§12频率与概率 1.2.1频率及其性质 定义121:(p9)事件A在m次重复试验中出现k次, 则称k为事件A发生的频数,比值k称为事件A在 n次重复试验中出现的频率,记为f1(A.即 频率的性质 (1)0≤f1(A)≤1 (2)fn()=1;fn()
定义1.2.1:(p9) 事件A在n次重复试验中出现k次， 则称k为事件A发生的频数，比值k/n称为事件A在 n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A)＝ k/n. 1.2 .1 频率及其性质 §1.2 频率与概率 •频率的性质 (1) 0≤ fn(A) ≤1； (2) fn(Ώ)＝1； fn(φ )=0
(3)可加性:设A1,A2,Ap是r个两两 互不相容的事件,即AA=,(,j=1 2…,有f(A1∪A2…A)=f(A1)+ fA2)+…fn(A) 历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ,出现正反面的机会均等。 实验者 徳·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K.皮尔逊12000 6019 0.5016 K皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998
历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时 ，出现正反面的机会均等。 实验者 n n H f n(H) 德·摩根 2048 1061 0.5181 蒲丰 4040 2048 0.5069 K. 皮尔逊 12000 6019 0.5016 K.皮尔逊 24000 12012 0.5005 维尼 30000 14994 0.4998 (3) 可加性： 设 A 1 ， A 2 ，… A r, 是r 个两两 互不相容的事件，即 Ai Aj ＝ φ ，(i ≠j), i , j ＝1, 2, …, 有 fn( A 1 ∪ A2 ∪ … A r ) ＝ fn(A 1) ＋ fn(A 2)+…. fn ( A r ）
实践证明:当试验次数n增大时,f(A)逐渐 趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A, 作为事件A的概率 上述概率的定义称之为概率的统计定义
实践证明：当试验次数 n增大时， fn(A) 逐渐 趋向一个稳定值 。可将此稳定值记作P(A) ， 作为事件 A的概率 上述概率的定义称之为概率的统计定义
12.2.概率的公理化定义及其基本性质 定义1,2.2(p7)若9是随机试验所对应的样本空间,对 Ω中的每一事件A,规定一个实数P(A)。如果集合函数 P()满足以下三条件,则称P(A)为事件A发生的概率: (1)非负性:P(A)≥0: (2)规范性:P(92)=1; (3)可列可加性:设A1,A2,…,是一列两两互不相容 的事件,即AA=,(i),i,j=1,2,…,有 P(A1∪A2∪..)=P(A1)+P(A2)+…(1.1)
定义1.2.2(p7) 若Ω是随机试验所对应的样本空间，对 Ω中的每一事件A，规定一个实数P(A)。如果集合函数 P(·)满足以下三条件，则称P(A)为事件A发生的概率： (1) 非负性：P(A) ≥0； (2) 规范性：P(Ω )＝1； (3) 可列可加性：设A1，A2，…, 是一列两两互不相容 的事件，即AiAj＝φ，(i≠j), i , j＝1, 2, …, 有 P( A1 ∪ A2 ∪ … )＝ P(A1) ＋P(A2)+…. (1.1) 1.2.2. 概率的公理化定义及其基本性质
概率的基本性质P(7:) (1)P(φ)=0; 2)有限可加性:设A1,A2,An,是n个两两互 不相容的事件,即AA=0,()i,j=1,2,…,n ,则有P(A1∪A2∪…∪A=P(A)+P(A2)+ (3)单调性:若事件A→B, 则P(AB=P(A)-P(B),且 P(A)≥P(B),从而P(A≤1
概率的基本性质 P(7-8) (1)P(φ)=0 ; (3)单调性：若事件A⊃B， 则P(A-B)=P(A) -P(B) , 且 P(A)≥P(B) ，从而P（A)≤ 1； (2) 有限可加性：设A1，A2，…An , 是n个两两互 不相容的事件，即AiAj＝ φ ，(i≠j), i , j＝1, 2, …, n ,则有 P( A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An)＝ P(A1) ＋P(A2)+… P(An);