第一讲二维随机变量 I授课题目（章节）： §3.1二维随机变量 Ⅱ教学目的与要求： 理解二维随机变量的概念和联合分布函数的定义和性质，掌握离散型二维随机变 量的分布律和连续型二维随机变量的概率密度 Ⅲ教学重点与难点：二维随机变量、分布函数、分布律、概率密度 Ⅳ讲授内容： 很多随机现象中，对一个随机试验需要同时考察几个随机变量，例如发射 一枚炮弹，需要同时研究弹着点的几个坐标：研究市场供给模型时，需要同时 考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素。 一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个 整体（即向量）来研究。 定义1设E是一个随机试验，它的样本空间是S={e},X,=X,(e), X2=Xz(e以，X。=X(e)是定义在S上的随机变量，由它们构成的一个n 维随机向量(X,X2,.X.)叫做n维随机向量或n维随机变量(n-dimensional random variable). 对维随机向量，其每一个分量是一个一维随机变量，可以单独研究它.然 而除此以外，各分量之间还有相互联系，在许多问题中，这是更重要的 我们着重研究二维情形，其中大部分结果可以推广到任意维情形， 一、二维随机变量 类似于一维随机变量的分布函数，定义二维随机变量的“分布函数”： 定义2设(5，)是二维随机变量，对任意实数x,y,二元函数 Fx,)=P{传≤x,7≤y} 称为二维随机变量(5，)的（联合）分布函数， 如果将二维随机变量(5，)看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数
第一讲二维随机变量 Ⅰ 授课题目（章节）： §3.1 二维随机变量 Ⅱ 教学目的与要求： 理解二维随机变量的概念和联合分布函数的定义和性质，掌握离散型二维随机变 量的分布律和连续型二维随机变量的概率密度 Ⅲ 教学重点与难点：二维随机变量、分布函数、分布律、概率密度 Ⅳ 讲授内容： 很多随机现象中，对一个随机试验需要同时考察几个随机变量，例如发射 一枚炮弹，需要同时研究弹着点的几个坐标；研究市场供给模型时，需要同时 考虑商品供给量、消费者收入和市场价格等因素. 一般来说，这些随机变量之间存在着某种联系，因而需要把它们作为一个 整体（即向量）来研究。 定义 1 设 E 是一个随机试验，它的样本空间是 S = e， ( ) 1 1 X = X e ， X2 = X2 (e)、 ， X X (e) n = n 是定义在 S 上的随机变量，由它们构成的一个 n 维随机向量 ( , , ) X1 X2 Xn 叫做 n 维随机向量或 n 维随机变量(n-dimensional random variable). 对 n 维随机向量，其每一个分量是一个一维随机变量，可以单独研究它. 然 而除此以外，各分量之间还有相互联系，在许多问题中，这是更重要的. 我们着重研究二维情形，其中大部分结果可以推广到任意 n 维情形. 一、二维随机变量 类似于一维随机变量的分布函数，定义二维随机变量的“分布函数”： 定义 2 设 (,) 是二维随机变量，对任意实数 x, y ,二元函数 F(x, y) = P x, y 称为二维随机变量 (,) 的(联合)分布函数. 如果将二维随机变量 (,) 看成是平面上随机点的坐标，那么分布函数
F(x,y)=P(5≤x,7≤)（其中(x)∈R)表示随机点(5，）落在以点(x,y)为 顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率 有了它，对矩形区域1：a<r≤b,a<y≤b,可以直接按照概率的运算公 式计算概率： P(5,n)e)=F(b,b2)-F(a,b)-F(6,a2)+F(a,a2) 二元联合分布函数有与一元分布函数类似的性质： 1)对每个变量单调不减： 2）对每个变量右连续： 3)对任意(x,y),F(x,-o)=0,F(-o,y)=0,F(+o,+o)=1 4)对于任意实数4<6,4<6有 F6,b)-F(a,a2)-F6,a)+F(a,a)≥0 我们再来探讨5，刀各自的分布函数（称为边缘分布函数）与联合分布函数 之间的关系.5的分布函数为 F(x)=P(5≤x)=P(5≤x,-0<n<+o) =F(x,+o),(x∈R) 同理，刀的分布函数为 F(y)=F(+oy) (yER) 因此，有了二维分布函数，也就决定了边缘分布函数.读者不难把上述所说的一切 推广到n维分布函数 二、二维离散型随机变量 若二维随机变量(X,Y)所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称(X,)为离 散型二维随机变量
