E[E()E(t2)|A] = E[(t)] = 12. +(-1)2. 二1所以R:(t) = Re(t1,t2) =1- It2=tilT.综上所述，可得到（t）的自相关函数的完整表示式为(-T≤TRe(t)loIr/> Tb（2）取R（）的傅里叶变换，即得到此随机二进制信号的功率谱密度为wlh= T,[Sa(fT,)]2P(w)= 4证毕。例2-4若（t）是平稳随机过程，自相关函数为E（t）,试求它通过如图2.2.3所示系统后的自相关函数及功率谱密度。E(t)-相加输出延时T图2.2.3例2-4图解：设输出过程为y(t),则y(t）=E(t）+（-7),而输出过程y(t)的自相关函数为Ry(t,t+t)= E[y(t)y(t + t)]=EI[()+E(-)(+)+(-T+)I=E[E(t)(t+t)+E(t-T)E(I+t)+$(t)E(t -T+t)+$(t-T)E(t-T+t))= Re(t)+ Re(t+ T) +Re(r- T)+R(t)= 2Re(t) + Re(r + T) + Re(t- T)= R,(t)求输出过程的功率谐密度有很多种方法，下面列举五种解法。方法一：直接对输出过程y（t）的自相关函数R（t）进行傅里叶变换，得到输出过程的功率谱密度Py(w)。P(w) =R,()e-jaxdt[2Re()+R(-T)+Re(+T)le-iardt= 2f*Re(t)e- dr + J+Re(+ - T)e-"rdt +Re(t+T)e-iordt上式中第二项：令-T=u，t=u+T，dt=du上式中第三项：令+=，=+T，dd于是，有.13:
Re(u)e-jodu +ejn)Rg(v)e-ind)P(w) = 2P(w) +e-wT=2P,(w)+e-nTp(w)+QTP(w)= Pe(α)[2 + e-inT + eT)= 2(1 + coswT)P()式中， P()=R(t)方法二：因为 y(t) = (t)*h(t) = (t) +(t -T)= $(t)*[8(t) +8(t - T)]所以h(t)=8(t)+8(t - T)设 H()h(t),则 H()= 1 +e-jaT所以 P(α）=P()IH()|2=2Pe(w)(1+cOSwT)方法三：[s(t) + (t - T)le-iut dt因为Y(）== (w) + E()e-iar= (w)(1 +e-nT)Y(0)= 1 +e-iur所以图2.2.3系统的传输函数为H(w）=()所以 P() = P(w)|H(w)2 = 2Pe(w)(1 + coswT)方法四：P(w) = F[R,(t)) = F[2Re(t) F Re( + T) Re(t-T))根据傅里叶变换的时延特性，得P,(w) = 2P;()+ P:()gaT + Pe()e-iaT Pe(w)(2 + ejaT + e-aT) = 2P(α)(1 + cosaT)方法五：因为 y(t) = e(t) +e(t - T)Y(w) = (w) + E(w)e"inT = (w)(1 +e-inT)所以则图 2.2.3所示系统的传输函数为H(a）=()=1 +e-iar(w)所以P,(α) = P(w)/H(α)/2 = 2P,()(1 + coswT)R例2-5若通过图2.2.4RC低通滤波器的随机过程是均值为零，功率谱密度为no/2的高斯白噪声，试求输出过程的一维概率密度函数。C解：因为输人过程是高斯白噪声，所以通过线性系统后输出过程仍然是高斯过程，只是其数学特征和功率谱密度有所变图2.2.4例2-5图化。设输人过程为n（t）,其均值为0,即E[n（t)=0功率谱密度P（）=ng/2RC低通滤波器的传输函数为1H(α) = 1+ jaRC.14
