第一讲数学期望 1授课题目： §4.1数学期望 Ⅱ教学目的与要求： 1.理解数学期望的定义，掌握数学期望的性质，掌握数学期望的求法。 Ⅲ教学重点与难点： 重点：数学期望 难点：数学期望的求法 Ⅳ讲授内容： 数学期望的概念 引例：一批灯泡5万只，为了评估灯泡的使用寿命（设每只灯泡的寿命是一个随机变 量X(小时))。现从中随机抽取100只，测试结果如下： 寿命（小时）105011001150 12001250 灯泡数（频数） 6 20 32 26 16 频率 6 20 32 26 16 100 100 100 100 100 可求得该100只灯泡的平均寿命为： 1050×6+1100×20+1150×32+1200×26+1250×16 100 =1050x6 =1163(小时) 可由此估计出该批灯泡的平均使用寿命 1.离散型随机变量的数学期望 定义设离散型随机变量X的分布律为P{X=x}=P,k=L,2,3. 若级数空D绝对收敛。则称级数空A为随机变量X的数学期塑，记为BC)。 即EX)=∑xP: 2.连续型随机变量的数学期望 定义设连续型随机变量X的密度函数为f(x),若积分「xf(x):绝对收敛，则称 积分(x)的值为随机变量X的数学期望，记为EX)· 即E(X)=xf(x)dk。 数学期望简称期望，又称为均值。 例1甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产100件产品所出的废
第一讲 数学期望 Ⅰ 授课题目： §4.1 数学期望 Ⅱ 教学目的与要求： 1.理解数学期望的定义，掌握数学期望的性质，掌握数学期望的求法。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：数学期望 难点：数学期望的求法 Ⅳ 讲授内容： 一、数学期望的概念 引例：一批灯泡 5 万只，为了评估灯泡的使用寿命（设每只灯泡的寿命是一个随机变 量 X（小时））。现从中随机抽取 100 只，测试结果如下: 寿命（小时） 1050 1100 1150 1200 1250 灯泡数（频数） 6 20 32 26 16 频率 6 100 20 100 32 100 26 100 16 100 可求得该 100 只灯泡的平均寿命为： 1050 6 1100 20 1150 32 1200 26 1250 16 100 20 32 26 16 1100 1150 1200 1250 100 100 100 100 1163 + + + + + + + + 6 ＝1050 100 ＝ （小时） 可由此估计出该批灯泡的平均使用寿命。 1．离散型随机变量的数学期望 定义 设离散型随机变量 X 的分布律为 P X x p = = k k ，k =1,2,3 . 若级数 1 k k k x p = 绝对收敛，则称级数 1 k k k x p = 为随机变量 X 的数学期望，记为 E X( ) 。 即 E X( ) ＝ 1 k k k x p = 。 2．连续型随机变量的数学期望 定义 设连续型随机变量 X 的密度函数为 f x( ) ，若积分 xf x dx ( ) − 绝对收敛，则称 积分 xf x dx ( ) − 的值为随机变量 X 的数学期望，记为 E X( ) 。 即 E X( ) ＝ xf x dx ( ) − 。 数学期望简称期望，又称为均值。 例1 甲、乙两个工人，生产同一种产品，在相同条件下，生产 100 件产品所出的废
品数分别用X、Y表示，它们的概率分布如下 X01 23 P0.70.10.10.1 Y0123■ P0.50.30.20 问这两个工人谁的技术好？ 解E(X)=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6 EV)=0×0.5+1×03+2×02+3×0=0.7 甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。 例2袋内有3个1号球，1个2号球与2个3号球，从中一次任取出三个球，X表 示取到三个球中的最大号数，计算E(X) 解欲计算E(X),需先求出X的分布，X是一个离散型随机变量，它可以取1、2、 3共三个值，应用古典概率公式计算可得 P(X=1)-9=1 c。-20 Px=-答-动 P(X=3)=CCi+CiCi_16 Γ20 或 PX=3)=1-PX=1)-PX=2=6 20 80-=+28-2为 例3已知，随机变量X的密度函数为)= 「Ax0≤x≤3 其它 求：(1)A: (2)E(X)。 解(D由达=得矿d=L所以4=号 e0=号-号6=-2 一些常用分布的数学期望 计算可得一些常用分布的数学期望 1.0一1分布 X01 P 1-pP E(X)=0×(I-P)+1×p=p 2.二项分布
品数分别用 X、Y 表示，它们的概率分布如下： X 0 1 2 3 PK 0.7 0.1 0.1 0.1 Y 0 1 2 3 PK 0.5 0.3 0.2 0 问这两个工人谁的技术好? 解 E X( ) ＝0 0.7 1 0.1 2 0.1 3 0.1 0.6 + + + = E Y( )＝0 0.5 1 0.3 2 0.2 3 0 0.7 + + + = 甲工人生产出废品的均值较小，甲的技术好。 例2 袋内有 3 个 1 号球，1 个 2 号球与 2 个 3 号球，从中一次任取出三个球，X 表 示取到三个球中的最大号数，计算 E X( ) 。 