F x y P x y ( , ) ( , ) = (其中 ( , ) x y ∈R 2 )表示随机点 ( , ) 落在以点 (x, y) 为 顶点而位于该点左下方的无穷矩形域内的概率. 有了它，对矩形区域 I ： 1 1 2 2 a x b a y b , 可以直接按照概率的运算公 式计算概率: 1 2 1 2 1 2 1 2 P I F b b F a b F b a F a a (( , ) ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) = − − + 二元联合分布函数有与一元分布函数类似的性质： 1) 对每个变量单调不减； 2) 对每个变量右连续； 3) 对任意 (x, y)， F(x,−) = 0， F(−, y) = 0， F(+,+) = 1 4) 对于任意实数 1 1 2 2 a b a b , 有 1 2 1 2 1 2 1 2 F b b F a a F b a F a a ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) − − + ≥0 我们再来探讨 , 各自的分布函数 (称为边缘分布函数)与联合分布函数 之间的关系. 的分布函数为 F x P x P x ( ) ( ) ( , ) = = − + = + F x( , ) , ( ) x R . 同理， 的分布函数为 F y F y ( ) ( , ) = + , ( ) y R . 因此，有了二维分布函数，也就决定了边缘分布函数. 读者不难把上述所说的一切 推广到 n 维分布函数. 二、二维离散型随机变量 若二维随机变量 (X,Y) 所有可能取的值是有限对或可列无限多对，则称 (X,Y) 为离 散型二维随机变量
设(X,)为二维离散型随机变量，所有可能取值为(x,y,)1,=1,2,令 P=PK=x,Y=y,1=l2,. 则称P(,广=1,2，)为(X,Y)的分布律，或称为X和Y的联合分布律。 (X,Y)的分布律也可用表格形式给出： X2 . p21 色 pi . 二维离散型随机变量(X,Y)的分布函数F(X,)与分布律的关系： rxn=P收sxrs功-zP收==}2 二维离散型随机变量的分布律具有下列性质： 1°0≤pg≤1，i,j=l,2 2°∑∑P,=1 3°PX=x,)=∑PX=x,Y=y,)=∑Pg=P PY=y,=∑PX=,Y=y)=∑Pg=p 分别称P.(i=1,2,)和pU=1,2,)为(X,Y)关于X和Y的边缘分布律。这里P 表示对第二个足标求和。P表示对第一个足标求和 二维离散型随机变量(X,)的分布律及边缘分布律可用表格表示：
设 (X,Y) 为二维离散型随机变量，所有可能取值为 (xi , y j ),i, j = 1,2, ，令 pij = PX = xi ,Y = y j,i, j = 1,2, 则称 p (i, j = 1,2, ) ij 为 (X,Y) 的分布律，或称为 X 和 Y 的联合分布律。 (X,Y) 的分布律也可用表格形式给出： X Y x1 x2 . xi . y1 p11 p12 . p1i . y2 p21 p22 . p2i . . . . . yj p1j p2j . pij . . . . 二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布函数 F(X,Y) 与分布律的关系： = = = = = x x y y i j x x y y i j i j i j F(X,Y) P X x,Y y P X x ,Y y P 二维离散型随机变量的分布律具有下列性质： 1° 0 pij 1,i, j = 1,2, 2° = i j pij 1 3° = = = = = = • j j i i j pi j pi P(X x ) P(X x ,Y y ) = = = = = = • i i j i j pij p j P(Y y P(X x ,Y y ) 分别称 ( =1,2, ) • p i i 和 ( = 1,2, ) • p j j 为 (X,Y) 关于 X 和 Y 的边缘分布律。这里 i. p 表示对第二个足标 j 求和. . j p 表示对第一个足标 i 求和. 二维离散型随机变量 (X,Y) 的分布律及边缘分布律可用表格表示：
p-i pu p-1 p21 p22 p-2 气 P p-i “边缘分布律”的来源是因为将边缘分布律写在联系分布律表格的边缘上。 表中最后一行表示(X,Y关于X的边缘分布律，最后一列表示(X,Y)关于Y的边缘分 布律。 例1设随机变量X在1,2,3,4四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量Y在 1~X中等可能取一整数值。试求(X,Y)的分布律。 例2同一品种的5个产品中，有2个正品，3个次品。每次从中取1个检验质量，不放 回抽取，连续2次，记“Xx=0”表示第K次取到正品，“Xx=1”为第K次取到次 品。求(X,X2)的联合分布律及边缘分布律。 三、二维连续型随机变量 与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下： 定义：对于二维随机变量(X,Y)的分布函数F(X,Y),如果存在非负的函数fx,y), 使对于任意x,y,有 F(x.y)=[f(s.ndsdr 则称(X,Y)是连续型二维随机变量，函数f(x,y)称为(X,Y)的概率密度。 由定义可知，二维连续型随机变量就是具有概率密度的二维随机变量。概率密度f(x,y) 相当于物理学中的质量的面密度，而分布函数F(x,y)相当于以∫(x,y)为质量密度分布 在区域(-0，x-0,y)中的物质的总质量。 概率密度f(x,y)具有以下性质：
