第一讲概率的定义及性质 I授课题目 §1.0 概率论研究的对象 S11 随机试验 §1.2样本空间、随机事件 §1.3频率与概率，概率的性质 Ⅱ教学目的与要求 1、理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念 2、理解样本空间、样本点的概念，会用集合表示样本空间和事件 3、掌握事件的基本关系与运算 4、掌握概率的性质 Ⅲ教学重点与难点 重点：事件的基本关系与运算，概率的性质 难点：用集合表示样本空间和事件 几V进授内容： §1.0概率论研究的对象 两类现象确定现象与不确定现象 先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象 1 水在一个大气压力下，加热到100℃就沸腾. 例2 向上抛掷一个五分硬币，往下掉 例3 太阳从东方升起 例4 个大气压力下，20℃的水结冰 例1，例2，例3是必然发生的，而例4是必然不发生的 个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分，线性代数等就研究必然现 象的数学工具.与此同时，在自然界和人类社会中，人们还发现具有不同性质的另一类 现象先看下面实例 用大炮轰击某一目标，可能击中，也可能击不中 例6 在相同的条件下，抛一枚质地均匀的硬币，其结果可能是正面（我们常 把有币值的一面称作正面)朝上，也可能是反面朝上 例7 次品率为50%的产品，任取一个可能是正品，也可能是次品 次品率为1%的产品，任取一个可能是正品，也可能是正品 例5~例8这类现象归纳起来可以看作在相同条件下一系列的试验或观察，而每 次试验或观察的可能结果不止一个，在每次试验或观察之前无法预知确切结果，即呈现 出不确定性（即这些现象的结果事先不能完全确定），这一类型现象我们称之为不确定 性现象或偶然现象，也称之为随机现象 二统计规律性、概率论研究的对象 对于不确定性现象，人们经过长时期的观察或实践的结果表明，这些现象并非是 杂乱无章的，而是有规律可寻的例如，大量重复抛一枚硬币，得正面朝上的次数与正面
第一讲 概率的定义及性质 Ⅰ 授课题目 §1.0 概率论研究的对象 §1.1 随机试验 §1.2 样本空间、随机事件 §1.3 频率与概率，概率的性质 Ⅱ 教学目的与要求 1、理解随机试验、随机事件、必然事件、不可能事件等概念 2、理解样本空间、样本点的概念,会用集合表示样本空间和事件 3、掌握事件的基本关系与运算 4、掌握概率的性质 Ⅲ 教学重点与难点 重点：事件的基本关系与运算，概率的性质 难点：用集合表示样本空间和事件 Ⅳ 讲授内容： §1.0 概率论研究的对象 一 两类现象-确定现象与不确定现象 先从实例来看自然界和社会上存在着两类不同的现象. 例1 水在一个大气压力下,加热到 100℃就沸腾. 例2 向上抛掷一个五分硬币,往下掉. 例3 太阳从东方升起. 例4 一个大气压力下,20℃的水结冰. 例 1,例 2,例 3 是必然发生的,而例 4 是必然不发生的. 个确切结果)称之为确定性现象或必然现象.微积分,线性代数等就研究必然现 象的数学工具.与此同时,在自然界和人类社会中,人们还发现具有不同性质的另一类 现象先看下面实例. 例5 用大炮轰击某一目标,可能击中,也可能击不中. 例6 在相同的条件下,抛一枚质地均匀的硬币,其结果可能是正面(我们常 把有币值的一面称作正面)朝上,也可能是反面朝上. 例7 次品率为 50%的产品,任取一个可能是正品,也可能是次品. 例8 次品率为 1%的产品,任取一个可能是正品,也可能是正品. 例 5~例 8 这类现象归纳起来可以看作在相同条件下一系列的试验或观察,而每 次试验或观察的可能结果不止一个,在每次试验或观察之前无法预知确切结果,即呈现 出不确定性(即这些现象的结果事先不能完全确定),这一类型现象我们称之为不确定 性现象或偶然现象,也称之为随机现象. 二 统计规律性、概率论研究的对象 对于不确定性现象,人们经过长时期的观察或实践的结果表明,这些现象并非是 杂乱无章的,而是有规律可寻的.例如,大量重复抛一枚硬币,得正面朝上的次数与正面
