上游充通大睾 6.2 势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 由于动力学条件与速度势和流函数没有直接耦合，而且速 度势和流函数都是调和函数，满足Laplace方程，加上运动学 条件及其他条件都是线性算子，因此速度势和流函数都满足下 面的线性叠加原理(Linear Superposition): 几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势和 流函数分别等于原有几个有势流动的速度势和流函数的代数 和，速度分量为原有速度分量的代数和。 势流的线性叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得 到新的复杂流动的速度势和流函数，可以用来求解复杂流动
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 由于动力学条件与速度势和流函数没有直接耦合，而且速 度势和流函数都是调和函数，满足Laplace方程，加上运动学 条件及其他条件都是线性算子，因此速度势和流函数都满足下 面的线性叠加原理(Linear Superposition)： 几个简单有势流动叠加得到的新的有势流动，其速度势和 流函数分别等于原有几个有势流动的速度势和流函数的代数 和，速度分量为原有速度分量的代数和。 势流的线性叠加原理的意义：将简单的势流叠加起来，得 到新的复杂流动的速度势和流函数，可以用来求解复杂流动
上游充通大学 6.2势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 设有两个平面势流， 其速度势为0，和02，则 a201 ay? 02二 0 此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面 势流，其速度势 0=P1+02
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 设有两个平面势流，其速度势为 ，则 ϕ 和ϕ 21 0 0 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 = ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ + ∂ ∂ yx yx ϕϕ ϕϕ 此时，两个速度势之和将代表一个新的不可压缩流体平面 势流，其速度势 ϕ = ϕ +ϕ 21
上游充通大学 6.2势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 因为 a2p_a2(0,+02）a2(g,+02) &x2 即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量： aφ Ox Ox 2=un+ux 00+x 00 Uy ay a02=,+y2 Dy 同样可证明，新的复合流动的流函数： Ψ=必1+Ψ2
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 因为 ( ) ( ) 2 2 2 2 12 12 22 2 2 22 2 2 11 2 2 22 2 2 0 xy x y xy xy ϕ ϕ ϕ ϕ ϕϕ ϕϕ ϕϕ ∂ ∂ ∂+ ∂+ += + ∂∂ ∂ ∂ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ∂∂ ∂∂ =+++ = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ∂∂ ∂∂ 即速度势叠加结果，代表一新的复合流动，其速度分量： 21 21 21 21 y yy x xx uu yyy u uu xxx u += ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = += ∂ ∂ + ∂ ∂ = ∂ ∂ = ϕϕϕ ϕ ϕ ϕ 同样可证明，新的复合流动的流函数： ψ =ψ +ψ 21
上浒充通大￥ 6.2势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 例子1：点源与点汇的叠加一偶极子流。 y 若将位于A(-,0)的点汇，强度 P(x,y) 为2，与位于B(4,0)等强度的点源 叠加，令Φ和Φ2，Ψ和Ψ2分别 B 为点汇与点源的速度势和流函数 a a 求叠加后某点P化，y)的速度势。 解：根据线性叠加原理，二维点源与点汇的叠加后的速度势为： 中=功+42= n%2,0nr4 2 2π "-emx+(x-a) 2π 4πy2+(x+a)
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 例子1：点源与点汇的叠加－偶极子流。 o x y − a a Br Ar ( , yxP ) A θ A B θ B 若将位于A(-a, 0)的点汇，强度 为Q，与位于B(a, 0)等强度的点源 叠加，令Φ1和Φ2，Ψ1和Ψ2 分别 为点汇与点源的速度势和流函数 ，求叠加后某点P(x, y)的速度势。 解：根据线性叠加原理，二维点源与点汇的叠加后的速度势为： ( ) ( ) 1 2 2 2 2 2 ln ln 2 2 ln ln 2 4 B A A B Q Q r r Q Q r y xa r y xa φφφ π π π π =+ = − + − = = + +
上游充通大学 6.2势流的线性叠加原理 Shanghai Jiao Tong University 流函数为： w=9(0。-,) 2π 二 2元 Q 2ay arctan 2π x2+y2-a2 Op是AP、BP之间的夹角， W=C 在流线上Ψ=常数，0p=常数。 其图像为经过源点和汇点的圆 线族
Shanghai Jiao Tong University 6.2 势流的线性叠加原理 流函数为： 222 ( ) 2 2 2 arctan 2 B A p Q Q Q ay x y a ψ θ θ π θ π π = − = = + − θp 是AP 、BP之间的夹角， 在流线上 Ψ= 常数，θp = 常数。 其图像为经过源点和汇点的圆 线族