第一讲随机样本 I授课题目： §6.1随机样本 II教学目的与要求 理解总体，样本，简单随机样本，统计量，经验分布函数 掌握常用的统计量 III教学重点与难点： 重点：常用的统计量 难点：总体，样本，统计量 IV讲授内容： 数理统计以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象， 对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 一、总体 定义随机试验的全部可能的观察值称为总体。 这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体。 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。容量为有限的称为有限总体，容量为无 限的称为无限总体。 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量X的值， 这样，一个总体对应于一个随机变量X,我们对总体的研究就是对一个随机变量X的 研究，X的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征。将不区分总体 与相应的随机变量，统称为总体X。 例我们检验自生产线出来的零件是次品还是正品，以0表示产品为正品，以1表示 产品为次品。设出现次品的概率为p(常数)，那么总体是由一些“1“和一些”0“所 组成，这一总体对应于一个具有参数为p的(0-1)分布： P{X=x}=p1-p),x=0,1 的随机变量。我们就将它说成是(0-1)分布总体。总体中的观察值是(0-1)分布随 机变量的值。 二、样本 在实际中，总体的分布一向是未知的，或只知道它具有某种形式而其中包含着 末知参数。在数理统计中，通过从总体中抽取一部分个体，根据获得的数据来对总体 分布得出推断的。被抽出的部分个体叫做总体的一个样本。 从总体抽取一个个体，就是对总体X一次观察并记其结果。在相同的条件下对 总体X,n次重复的、独立的观察。将n次观察结果按试验的次序记为X,X2,Xn, 由于X,X,·,X,是对随机变量X观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立
第一讲随机样本 I 授课题目： §6 .1 随机样本 II 教学目的与要求： 理解总体，样本，简单随机样本，统计量，经验分布函数 掌握常用的统计量 III 教学重点与难点： 重点：常用的统计量 难点：总体，样本，统计量 IV 讲授内容： 数理统计以概率论为理论基础，根据试验或观察得到的数据，来研究随机现象， 对研究对象的客观规律性作出种种合理的估计和判断。 一、总体 定义 随机试验的全部可能的观察值称为总体。 这些值不一定都不相同，数目上也不一定是有限的，每一个可能观察值称为个体。 总体中所包含的个体的个数称为总体的容量。容量为有限的称为有限总体，容量为无 限的称为无限总体。 总体中的每一个个体是随机试验的一个观察值，因此它是某一随机变量 X 的值， 这样，一个总体对应于一个随机变量 X 。我们对总体的研究就是对一个随机变量 X 的 研究， X 的分布函数和数字特征就称为总体的分布函数和数字特征。将不区分总体 与相应的随机变量，统称为总体 X 。 例 我们检验自生产线出来的零件是次品还是正品，以 0 表示产品为正品，以 1 表示 产品为次品。设出现次品的概率为 p （常数），那么总体是由一些“1“和一些”0“所 组成，这一总体对应于一个具有参数为 p 的（0-1）分布： 1 { } (1 ) , 0,1 x x P X x p p x − = = − = 的随机变量。我们就将它说成是（0-1）分布总体。总体中的观察值是（0-1）分布随 机变量的值。 二、样本 在实际中，总体的分布一向是未知的，或只知道它具有某种形式而其中包含着 末知参数。在数理统计中，通过从总体中抽取一部分个体，根据获得的数据来对总体 分布得出推断的。被抽出的部分个体叫做总体的一个样本。 从总体抽取一个个体，就是对总体 X 一次观察并记其结果。在相同的条件下对 总体 X ，n 次重复的、独立的观察。将 n 次观察结果按试验的次序记为 1 2 , , , X X X n ， 由于 1 2 , , , X X X n 是对随机变量 X 观察的结果，且各次观察是在相同的条件下独立
有理由认为X,X2,.,X是相互独立的，且都是与X具有相同分布的随机变量。这 样得到的X,X,·,X称为来自总体X的一个简单随机样本，n称为这个样本的容 茶 当n次观察一经完成，我们就得到一组实数x,x2,·,x。,它们依次是随机变量 X,X2,.,X的观察值，称为样本值。 有限总体，采用放回抽样能得到简单随机样本，但放回抽样使用起来不方便，当 个体的总数N比要得到的样本的容量大得多时，在实际中可将不放回抽样近似地 当作放回抽样来处理。至于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布，所以总是用 不放回抽样。 