三、自然坐标法(用于轨迹为已知之情形) 弧坐标、运动方程 S:弧坐标 运动方程:S=S(1少) 自然法:用弧坐标描述点运动的方法 称为弧坐标法或自然坐标法, 简称自然法。 T 2、曲率、自然轴系 AS o△e 把MM"段曲线的平均弯曲程度用K*表示 平均曲率:K* △e △s T T 曲率 ksde ds曲率半径:=kab
三、自然坐标法 (用于轨迹为已知之情形): 1、弧坐标、运动方程 S (+) M s=s(t) o S：弧坐标 运动方程： 自然法：用弧坐标描述点运动的方法 称为弧坐标法或自然坐标法， 简称自然法。 2、曲率、自然轴系 M o T Δθ Δs 把MM '段曲线的平均弯曲程度用K*表示 K* │Δs│ Δθ 平均曲率: = ——— 曲率 : ds d k = 曲率半径 : d ds k = = 1
自然轴系:对于空间任意曲线其上任一点都有自己的切线和法线 以弧坐标增加的方向规定为切线的正向,沿切线的单位矢量记为冖规 定过切点指向曲率中心的方向为 方向,沿主法线的单位矢量记 为,再取b=T×n为第三个矢量称为付法线此三轴即为自然 轴系自然轴系为流动坐标系,其原点随点M的运动而运动, T、n、b是变矢量,其方向随点M的运动而改变 3、速度 dt As △r A→>0△t △s△r im O A→>0△t△s
· Δr 自然轴系: 对于空间任意曲线,其上任一点都有自己的切线和法线, 以弧坐标增加的方向规定为切线的正向,沿切线的单位矢量记为τ,规 定过切点指向曲率中心的方向为主法线方向,沿主法线的单位矢量记 为n,再取 b= τ×n 为第三个矢量,称为付法线,此三轴即为自然 轴系. 自然轴系为流动坐标系，其原点随点M的运动而运动， τ、n 、b是变矢量,其方向随点M的运动而改变。 M b τ n o (+) 3、速度 M o τ Δs (+) t t = → r 0 lim dt dr v = lim ( ) 0 0 r = → s r t s t v = s τ
4、加速度 z = dt 4y △e 字母顶上加 n dT 表示矢量,以下 T+S 同 dt =ST+S didi de ds 大·s 0×s0 dt de ds dt △T slin△T d6△0→0△6△0→0△6 a △O 2r Sin =im .im e △→>0△6 △6→>0
4、加速度 · Δτ M o τ Δs (+) Δθ nC dt dv a = dt d ( s ) = dt d s dt ds = + dt d s s = + dt ds ds d dd dt d = dd = k s lim lim ( ) 0 0 e dd = = → → e e 0 0 2 lim 2 sin lim → → = = n n n s s 2 = + = a + a n 字母顶上加“ — ” 表示矢量，以下 同
切向加速度 a =s a 法向加速度: 全加速度:a=an+ar 2 2 C a+a 全加速度始终位于曲线内凹的一侧 g 特殊圠 ①p=∞,an=0,直线运动 直线运动不必表为弧坐标 ②、v=常量,a=0,匀速曲线运动,a=an =1+at ③匀变速曲线运动,a=常量,则有 S=So+l、a
切向加速度: a = s a = an + a 法向加速度: 2 2 a = an + a 全加速度: an a tg = n v an 2 = α 全加速度始终位于曲线内凹的一侧. 特殊地: ①ρ=∞, an=0 ,直线运动, a=aτ , 直线运动不必表为弧坐标. ②.v=常量, aτ=0 ,匀速曲线运动, a=a.n ③.匀变速曲线运动, aτ =常量, 则有: v v a s s s v t a t v v a t 2 2 1 2 0 2 2 0 0 0 − = = + + = +
例1:点作平面曲线运动速度为v其加速度a与曲率圆所截的弦 MA=l求证此时 21 解依题意画图, y C·coSc=a.= r: aI cos a 两式相除即得结果 A a 例2:点作平面曲线运动其速度v在某一固定方向的投影为常量C, 求证其加速度 p为曲线在M点处的曲率半径 解依题意画图,Cp V =vcos=C COSC= a.=0 n a CL·coSc=a
例1: 点作平面曲线运动,速度为v,其加速度a与曲率圆所截的弦 MA=l,求证此时 r v a an 2 cos = = 解:依题意画图, C A M r l a v α l v a 2 2 = r l 2 cos = 例2: 点作平面曲线运动,其速度v在某一固定方向的投影为常量C, 求证其加速度 ,ρ为曲线在M点处的曲率半径. M n v y x α C v a 3 = vx = v cos = C 解:依题意画图, = 0 x a y a = a a r v a an 2 cos = = v C cos = 两式相除即得结果