解 欲计算 E X( ) ,需先求出 X 的分布，X 是一个离散型随机变量，它可以取 1、2、 3 共三个值，应用古典概率公式计算可得： 3 3 3 6 1 ( 1) 20 C P X C = = = 2 1 3 1 3 6 3 ( 2) 20 C C P X C = = = 1 2 2 1 2 4 2 4 3 6 16 ( 3) 20 C C C C P X C + = = = 或 16 ( 3) 1 ( 1) ( 2) 20 P X P X P X = = − = − = = 3 1 1 3 16 ( ) 1 2 3 2.75 20 20 20 k k E X kp = = = + + = 例3 已知，随机变量 X 的密度函数为 0 3 ( ) 0 Ax x f x = 其它 ， 求：（1） A ； (2) E X( ) 。 解 （1）由 f x dx ( ) 1, + = － 得 3 1, a Axdx = 所以 2 9 A = （2） 3 3 3 0 0 2 2 ) ( ) | 2 9 27 E X xf x dx x xdx x + = = = － （ ＝ 二．一些常用分布的数学期望 计算可得一些常用分布的数学期望 1．0—1 分布 X 0 1 Pk 1－ p p E X p p p ( ) 0 (1 ) 1 = − + = 2．二项分布
X-bn,p)则E(X)=吧 3.泊松分布 X~π()，则E(X)=元 计算：E(X=K 合欣-e=5 (RI)e=ie'e=1 4.均匀分布 X~U[a,b],则EX)=a+b 5.指数分布 X服从参数为日的指数分布，则E(X)=0。计算如下： 00=广达=合 =-ed-白=-de =-xe+"eidx=0-ei) =0 6.正态分布 X~N(4,o2),则E(X)=4 这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。 三、随机变量函数的数学期望 定理设Y是随机变量X的函数，Y=g(X)(g是连续函数) (1)X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=x}=Pa,k=1,2,3,若 三g,A绝对收敛。则有 EY)=ELg(x)=∑gxp: ★= (2)X是连续型随机变量，它的概率密度为f(x),若 gx)fx)绝对收敛，则有 E(Y)=E[g(x)]=[g(x)f(x)dx 上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。 给出如下结论： 设Z是二维随机变量(X,)的函数Z=g(X,Y),其中g是二元连续函数， (1)设(X,Y)是离散型，其分布律为P{X=xY=}=P4,1,j=1,2,3,., 则当级数2∑g,yp,绝对收敛时，有
X b n p E X np ( , ) ( ) 则 = 3．泊松分布 X ~ ( ) ，则 E X( ) = 计算： 1 0 1 1 ( ) ! ( 1)! ( 1)! K K K K K K E X K e e e e e K K K + + + − − − − − = = = = = = = − − ＝ 4．均匀分布 X～U[ a b, ]，则 ( ) 2 a b E X + = 5．指数分布 X 服从参数为 的指数分布，则 E X( ) = 。计算如下： 0 0 0 0 0 0 1 ( ) ( ) ( ) | ( ) | x x x x x x E X xf x dx x e dx x xe d xde xe e dx e + + − − + + − − − − − + + + = = = − − = − = − + = − = 6．正态分布 X～ 2 N E X ( , ), ( ) 则 = 这里计算了一些，没计算的由学生自己计算。 三、随机变量函数的数学期望 定理 设 Y 是随机变量 X 的函数， Y g X = ( ) （ g 是连续函数） （1） X 是离散型随机变量，它的分布律为 { } P X x p = = k k ，k ＝1，2，3，.，若 1 ( ) k k k g X p = 绝对收敛，则有 E Y E g x ( ) [ ( )] = = 1 ( ) k k k g x p = （2） X 是连续型随机变量，它的概率密度为 f x( ) ，若 g x f x dx ( ) ( ) + − 绝对收敛，则有 E Y E g x ( ) [ ( )] = = g x f x dx ( ) ( ) + − 上述定理还可以推广到两个或两个以上随机变量的函数的情况。 给出如下结论： 设 Z 是二维随机变量 ( , ) X Y 的函数 Z g X Y = ( , ) ,其中 g 是二元连续函数， （1）设 ( , ) X Y 是离散型，其分布律为 , { } P X x Y y p = = = i i ij ，i j , ＝1，2，3，.， 则当级数 1 1 ( , ) i i ij i j g x y p = = 绝对收敛时，有
E(Z)=Elg(.=g(p, (3)设(X,)是连续型，密度函数为fx,),则当积分∫g(x,fx, 绝对收敛时，有 E(Z)=EIg(x.g(x.y)/(x.y)dxdy 例4例3中求E(X2),E(e)。 Be-ee'2 例5设(X,Y)的联合分布律为 2 3 3 试求：E(X),E(Y),E(XY)· 解由X、Y的联合分布律，得X、Y的边缘分布律分别为 X 1 2 P 2 3 Y 1 2 P., 3 所以 E(=,.=1x+ 3-3 B-2加，=1x+2x2 33 1 例6随机变量的概率密度为f(x,)=2 其它 求：E(X)
