵ课外作业： P91.3.6.8.12
我们把在每次试验中出现概率很小的事件称作稀有事件. 如地震、火山爆发、特 大洪水、意外事故等等 由泊松定理，n 重贝努里试验中稀有事件出现的次数近似地服从泊松分布. 例11 某出租汽车公司共有出租车400 辆,设每天每辆出租车出现故障的概率为0.02, 求:一天内没有出租车出现故障的概率. 将观察一辆车一天内是否出现故障看成一次试验 E.因为每辆车是否出现故障与其 它车无关,于是观察 400 辆出租车是否出现故障就是做 400 次伯努利试验,设 X 表示 一天内出现故障的出租车数,则: X ～ B(400, 0.02). 令 l=np=400×0.02=8 于是: P{一天内没有出租车出现故障} =P{X=0} =b(0;400,0.02) ≈(80/0!)e-8 =0.0003355 本次课，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.对于离散型随机变量，如果知道 了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上，我们说 离散型随机变量由它的概率分布唯一确定 Ⅴ 小结与提问： 小结：本次课，我们介绍了离散型随机变量及其概率分布.对于离散型随机变量， 如果知道了它的概率分布,也就知道了该随机变量取值的概率规律. 在这个意义上， 我们说离散型随机变量由它的概率分布唯一确定 Ⅵ 课外作业： 69 P 1.3.6.8.12