朝下的次数大致都是抛掷总次数的一半在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性，就是我们以后所说的统计规律性而概率论正是研究这种随机（偶然）现象，寻找 他们的内在的统计规律性的一门数学学科 概率论是数理统计的基础，由于随机现象的普遍性，使得概率与数理统计具有 及其广泛的应用.另一方面，广泛的应用也促进概率论有了极大的发展 §1,1随机试验 对随机现象进行的试验或观察称为随机试验，简称试验，它具有下列特性（征）： (1)试验可以在相同条件下重复进行 (2) 试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个： 3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前 不能肯定这次试验会出现哪一个结果 随机实验记为E. 例1 E1:投掷一枚硬币，观察正反面朝上的情况 它有两种可能的结果就是“正面朝上”或“反面朝上”，投掷之前不能预言哪 个结果出现，且这个试验可以在相同的条件下重复进行，所以E1是一个随机试验 例2E2:掷一颗骰子，观察出现的点数。 它有6种可能的结果就是“出现1点”，“出现2点”.，“出现6点”。 但在投掷之前不能预言哪一个结果出现，且这个试验可以在相同的条件下重复进行， 所以E2是一个随机试验。 例3 3:在一批T泡中任意袖取一只，侧试他的寿命 我们知道灯泡的寿命（以小时计）t≥0，但在测试之前不能确定它的寿命有 多长，这一试验也可以在相同的条件下重复进行，所以3是一个随机试验。 §12样本空间、随机事件 对随机试验我们感兴趣的是试验结果。随机试验E的每一个可能的结果 称之为基本事件，它是不能再分的最简单的事件。因为随机试验的所有结果是明确的， 从而所有的基本事件也是明确的，我们把随机试验E的所有基本事件所组成的集合 (全体)叫做试验E的样本空间，通常用字母Q表示，Q中的点，即基本事件。有 时也称做样本点，常用。表示 例4 试验E2:投掷一枚硬币。 “正面朝上”和“反面朝上”是E1的基本事件，所以样本空间Q={正， 反}。 例5 试验E2:掷一颗骰子。 令i表示“出现1点”。(=1,2，·，6)，是E2的基本事件，所以样本 空间2={1,2，.，8}。 例6试验E3:测试灯泡寿命。 令t表示“测得灯泡寿命为t小时”，则0≤t<+∞是3的基本事件，所 以2={tl0≤t<+∞}. 例7一个盒子中有十个相同的球，但5个是白色的，另外5个是黑色的
朝下的次数大致都是抛掷总次数的一半.在大量地重复试验或观察中所呈现出的固有 规律性,就是我们以后所说的统计规律性.而概率论正是研究这种随机(偶然)现象,寻找 他们的内在的统计规律性的一门数学学科. 概率论是数理统计的基础,由于随机现象的普遍性,使得概率与数理统计具有 及其广泛的应用.另一方面,广泛的应用也促进概率论有了极大的发展. §1.1 随机试验 对随机现象进行的试验或观察称为随机试验,简称试验,它具有下列特性(征): (1) 试验可以在相同条件下重复进行; (2) 试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个; (3) 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前 不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 随机实验记为 E. 例1 E1:投掷一枚硬币,观察正反面朝上的情况. 它有两种可能的结果就是“正面朝上”或“反面朝上”,投掷之前不能预言哪 一个结果出现，且这个试验可以在相同的条件下重复进行，所以 E1 是一个随机试验。 例2 E2：掷一颗骰子，观察出现的点数。 它有 6 种可能的结果就是“出现 1 点”，“出现 2 点”•••，“出现 6 点”。 但在投掷之前不能预言哪一个结果出现，且这个试验可以在相同的条件下重复进行， 所以 E2 是一个随机试验。 例3 E3：在一批灯泡中任意抽取一只，测试他的寿命。 我们知道灯泡的寿命（以小时计）t≥0,但在测试之前不能确定它的寿命有 多长，这一试验也可以在相同的条件下重复进行，所以 E3 是一个随机试验。 §1.2 样本空间、 随机事件 对随机试验我们感兴趣的是试验结果。随机试验 E 的每一个可能的结果， 称之为基本事件，它是不能再分的最简单的事件。因为随机试验的所有结果是明确的， 从而所有的基本事件也是明确的，我们把随机试验 E 的所有基本事件所组成的集合 （全体）叫做试验 E 的样本空间，通常用字母 Ω 表示，Ω 中的点，即基本事件。有 时也称做样本点，常用 ω 表示。 例4 试验 E2：投掷一枚硬币。 “正面朝上”和“反面朝上”是 E1 的基本事件，所以样本空间 Ω={正， 反}。 例5 试验 E2：掷一颗骰子。 令 i 表示“出现 i 点”。（i=1，2，•••，6），是 E2 的基本事件，所以样本 空间 Ω={1，2，•••，8}。 例6 试验 E3：测试灯泡寿命。 令 t 表示“测得灯泡寿命为 t 小时”，则 0≤t＜+∞是 E3 的基本事件，所 以 Ω={t|0≤t＜+∞}. 例 7 一个盒子中有十个相同的球，但 5 个是白色的，另外 5 个是黑色的