E Z E g x y ( ) [ ( , )] = = 1 1 ( , ) i i ij i j g x y p = = （3） 设 ( , ) X Y 是连续型，密度函数为 f x y ( , ) ，则当积分 g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + − − 绝对收敛时，有 E Z E g x y ( ) [ ( , )] = = g x y f x y dxdy ( , ) ( , ) + + − − 例4 例 3 中求 2 ( ), ( )x E X E e 。 解 2 E x( ) = 4 3 2 2 3 0 0 2 2 3 ( ) | 9 9 4 2 x x f x dx x xdx + = = = － ＝ ( )x E e = 3 3 3 3 0 0 0 2 2 2 ( ) ( | ) (2 1) 9 9 9 x x x x e f x dx e xdx xe e dx e + = = − = + － ＝ 例 5 设（X,Y）的联合分布律为 Y X 1 2 1 0 1 3 2 1 3 1 3 试求: E X E Y E XY ( ), ( ), ( ) 。 解 由 X 、Y 的联合分布律，得 X 、Y 的边缘分布律分别为 X 1 2 i p 1 3 2 3 Y 1 2 j p 1 3 2 3 所以 2 1 1 2 5 ( ) 1 2 3 3 3 i i E X ip = = = + = 2 1 1 2 5 ( ) 1 2 3 3 3 j j E Y jp = = = + = 2 2 1 1 1 1 1 8 ( ) ( ) 1 1 0 2 1 1 2 2 2 3 3 3 3 i i ij i j E XY x y p = = = = + + + = 例 6 随机变量的概率密度为 1 sin( ) 0 , 0 ( , ) 2 2 2 0 x y x y f x y + = 其它 ， 求： E X( )
解法一：（联合概率密度法） B0)=x,d=原xmx+h= 4 解法二：（边缘概率密度法）(X,Y)关于X的边缘概率密度为 L(x)-Jf(x.y)dy- B广nr+pM0sxs子血sx0sx号 2= 2 0 其它 0 其它 0)-ch-x.-月 2 4 但是求E(Y)只能用联合概率密度法： Em=xh-yx+0h=受-l 例7己知随机变量(X,Y)的概率密度为 fx,》=0 Ay 0≤x≤1,0≤y≤1 其它 求：(1)A:(2)E(X),E(Y):(3)E(X2):(4)EXY)。 解(1)由fx,yh=l得Axd=l所以，A=4 (2))=广fx,y= 40d=2x0≤x≤1 0 其它 所以0=2=号 同理以0)=号 (3) BX=r2=2 4m=rxnh=g4d=4rr=号 四数学期望的性质 1设C是常数，则有E(C)=C。 2设X是一个随机变量，C是常数，则有E(CX)=CE(X) 3设X、Y是两个随机变量，则有E(X+Y)=E(X)+E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。 4设X、Y是相互独立的随机变量，则有E(XY)=E(X)E(Y) 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况
解法一：（联合概率密度法） E X( ) = 2 2 0 0 1 ( , ) sin( ) 2 4 xf x y dxdy x x y dxdy + + − − = + = 解法二：（边缘概率密度法） ( , ) X Y 关于 X 的边缘概率密度为 2 0 1 sin cos sin( ) 0 0 ( ) ( , ) 2 2 2 2 0 0 x x x x y dy x x f x f x y dy + − + + = = ＝ 其它 其它 E X( ) = 2 0 1 sin cos ( , ) 2 2 4 x x x xf x y dx x dx + − + = = 但是求 E XY ( ) 只能用联合概率密度法： E XY ( ) = 2 2 0 0 1 ( , ) sin( ) 1 2 2 xy f x y dxdy xy x y dxdy + + − − = + = − 例7 已知随机变量 ( , ) X Y 的概率密度为 0 1, 0 1 ( , ) 0 Axy x y f x y = 其它 ， 求：（1） A ； （2） E X( ) ， E Y( ) ；(3) 2 E X( ) ； (4) E XY ( ) 。 解 （1）由 f x y dxdy ( , ) 1, + + − = － 得 1 1 0 0 Axydxdy =1, 所以，A＝4 （2） ( ) x f x = 1 0 4 2 0 1 ( , ) 0 xydy x x f x y dy + = = － 其它 所以 E X( ) 1 0 2 2 3 x xdx = ＝ 同理 E Y( ) = 2 3 （3） 2 E X( ) 1 2 0 1 2 2 x xdx = ＝ （4） E XY ( ) = 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 4 ( , ) 4 4 9 xy f x y dxdy xy xydxdy x dx y dy + + − − = = = 四 数学期望的性质 1 设 C 是常数，则有 E C C ( ) = 。 2 设 X 是一个随机变量， C 是常数，则有 E CX CE X ( ) ( ) = 3 设 X 、Y 是两个随机变量，则有 E X Y E X E Y ( ) ( ) ( ) + = + 这一性质可以推广到任意有限个随机变量之和的情况。 4 设 X 、Y 是相互独立的随机变量，则有 E XY E X E Y ( ) ( ) ( ) = 这一性质可以推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况