定义设X是具有分布函数F的随机变量，若X,X2,.,X是具有同一分布函数F 的、相互独立的随机变量，则称X,X2,.,X为从分布函数F(或总体F、或总体 X)得到的容量为n的简单随机样本，简称样本，它们的观察值x,x,.,x,称为样 本值，又称为X的n个独立的观察值。 将样本看成是一个随机向量，写成(X,X2.,X),此时样本值相应地写成 (,2,.,x)。若(，x2,.,x)与(，2，.，y)都是相应于样本(X,X2,.,X)的 样本值，一般来说它们是不相同的 若X,X2,.,Xn为F的一个样本，则X,X2,.,Xn相互独立，且它们的分布函数 都是F,所以(X,X,.,X)的分布函数为 Fx,.,x)=FG) 又若X具有概率密度∫，则(X,X2,·,Xn)的概率密度为 fx,x2.,x)=Πf(x) 样本是统计推断的依据，在应用时，往往不是直接使用样本，而是对不同的问题 构造样本的适当函数，利用这些样本的函数统计推断
有理由认为 1 2 , , , X X X n 是相互独立的，且都是与 X 具有相同分布的随机变量。这 样得到的 1 2 , , , X X X n 称为来自总体 X 的一个简单随机样本， n 称为这个样本的容 量。 当 n 次观察一经完成，我们就得到一组实数 1 2 , , , n x x x ，它们依次是随机变量 1 2 , , , X X X n 的观察值，称为样本值。 有限总体，采用放回抽样能得到简单随机样本，但放回抽样使用起来不方便，当 个体的总数 N 比要得到的样本的容量 n 大得多时，在实际中可将不放回抽样近似地 当作放回抽样来处理。至于无限总体，因抽取一个个体不影响它的分布，所以总是用 不放回抽样。 定义 设 X 是具有分布函数 F 的随机变量，若 1 2 , , , X X X n 是具有同一分布函数 F 的、相互独立的随机变量，则称 1 2 , , , X X X n 为从分布函数 F （或总体 F 、或总体 X ）得到的容量为 n 的简单随机样本，简称样本，它们的观察值 1 2 , , , n x x x 称为样 本值，又称为 X 的 n 个独立的观察值。 将样本看成是一个随机向量，写成 1 2 ( , , , ) X X X n ，此时样本值相应地写成 1 2 ( , , , ) n x x x 。若 1 2 ( , , , ) n x x x 与 1 2 ( , , , ) n y y y 都是相应于样本 1 2 ( , , , ) X X X n 的 样本值，一般来说它们是不相同的。 若 1 2 , , , X X X n 为 F 的一个样本，则 1 2 , , , X X X n 相互独立，且它们的分布函数 都是 F ，所以 1 2 ( , , , ) X X X n 的分布函数为 1 2 1 ( , , , ) ( ) n n i i F x x x F x = = 又若 X 具有概率密度 f ，则 1 2 ( , , , ) X X X n 的概率密度为 1 2 1 ( , , , ) ( ) n n i i f x x x f x = = 样本是统计推断的依据，在应用时，往往不是直接使用样本，而是对不同的问题 构造样本的适当函数，利用这些样本的函数统计推断
三、统计量 定义设X,X2,.,Xn是来自总体X的一个样本，g(X,X2,.,X)是 X,X.,X的函数，若g中不含末知参数，则称g(X,X.,X,)是一统计量。 因为X,X,X都是随机变量，而统计量g(X,X2,X)是随机变量的函数， 因此统计量是一个随机变量。设x,x,x是相应于样本X,X,.,X的样本值， 则称g(x,x2,.,x)是g(X,X2,.,Xn)的观察值。 下面给出几个常用的统计量。设X,X2,X,是来自总体X的一个样本， x,x,.,x是这一样本的观察值 样本平均值 X-1x, n台 样本方差 样本标准差 s5-2成-罚 样本k阶（原点）矩 4=2k=2 样本k阶中心矩 B=2X-Wk=23 它们的观察值分别为
三、统计量 定 义 设 1 2 , , , X X X n 是 来 自 总 体 X 的 一 个 样 本 ， 1 2 ( , , , ) n g X X X 是 1 2 , , , X X X n 的函数，若 g 中不含末知参数，则称 1 2 ( , , , ) n g X X X 是一统计量。 因为 1 2 , , , X X X n 都是随机变量，而统计量 1 2 ( , , , ) n g X X X 是随机变量的函数， 因此统计量是一个随机变量。设 1 2 , , , n x x x 是相应于样本 1 2 , , , X X X n 的样本值， 则称 1 2 ( , , , ) n g x x x 是 1 2 ( , , , ) n g X X X 的观察值。 下面给出几个常用的统计量。设 1 2 , , , X X X n 是来自总体 X 的一个样本， 1 2 , , , n x x x 是这一样本的观察值。 样本平均值 1 1 n i i X X n = = 样本方差 2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 n n i i i i S X X X nX n n = = = − = − − − 样本标准差 2 2 1 1 ( ) 1 n i i S S X X n = = = − − 样本 k 阶（原点）矩 1 1 , 1,2, n k k i i A X k n = = = 样本 k 阶中心矩 1 1 ( ) , 2,3, n k k i i B X X k n = = − = 它们的观察值分别为 1 1 n i i x x n = =