搅匀后从中任意摸取一球。 令ω1={取得白球}，ω2={取得黑球}，则Q={ω1，w2}。 例8试验E4:将一硬币抛掷两次。 则={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}。其中（正，正） 表示“第一次正面朝上，第二次正面朝上”，余类推。 例9个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码1,2，·，10，从 中任取一球，令i=取得球的标号为，则Q=1,2,.,10}。 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生。如在例 5中E2试验，我们可以研究 A表示“出现2点”即A={出现2点} B表示“出现偶数点” C表示“出现的点数≤4” 这些结果是否发生？ 在例9中，我们可以研究 D={球的标号6} E={球的标号是偶数； F={球的标号≤5} 这些结果是否发生？ 其中A是一个基本事件，而B是由{出现2点}，{出现4点}和{出现6点) 这三个基本事件组成的，当且仅当这三个基本事件中有一个发生，B发生。所以B, C,E,F是由若干个有某些特征的基本事件所组成的，相对与基本事件，就称她们是 复合事件。无论是基本事件还是复合事件，它们在试验中发生与否，艘带有随机性， 所以都叫随机事件或简称事件，今后我们常用大写字母A,B,C等表示事件。 我们已经知道样本空间Q包含了全体基本事件，而任一随机事件不过是 有某些特征的基本事件所组成，所以从集合论的观点来看，任一随机事件不过是样本 空间Q的一个子集而已，而且时间发生，当且仅当子集中的一个样本点发生。如在 例5中，随机事件A、B、C都是？的子集，它们可以简单地表示为 ={1,2,3,4,5,6} A={2},B={2,4,6 C={1,2,3,4 在例9中 9={1,2,.,101 D={6},E={2,4,5,8,10} F={1,2,3,4,5} 事件D只含一个试验结果，而在事件E和F中各含5个可能的试验结果。 所以我们也可以这样说，只包含一个试验结果的事件为基本事件，由两个或两个以上 基本事件复合而成的事件为复合事件。 在试验E中必然会发生的事情叫必然事件，不可能发生的事情叫不可能事 件，例如例5E2中“点数不大于6”是必然事件，“点数大于6”是不可能事件，因
搅匀后从中任意摸取一球。 令 ω1={取得白球}，ω2={取得黑球}，则 Ω={ω1，ω2}。 例 8 试验 E4：将一硬币抛掷两次。 则 Ω={（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）}。其中（正，正） 表示“第一次正面朝上，第二次正面朝上”，余类推。 例 9 个盒子中有十个完全相同的球，分别标以号码 1，2，•••，10，从 中任取一球，令 i={取得球的标号为 i},则 Ω={1，2，•••，10}。 在随机试验中，有时关心的是带有某些特征的基本事件是否发生。如在例 5 中 E2 试验，我们可以研究 A 表示“出现 2 点”即 A={出现 2 点} B 表示“出现偶数点” C 表示“出现的点数≤4” 这些结果是否发生？ 在例 9 中，我们可以研究 D={球的标号=6} E={球的标号是偶数} F={球的标号≤5} 这些结果是否发生？ 其中 A 是一个基本事件，而 B 是由{出现 2 点}，{出现 4 点}和{出现 6 点} 这三个基本事件组成的，当且仅当这三个基本事件中有一个发生，B 发生。所以 B， C，E，F 是由若干个有某些特征的基本事件所组成的，相对与基本事件，就称她们是 复合事件。无论是基本事件还是复合事件，它们在试验中发生与否，艘带有随机性， 所以都叫随机事件或简称事件，今后我们常用大写字母 A，B，C 等表示事件。 我们已经知道样本空间 Ω 包含了全体基本事件，而任一随机事件不过是 有某些特征的基本事件所组成，所以从集合论的观点来看，任一随机事件不过是样本 空间 Ω 的一个子集而已，而且时间发生，当且仅当子集中的一个样本点发生。