黑龙江八一农垦大学：《工科高等数学》课程教学资源（PPT课件）第八章 多元函数微分法及其应用（8.2）偏导数

庄例1求z=x2+3+在点12)处的偏导数 解 4E+x=20 Oz ax =3x+2y 王:a a!≈2×1+3×2=8 y=2 az ,/!=3x1+2×2=7 2 J=4 上页

例 1 求 2 2 z = x + 3xy + y 在点(1,2) 处的偏导数． 解 =   x z 2x + 3y ; =   y z 3x + 2y . =    = = 2 1 y x x z 21+ 32 = 8 , =   = = 2 1 y x y z 31+ 22 = 7

例2设乙=x”(x>0,x≠1), 求证xO,1az =2Z y ax Inx dy 证 z =y, = xInx ox x Oz I 0z .Ox x,√y-k+ J x Inx u Inx dy y In x x+x=2z 原结论成立 上页

例 2 设 y z = x (x  0, x  1)， 求证 z y z x x z y x 2 ln 1 =   +   . 证 =   x z , y−1 yx =   y z x ln x, y y z x x z y x   +   ln 1 x x x yx y x y y ln ln 1 1 = + − y y = x + x = 2z. 原结论成立．

例 z 3 设 z= arcsin 求 ax 01≠ 解0x 2 2+y J 十 ly2 = J J 十 J 十

例 3 设 2 2 arcsin x y x z + = ，求 x z   ， y z   . 解 =   x z          +  + − x x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 2 | | (x y ) y y x y +  + = . | | 2 2 x y y + = ( | |) 2 y = y

ay 1-x2+y x2 x2+y2丿, 2 2 = J ry 2 2 r t y 2 sgn ≠ 0 J z 不存在. x≠0 0 上

=   y z          +  + − y x y x x y x 2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 2 2 ( ) ( ) | | x y xy y x y + −  + = x y y x 1 sgn 2 2 + = − ( y  0) 0 0 =    y y x z 不存在．

例4已知理想气体的状态方程p=RT (R为常数),求证: dp av aT =-1 av aT ap RT RT 证p=→ 2 =0p_R OT =;T=P、OTV R ap R 上 Op OV OT RT RV RT=-1 aV aT ap V- p R p 上页

例 4 已知理想气体的状态方程pV = RT （R为常数），求证： = −1         p T T V V p . 证 =  V RT p ; 2 V RT V p = −   =  p RT V ; p R T V =   =  R pV T ; R V p T =   =         p T T V V p 2 V RT − p R  R V  = −1. pV RT = −