X Y x1 x2 . xi . p j y1 p11 p12 . p1i . p 1 y2 p21 p22 . p2i . p 2 . . . . yj p1j p2j . pij p j . . . . pi p1 p2 . pi . 1 “边缘分布律”的来源是因为将边缘分布律写在联系分布律表格的边缘上。 表中最后一行表示 (X,Y) 关于 X 的边缘分布律，最后一列表示 (X,Y) 关于 Y 的边缘分 布律。 例 1 设随机变量 X 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取一个值，另一个随机变量 Y 在 1~X 中等可能取一整数值。试求 (X,Y) 的分布律。 例 2 同一品种的 5 个产品中，有 2 个正品，3 个次品。每次从中取 1 个检验质量，不放 回抽取，连续 2 次，记“ X K = 0 ”表示第 K 次取到正品，“ X K =1 ”为第 K 次取到次 品。求 ( , ) X1 X2 的联合分布律及边缘分布律。 三、二维连续型随机变量 与一维连续型随机变量的定义类似，给出二维连续型随机变量的定义如下： 定义：对于二维随机变量 (X,Y) 的分布函数 F(X,Y) ，如果存在非负的函数 f (x, y) ， 使对于任意 x ， y ，有 − − = x y F(x, y) f (s,t)dsdt 则称 (X,Y) 是连续型二维随机变量，函数 f (x, y) 称为 (X,Y) 的概率密度。 由定义可知，二维连续型随机变量就是具有概率密度的二维随机变量。概率密度 f (x, y) 相当于物理学中的质量的面密度，而分布函数 F(x, y) 相当于以 f (x, y) 为质量密度分布 在区域 (−, x;−, y) 中的物质的总质量。 概率密度 f (x, y) 具有以下性质：
1°f(x,y)≥0 2°Cfx,yd=l 3。设G是xOy平面上的区域，点(X,)落在G内的概率 PX,Y)eG=「fx,y)dkd 4°若f(x,y)在点(x,)处连续，则有 aF()=f(x.y) axoy 在几何上，Z-f(x,y)表示空间曲面。由性质2”、3°可知，介于它和xoy平面的空间 区域的体积为1，P(X,Y)∈G的值等于以G为底，以曲面：=f(x,y)为顶面的柱体 体积。 例3设二维随机向量(5，)的密度函数为 [Ae2+m,x>0,y>0, px,y)=0, 其它 1)确定常数A:2)求分布函数：3)求边际密度：4)计算概率P(5<山7<2)：5)计算概 率P5+n<I) 解1)由联合密度的性质(14)，应有 1=0 =A/4 故A=4: )由3)式.分布函数Fk).JP(w.ydud ,我们来分块计算它 当x≤0或y≤0时，px川=0，故Fx,)=0:
1° f (x, y) 0 2° + − + − f (x, y)dxdy =1 3 ° 设 G 是 xoy 平 面 上 的 区 域 ， 点 (X,Y) 落 在 G 内的概率 = G P (X,Y) G f (x, y)dxdy 4°若 f (x, y) 在点 (x,Y) 处连续，则有 ( , ) ( , ) 2 f x y x y F x y = 在几何上， Z = f (x, y) 表示空间曲面。由性质 2°、3°可知，介于它和 xoy 平面的空间 区域的体积为 1， P(X,Y)G 的值等于以 G 为底，以曲面 z = f (x, y) 为顶面的柱体 体积。 例 3 设二维随机向量 ( , ) 的密度函数为 p x y ( , ) = . 0, 0, 0, , 2( ) 其它 − + Ae x y x y 1) 确定常数 A；2)求分布函数；3)求边际密度；4)计算概率 P( 1, 2) ；5) 计算概 率 P( 1) + . 解 1) 由联合密度的性质(14)，应有 1= ++ − + 0 0 2( ) Ae dxdy x y = A/4 , 故 A = 4 ; 2) 由(13)式，分布函数 F x y ( , ) = −− x y p(u, v)dudv ，我们来分块计算它. 当 x ≤0 或 y ≤0 时， p x y ( , ) = 0, 故 F x y ( , ) = 0;