设输出过程为no(t),则其均值为E[no(t)) = E[n (t) .H(0) = 0因为功率谱密度170Pno(w) = Pm(w), [H(w)/2 =2+(RC)所以其自相关函数notRao(t) = F-[P.o(a)] = Rcex(RC由于方差no% = Rno(0) =4RC故输出过程的一维概率密度函数为Tfo(r)=expl22元00no其中doN4RC2.3习题解答2.3.1设z（z）=,cosvot~2sinwot是一随机过程，若和2是彼此独立且具有均值为0，方差为。的正态随机变量，试求：(1)E[z(t)],E[22(t)];(2)(t)的一维分布密度函数f();(3)B(t1,t2),R(t1,t2)。解: (1)E[z(t)] = E[αcoswot - r2sinoot] = coswotE[r1] - sinwotE[x2] = 0E[2(t)] = E[(rjcoswot - 2sinnt)2]= coswotE[] + sinwotE[] - 2coswotsinwotE[x]E[2]= (cos'wot + sin?wot) . g? - 0 = g?（2）因为和2正态分布，则（t）也是正态分布又 E[2()] = 0,D[() = E[2()] -E[()] = 2所以 ≥(t)的一维分布密度函数为β(z)=亢exp[-是)2212元g(3)R(t1,t2) = E[z(t))z(t2))= E[(z1coswot1 - ±2sinwot)(icoswot2 - x2sinwot2)]= cos(wot1 - wot2)o2 = 2coswot,其中 t = t - t2-B(t1,t2) = R(t1,t2) - E[E(t)] . E[E(t2)] = cos(wotr - aot2)02 = g?coswot2.3.2求乘积（t）=(t)y(t)的自相关函数。已知（t)与(t）是统计独立的平稳-随机过程，且它们的自相关函数分别为R（t），R（）。-解: R(t1,t2) = F[z(t1)2(t2)1 = E[(t1)y(t)α(t2)y(t2))= E[(t)(t) .Ey(t)y(t)) =R()R()-151-
e-alrl,a为常数2.3.3已知噪声n（t）的自相关函数R（t）=(1)求Pr()及 S;(2)绘出R,（t）及P(）的图形。a22aR()e-ard解: (1)P,(w) = /2a2+2u2+2S = R.(0) =号n(2)R，（）及P（）图形如图2.3.1所示。P,(n) tR.(r)A0图2.3.1题2.3.3图2.3.4=（t）是一个平稳随机过程，它的自相关函数是周期为2（秒）的周期函数。在区间（-1,1)(秒）上,该自相关函数R(t）=1~|l。试求(t)的功率谱函数P(),并用图形表示。解：对R(）进行傅里叶变换，得Xr(）=(t)的功率谱函数为2元0)= s()6(a ~ n元)Pe(w)=Xr(@)8图形如图2.3.2所示。Pr(o) t-3x-2元2nK03元图2.3.2题2.3.4图2.3.5将一个均值为零，功率谱密度为no/2的高斯白噪声加到一个中心角频率为wc，带宽为B的理想带通滤波器上，如图2.3.3所示。（1）求滤波器输出噪声的自相关函数；（2）写出输出噪声的一维概率密度函数。no解：（1）因为高斯白噪声的功率谱密度为P,(w) =2. 16:
noa(t)所以其自相关函数为R（r）=根据图中滤波器的图形，对它作傅里叶反变换，得h(）=2BSa(元Bt)cosw,H(c)*--f 2nB [--| 2xB 0wewea图2.3.3题2.3.5图所以滤波器输出噪声的自相关函数为Ro() = R,()*h(t) = noBSa(πBt)coswet（2）因为滤波器的输人是高斯噪声，根据随机过程通过线性系统的特性，其输出仍然是高斯噪声。因为Ro（oo）=E[s（)1=0.所以输出噪声的期望E[（t)1=0又因为Ra(0)-Ro(oo）=2=ngB-0=nB,所以方差D[(t)]=noB故输出噪声的一维概率密度为112f(r) :2noBV2元naB2.3.6设RC低通滤波器如图2.2.4所示，求当输入均值为零、功率谱密度为ng/2的白噪声时，输出过程的功率谱密度和自相关函数。no解：转输人过程的功率谱密度为P(w) =2RC低通滤波器的传输函数为1ja1H(w)-1 + jRCR +jac所以输出过程的功率谱密度为1noPo() = P(w) : /H(@)/2 =21+(wRC)2其自相关函数1noTRo(t) =Po()edw :exp2t4RCRC2.3.7将均值为零、功率谱密度为no/2的高斯白噪声加L到如图2.3.4所示的低通滤波器的输入端。（1）求输出噪声no(t）的自相关函数；IR(2）求输出噪声no(t）的方差。解：（1）输人过程的功率谱密度为图2.3.4题2.3.7图: 17