如在 例 5 中，随机事件 A、B、C 都是 Ω 的子集，它们可以简单地表示为 Ω={1，2，3，4，5，6} A={2}，B={2，4，6} C={1，2，3，4} 在例 9 中 Ω={1，2，•••，10} D={6}，E={2，4，5，8，10} F={1，2，3，4，5} 事件 D 只含一个试验结果，而在事件 E 和 F 中各含 5 个可能的试验结果。 所以我们也可以这样说，只包含一个试验结果的事件为基本事件，由两个或两个以上 基本事件复合而成的事件为复合事件。 在试验 E 中必然会发生的事情叫必然事件，不可能发生的事情叫不可能事 件，例如例 5E2 中“点数不大于 6”是必然事件，“点数大于 6”是不可能事件，因
为Q是所有基本事件所组成的，因而在任一次试验中，必然要出现Q中的某一基本 事件心，即⊙∈Q。也就是在试验中，Q必然会发生，所以今后用Q来代表必然 事件，类似地，空集中可以看作是Q的子集，它在任一次试验中都不会发生，所以 中是不可能事件。必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了今后研究的方便， 我们把它们当作一种特殊的随机事件。 小结将随机事件表示成由样本点组成的集合，就可以将事件间的关系和 运算归结为集合之间的关系和运算，这不仅对研究事件的关系和运算是方便的，而且 对研究随机事件发生的可能性大小的数量指标一概率的运算也是非常有益的。 三事件之间的关系和运算 一个样本空间Q中，可以有很多的随机事件。概率论的任务之一，是研 究随机事件的规律，通过对简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律。为此，下 面我们引进事件之间的一些重要关系和运算，通过研究事件间的各种关系，进而研究 事件间的概率的各种关系，就有可能利用较简单事件的概率去推算较复杂的事件的概 率。 在以下的叙述中，设试验E的样本空间为Q,还给了Q中的一些事件， 如A,B,Ak(K=1,2,.)等等。 (一)事件的包含及相等 如果事件A的发生必然导致事件B的发生，则称事件B包含事件A,或称 事件A是事件B的特款（子事件），记作AcB或B一A,比如在例5中，A={2,B={2, 4,6},显然AcB。 如果将事件用集合表示，则A是B的子事件即为A是B的子集合(B包含 集合A)。用图1.1(a)给包含关系一个直观的几何解释，设样本空间2是一个正方 形，园A与园B分别表示事件A与事件B,由于A中的点全在B中，所以事件B包含 事件A。 如果有AcB且BCA,则称事件A与事件B相等，记作A=B。易知，相等 的两个事件A、B,总是同时发生或同时不发生，亦即A=B等价于它们是由相同的试 验结果构成的。 如在例9中，若A={球的标号为偶数}，B={球的标号为2、4、6、8、10 则显然有A=B,所谓A=B,就是A、B中含有相同的样本点。 对任一事件A,有DCACQ。 (二)事件的和（并） “二事件A与B中至少有一个事件发生”，这样的一个事件叫做事件A与 B的和（或并），记作AUB(或A+B)。 AUB是由所有包含在A中的或包含在B中的试验结果构成。 如果将事件用集合表示，则事件A与B的和事件AUB即为集合A与B的 并。如图1.1(b)所示。 如在例5中，A={2,4,6,B={1,2,3,4}则C=AUB={1,2,3,4,6}. 事件的和可推广到有限多个事件和可列（数）无穷多个事件的情形
为 Ω 是所有基本事件所组成的，因而在任一次试验中，必然要出现 Ω 中的某一基本 事件 ω，即 ω∈Ω。也就是在试验中，Ω 必然会发生，所以今后用 Ω 来代表必然 事件，类似地，空集 Φ 可以看作是 Ω 的子集，它在任一次试验中都不会发生，所以 Φ 是不可能事件。必然事件和不可能事件的发生与否，已经失去了今后研究的方便， 我们把它们当作一种特殊的随机事件。 小结 将随机事件表示成由样本点组成的集合，就可以将事件间的关系和 运算归结为集合之间的关系和运算，这不仅对研究事件的关系和运算是方便的，而且 对研究随机事件发生的可能性大小的数量指标—概率的运算也是非常有益的。 三 事件之间的关系和运算 一个样本空间 Ω 中，可以有很多的随机事件。概率论的任务之一，是研 究随机事件的规律，通过对简单事件规律的研究去掌握更复杂事件的规律。