第二讲随机变量的分布函数、连续型随机变量及其概率密度(1) 授课题目： 第三节随机变量的分布函数 第四节连续型随机变量及其概率密度 Ⅱ教学目的与要求： 1.掌握随机变量的分布函数概念和性质： 2.熟练掌握连续型随机变量及其概率密度的概念和计算 Ⅲ教学重点与难点： 重点：连续型随机变量及其概率密度 难点：续型随机变量及其概率密度的计算 讲授内容： 、随机变量的分布函数 设X(w)是一个随机变量.称函数F(x)=P{X≤x},-o<x<+o 为随机变量的分布函数 1、分布函数的性质 (1)a<b,总有F(a)≤F(b)(单调非减性) (2)F(x)是一个右连续的函数 (3)0≤F(x)≤1（有界性） limF(x)=0,limF(x)=1并记 lim F(x)=F(-),lim F(x)=F(+o) 证明：仅证(1) {a<X≤bl=≤bn{Xa ={X≤b}-{X≤a,而{X≤aiX≤bl ∴.P{a<X≤b}=P{X≤b}-P{X≤a} =F(b)-F(a). 又：p{a<X≤b}≥0，∴.F(a)≤Fb). 上述证明中我们得到一个重要公式：P{a<X≤b}=F(b)-F(a).它表明随机变量落在 区间(a,b]上的概率可以通过它的分布函数来计算. 2、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量X的分布律为P:=P{X=x4},k=1,2,., 则X的分布函数F()=P(X≤)=P{X=x》 .Fx)=∑PX=x)=∑P 是一个右连续的函数，在x=x(k=1,2.)处有跳跃值P.=P(X=x), 例1X~ 0 2 3 0.04 0.32 0.64
第二讲随机变量的分布函数、连续型随机变量及其概率密度（1） Ⅰ 授课题目： 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续型随机变量及其概率密度 Ⅱ 教学目的与要求： 1.掌握随机变量的分布函数概念和性质； 2.熟练掌握连续型随机变量及其概率密度的概念和计算 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：连续型随机变量及其概率密度 难点：续型随机变量及其概率密度的计算 Ⅳ 讲授内容： 一、随机变量的分布函数 设 X(w)是一个随机变量. 称函数 F(x)= P{X≤x}, − + x 为随机变量的分布函数. 1、分布函数的性质 （1）a<b,总有 F(a)≤F(b)(单调非减性) （2）F(x)是一个右连续的函数 （3） 0≤F(x)≤1(有界性) lim ( ) 0 x F x →− = , lim ( ) 1 x F x →+ = 并记 lim ( ) ( ) x F x F →− = − , lim ( ) ( ) x F x F →+ = + 证明: 仅证(1) ∵{a<X≤b}={X≤b}∩{X>a} ={X≤b}-{X≤a},而{X≤a}ì{X≤b}. ∴ P{a<X≤b}= P{X≤b}- P{X≤a} =F(b)- F(a). 又∵P{a<X≤b}≥0, ∴F(a)≤F(b). 上述证明中我们得到一个重要公式: P{a<X≤b}=F(b)- F(a).它表明随机变量落在 区间(a,b]上的概率可以通过它的分布函数来计算. 2、离散型随机变量的分布函数 设离散型随机变量 X 的分布律为 k p = P{X= k x } , k=1,2,., 则 X 的分布函数 F x P X x ( ) ( ) = = ( ) k k x x P X x = ∴ ( ) ( ) k k x x F x P X x = = = k k x x p 是一个右连续的函数,在 x= k x (k=1,2.)处有跳跃值 k p = ( ) P X x = k , 例1 X～ X ０ 2 3 P 0.04 0.32 0.64
[0,x<0 0.04,0≤x<2 的分布函数F(x)= 0.36,2≤x<3 x≥3 二、连续型随机变量 连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间，对这种类型的随机变量，不能象离 散型随机变量那样，以指定它取每个值概率的方式，去给出其概率分布，而是通过给出 所槽“概率密府函数”的方式 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法 1、概率密度函数 (1)直方网 怎样画直方图直方图与概率密度 (2)连续型r.v.及其概率密度函数的定义 对于随机变量X,如果存在非负可积函数f(x),x∈(-0，+0) 有F)=P(-o<X≤x)=ft)dt,xe(-o,+o) 则称X为连续型r.V.,称f(x)为X的概率密度函数，简称为概率密度或密度 (3)概率密度函数的性质 f(x)≥0 ii[f(x)dx=1 这两条性质是判定一个函数f(x)是否为某r.vX的概率密度函数的充要条件. 对f(x)的进一步理解：若x是f(x)的连续点，则： i Pxt) △x lim △X =f(x) 故X的密度f(x)在x这一点的值，恰好是X落在区间上的概率与区间长度之比 的极限。这里，如果把概率理解为质量，∫(x)相当于线密度. 若不计高阶无穷小， 有P(x<X≤x+△x)=f(x)△x 它表示随机变量X取值于(x,x+△x)的概率近似等于f(x)△x. 连续型r.v取任一指定值的概率为O.即：P(x=a)=0,a为任一指定值 由此可见，由P(A)=0,不能推出A=☑：由P(B)=1,不能推出B=2,B 并非必然事 下面我们来求一个连续型r.V的分布函数. 例设r.vX的密度函数为f(x)= 2-x,-1<x< 0,其他
的分布函数 F(x)= 0, 0 0.04, 0 2 0.36, 2 3 1, 3 x x x x 二、连续型随机变量 连续型随机变量 X 所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离 散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出 所谓“概率密度函数”的方式. 下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法. 1、 概率密度函数 （1）直方图 怎样画直方图 直方图与概率密度 （2） 连续型 r.v.及其概率密度函数的定义 对于随机变量 X ,如果存在非负可积函数 f x( ) , x − + ( , ) 有 ( ) ( ) ( ) x F x P X x f t dt − = − = , x − + ( , ) 则称 X 为连续型 r.v.,称 f x( ) 为 X 的概率密度函数，简称为概率密度或密度. （3） 概率密度函数的性质 i f x( ) 0 ii f x dx ( ) 1 + − = 这两条性质是判定一个函数 f x( ) 是否为某 r.vX 的 概率密度函数的充要条件. 对 f x( ) 的进一步理解:若 x 是 f(x)的连续点，则： 0 ( ) lim x P x X x x → x + 0 ( ) lim x x x x f t dt x + → = = f x( ) 故 X 的密度 f x( ) 在 x 这一点的值，恰好是 X 落在区间上的概率与区间长度之比 的极限. 这里，如果把概率理解为质量, f x( ) 相当于线密度. 若不计高阶无穷小， 有 P x X x x f x x ( ) ( ) + = 它表示随机变量 X 取值于 ( , ) x x x + 的概率近似等于 f x x ( ) . 连续型 r.v 取任一指定值的概率为 0. 即： P x a ( ) 0 = = ,a 为任一指定值 由此可见， 由 P(A)=0,不能推出 A= ； 由 P(B)=1, 不能推出 B = ，Ｂ 并非必然事件 下面我们来求一个连续型 r.v 的分布函数. 例 设 r.v X 的密度函数为 f x( ) ＝ 2 2 1 , 1 1 0, x x − − 其他