f2-矿空x副 2时 4-时22 6-空5-=23 这此观察值分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本k阶（原点）矩以 及样本k阶中心矩。 若总体X的k阶矩EX)警4，存在，则当n→0时，45，k=12. 这是因为X,X2,.,X独立且与X同分布，X,X,.,X*独立且与X*同分布， 故有 E(X)=E(X2)=.=E(X)=4 从而钦定理知 4-2%k=2. 关于依概率收敛的序列知 g(4,4,.,A)→g(4,42,.,4) g为连续函数。 四、经验分布函数 与总体分布函数F(x)相应的统计量，经验分布函数。 设X,X2,.,Xn是总体F的一个样本，用S(x),-0<x<0表示X,X2,.,Xn中 不大于x的随机变量的个数。定义经验分布函数F,(x)为 F.()=Sx.-<x< n
2 2 2 2 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 1 n n i i i i s x x x nx n n = = = − = − − − 2 1 1 ( ) 1 n i i s x x n = = − − 1 1 , 1,2, n k k i i a x k n = = = 1 1 ( ) , 2,3, n k k i i b x x k n = = − = 这此观察值分别称为样本均值、样本方差、样本标准差、样本 k 阶（原点）矩以 及样本 k 阶中心矩。 若总体 X 的 k 阶矩 ( ) k E X u = k 记成 存在，则当 n → 时， , 1,2, P A u k k k → = 。 这是因为 1 2 , , , X X X n 独立且与 X 同分布， 1 2 , , , k k k X X X n 独立且与 k X 同分布， 故有 1 2 ( ) ( ) ( ) k k k E X E X E X u = = = = n k 从而钦定理知 1 1 , 1, 2, n P k k i k i A X u k n = = → = 关于依概率收敛的序列知 1 2 1 2 ( , , , ) ( , , , ) P k k g A A A g u u u → g 为连续函数。 四、经验分布函数 与总体分布函数 F x( ) 相应的统计量，经验分布函数。 设 1 2 , , , X X X n 是总体 F 的一个样本，用 S x x ( ),− 表示 1 2 , , , X X X n 中 不大于 x 的随机变量的个数。定义经验分布函数 ( ) F x n 为 1 ( ) ( ), F x S x x n n = −
对于一个样本值，那么经验分布函数F,(x)的观察值容易得到。 例设总体F具有一个样本值1,1,2，则经验分布函数F(x)的观察值为 0,若x<1, F3(x)= 2,1≤x<2, 1,若x≥2 一般，设x,x2,.,xn是总体F的一个容量为n的样本值。将x,x2,xn自小到 大的次序排列，并重新编号。 xo≤x2,≤.≤Xa 则经验分布函数F(x)的观察值为 0若x<X E国)=冬若w≤x<n n l,若x≥xa 对于任一实数x,当n→o时F(x)以概率1一致收敛于分布函数F(x),即 Plim sup F.()-F(x)=1 因此，对于任一实数x,当n充分大时，经验分布函数的任一个观察值F(x)与总体 分布函数F(x)只有小的差别，从而可当作F(x)使用。 V小结与提问： 小结：总体，随机样本，统计量 提问：怎么样理解随机样本 VI课外作业：
对于一个样本值，那么经验分布函数 ( ) F x n 的观察值容易得到。 例 设总体 F 具有一个样本值 1，1，2，则经验分布函数 3 F x( ) 的观察值为 3 0, 2 ( ) , 1 2, 3 1, 2 F x x x = 若x<1, 若 若 一般，设 1 2 , , , n x x x 是总体 F 的一个容量为 n 的样本值。将 1 2 , , , n x x x 自小到 大的次序排列，并重新编号。 (1) (2) ( ) n x x x 则经验分布函数 ( ) F x n 的观察值为 ( 1) 0, , ( ) , , 1, n k k F x x x n + = (1) (k) (n) 若x<x 若x 若x x 对于任一实数 x ，当 n → 时 ( ) F x n 以概率 1 一致收敛于分布函数 F x( ) ，即 {lim sup ( ) ( ) 0} 1 n n x P F x F x → − − = = 因此，对于任一实数 x ，当 n 充分大时，经验分布函数的任一个观察值 ( ) F x n 与总体 分布函数 F x( ) 只有小的差别，从而可当作 F x( ) 使用。 V 小结与提问： 小结：总体，随机样本，统计量 提问：怎么样理解随机样本 VI 课外作业：