为此，下 面我们引进事件之间的一些重要关系和运算，通过研究事件间的各种关系，进而研究 事件间的概率的各种关系，就有可能利用较简单事件的概率去推算较复杂的事件的概 率。 在以下的叙述中，设试验 E 的样本空间为 Ω，还给了 Ω 中的一些事件， 如 A，B，Ak(K=1,2,•••)等等。 （一）事件的包含及相等 如果事件 A 的发生必然导致事件 B 的发生，则称事件 B 包含事件 A，或称 事件 A 是事件 B 的特款（子事件），记作 A B 或 B A，比如在例 5 中，A={2}，B={2， 4，6}，显然 A B。 如果将事件用集合表示，则 A 是 B 的子事件即为 A 是 B 的子集合（B 包含 集合 A）。用图 1。1（a）给包含关系一个直观的几何解释，设样本空间Ω是一个正方 形，园 A 与园 B 分别表示事件 A 与事件 B，由于 A 中的点全在 B 中，所以事件 B 包含 事件 A。 如果有 A B 且 B A，则称事件 A 与事件 B 相等，记作 A=B。易知，相等 的两个事件 A、B，总是同时发生或同时不发生，亦即 A=B 等价于它们是由相同的试 验结果构成的。 如在例 9 中，若 A={球的标号为偶数}，B={球的标号为 2、4、6、8、10}， 则显然有 A=B，所谓 A=B，就是 A、B 中含有相同的样本点。 对任一事件 A，有Ф A Ω。 （二）事件的和（并） “二事件 A 与 B 中至少有一个事件发生”，这样的一个事件叫做事件 A 与 B 的和（或并），记作 A∪B（或 A+B）。 A∪B 是由所有包含在 A 中的或包含在 B 中的试验结果构成。 如果将事件用集合表示，则事件 A 与 B 的和事件 A∪B 即为集合 A 与 B 的 并。如图 1.1（b）所示。 如在例 5 中，A={2，4，6}，B={1，2，3，4}则 C=A∪B={1，2，3，4，6}。 事件的和可推广到有限多个事件和可列（数）无穷多个事件的情形
用A1UA2UUAn或Ai表示UA1,A2,Ai中至少发生其一这 事件，用A1UA2U.或UAi表示A1,A2.中至少发生其一这一事件。 (三)事件的积（交）》 B A “二事件A与B同时发生”这样的事件称作事件A与B的积（或变）， 记作A∩B或AB。AB是由既包含在A中又包含在B中的试验结果构成，它对应与图 1.1(c)中的阴影部分。 如在例5中，A={2,4,6},B{1,2,3,4,则 C=A∩P=2,41 如果将事件用集合表示，则事件A与B的积事件C即为集合A与B的交。 类似地，也可以将事件的积推广到有限多个和可列（数）无穷多个事件的 情况。 用A1nA2n.∩Ai或∩A1,A2,.,An同时发生这一事件：用A1nA2 n.或表示门L,2,.同时发生的事件。 (四)事件的差 “事件A发生而事件B不发生”这样的事件称为事件A与B的差，记 作AB。A-B是由所有包含在A中而不包含在B中的试验结果构成，它对应于图1.1 (d)中的阴影部分。 比如例5中，A=2,4,6},B={1,2,3,4,则CAB={6。 由事件的差的定义可知，对于任意的事件A,有A-A=D,A-Q=A,AQ= (五)事件的差
用 A1∪A2∪.∪An 或 Ai 表示 n i=1 A1，A2，.，Ai 中至少发生其一这一 事件，用 A1∪A2∪.或 i=1 Ai 表示 A1，A2.中至少发生其一这一事件。 （三）事件的积（交） A B “二事件 A 与 B 同时发生”这样的事件称作事件 A 与 B 的积（或变）， 记作 A∩B 或 AB。AB 是由既包含在 A 中又包含在 B 中的试验结果构成，它对应与图 1.1（c）中的阴影部分。 如在例 5 中，A={2，4，6}，B={1，2，3，4}，则 C=A∩B={2，4} 如果将事件用集合表示，则事件 A 与 B 的积事件 C 即为集合 A 与 B 的交。 类似地，也可以将事件的积推广到有限多个和可列（数）无穷多个事件的 情况。 用 A1∩A2∩.∩Ai 或 n i=1 A1，A2，.，An 同时发生这一事件；用 A1∩A2 ∩.或表示 i=1 A1，A2，.同时发生的事件。 （四）事件的差 “事件 A 发生而事件 B 不发生”这样的事件称为事件 A 与 B 的差，记 作 A-B。A-B 是由所有包含在 A 中而不包含在 B 中的试验结果构成，它对应于图 1.1 （d）中的阴影部分。 比如例 5 中，A={2，4，6}，B={1，2，3，4}，则 C=A-B={6}。 由事件的差的定义可知，对于任意的事件 A，有 A-A=Ф，A-Ω=A，A-Ω= Ф。 （五）事件的差