上游充通大学 6.2 势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 当α→0时，源点和汇点无限接近，流量为无限增大，使得 lim g·2a=M1 a→0 取有限值，称这种流动为偶极子流(Doublet flow, Q→∞ Dipole)。M为偶极子矩，其方向由源点指向汇点。当e为微量 时，有：ln(1+6)=8-62/2+63/3-.≈8 可得二维偶极子流的速度势为： o=l1n+ -4xa a→0 4π Q→0 x+a+yH lim[- Axa a→0 Q→0 4r (x+a 即 M X M cose 2π(x2+y2) 2π
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 当 时，源点和汇点无限接近，流量为无限增大，使得 取有限值，称这种流动为偶极子流(Doublet flow, Dipole)。M为偶极子矩，其方向由源点指向汇点。当ε为微量 时，有： a → 0 0 lim 2 a Q QaM → → ∞ ⋅ = )1ln( εεεε ...3/2/ ≈−+−=+ ε 2 3 可得二维偶极子流的速度势为： 2 2 0 2 2 0 4 lim{ ln[1 ]} 4 () 4 lim[ ] 4( ) a Q a Q Q xa x a y Q xa xa y φ π π → →∞ → →∞ − = + + + = − + + 2 2 cos 2( ) 2 Mx M x y r θ φ π π = − = − + 即
上游充通大睾 6.2势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 对速度势求偏导数，得出的二维偶极子流的速度分布为： M sine V= o 5M cos0 '= 00_ Or 2n r2 ra0 2πr2 二维偶极子流的流函数为： w-lim(e 2ay arctan 2ay a02π a-→0 2xxty-@ Q→0 Q-→0 即 M y Msin V= 2πx2+y2 2π r
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 二维偶极子流的流函数为： 222 222 0 0 2 2 lim( arctan ) lim( ) a a 2 2 Q Q Q ay Qay x y a x y a ψ → → π π →∞ →∞ = = + − + − 2 2 sin 2 2 My M x y r θ ψ π π = = + 即 对速度势求偏导数，得出的二维偶极子流的速度分布为： 2 cos 2 r M V r r φ θ π ∂ = = ∂ 2 sin 2 M V r r θ φ θ θ π ∂ = = ∂
上游充通大学 6.2 势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 令Φ为常数C1,得等势线方程： 即等势线的图像为圆心在（心0）点上，半径为兴手 并 与y轴在原点相切的圆族，即图中虚线。 令Ψ为常数C2,得流线方程： M 即流线的图像是圆心为(0,4πC,), M 半径为 4C, 并与x轴在原点相切的 圆族，即图中实线
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 令Φ为常数C1，得等势线方程： 22 2 1 1 ( ) () 4 4 M M x y π π C C + += 即等势线的图像为圆心在 ( ) 点上，半径为 并 与y轴在原点相切的圆族，即图中虚线。 1 , 0 4MπC − 1 4 CMπ 令Ψ为常数C2，得流线方程： 2 22 2 2 ( )( ) 4 4 M M x y π π C C +− = 即流线的图像是圆心为( )， 半径为 ，并与x轴在原点相切的 圆族，即图中实线。 2 0, 4MπC 4 C2 M π
上游充通大睾 6.2势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 也可以从另一途径和直角坐标来得到二维偶极子流的速度势： -(A+)-[是（x-+少-nx++y)】 a→0 9-→0 0→0 M X M x 2元 2πx2+y2 2πr2 这里M是偶极子矩：1imQ·2a=M a-→0 Q→0 同样可以得到二维偶极子流的速度 势为： M x 2πr2
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 也可以从另一途径和直角坐标来得到二维偶极子流的速度势： ( ) ( ( ) ( ) ) 2 2 2 2 1 2 0 0 0 0 2 2 22 2 lim lim ln ln 2 ln 2 22 a a Q Q Q xa y xa y M M x M x x y x x y r φ φφ π π ππ → → → → ⎡ ⎤ = + = − +− + + ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ∂ = − + =− =− ∂ + 0 lim 2 a Q QaM → →∞ 这里M是偶极子矩： ⋅ = 同样可以得到二维偶极子流的速度 势为： 2 2 M x r φ π = −
上浒充通大￥ 6.2势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 如果是三维点源与点汇的叠加，则得三维偶极子流的速度势： 1 p=lim(4+中2)=lim a->0 a→0 Q→0 Q-→0 4πVx-a+y+z2y M a M X M x 二 4π0xVx2+y2+z2 4π(x2+y2+2) 4π 这里M是偶极子矩： limQ·2a=M a→0 Q→0 所以三维偶极子流的速度势为： M x 4πr3
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 如果是三维点源与点汇的叠加，则得三维偶极子流的速度势： ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 0 0 2 2 2 2 2 2 0 0 3 2 3 2 22 2 22 1 1 lim lim 4 1 4 44 a a Q Q Q xa y z xa y z M M x M x x r xyz xyz φ φφ π π ππ → → → → ⎡ ⎛ ⎞⎤ ⎢ ⎜ ⎟⎥ = += − − ⎢ ⎜ ⎟⎥ − ++ + ++ ⎢⎣ ⎝ ⎠⎥⎦ ∂ = − = = ∂ + + + + 0 lim 2 a Q QaM → →∞ 这里M是偶极子矩： ⋅ = 所以三维偶极子流的速度势为： 3 4 M x r φ π =