随机信号分析第2章内容提要2.11.信号参数具有随机性的信号为随机信号。凡是不能预测的噪声统称为随机噪声，简称噪声。随机信号和噪声统称为随机过程。随机过程可看成随机的时间函数或者看成随机变量随时间变化的集合。2.随机过程（t）的数字特征(1)数学期望E[s(t)) =fi(r,t)dt =a(t)D[(t)) = E1(t) -E[(t)]12(2)方差= E[e(t)]? -- [EE(t)]2= g?(t)（3）协方差函数B(ti,t2) = Et[e(t))-a(t))l[(t2) -a(t2)](4)相关函数R(t1,t2) = E[$(t)e(t2))B(ti,t2) = R(ti,t2) -E[e(t))] - E[(t2)]3.平稳随机过程有狭义和广义之分狭义平稳：对任意的n和，随机过程（t）的n维概率密度函数满足f,(yoa2,w,aniti,t2,",tn)- f(ri,a2,,ruit +t,t2 + t,,tn +t)广义平稳：数学期望及方差与t无关，即E[(t)]=a,D[（t)]=且自相关函数只与时间间隔有关，即R（tt+）=R（)。狭义平稳一定是广义平稳，反之不一定成立。4，平稳随机过程的特性一各态历经性：即平稳随机过程的数字特征，可由随机过程的任一实现的数字特征来决定。5.对于实平稳随机过程E（t）自相关函数R（）的主要性质：(1)R(0)为()的平均功率R(0) = E[(t)1= 3(2)R(）为偶函数R(-T) = R()(3)R(0)为R()的上界1 R(T) I≤R(0)(4)R(0)为 (t)的直流功率 R(80) = E2[e(t))(5)R(0）R(α0）为(t)的方差,即交流功率为R(0）-R(α）=26.平稳随机过程的功率谱密度应看作是每一可能实现的功率谱的统计平均，且自相关函数与其功率谱密度之间互为傅里叶变换关系。Pe(w) =R()e-iardt或P()R()7.高斯过程又称正态随机过程。若为服从正态分布的随机变量，则其维概率密度函数可表示成[_ (r - a)21f(x)=-exp2g2m.8:
式中，u、为常量（分别为均值与方差）八）有如下特性：(1)f(r）对称=aa（2）（）在（一x，α）内单调升.在（u，）内单调下降，且在点α处达到极大值V2元03)r)dr=1月)d=()dr=（4）对不同的u（固定），表现为（）图形的左石平移；对不同的（固定），）的图形将随的减小而变高和变窄。维的正态分布函数r)=expj-(gFjd = (x2022元gJ(r)一,exp(-)ds定义概率积分函数crf(r) -2eds误差函数21edz互补误差函数crfe(α) - 1 - erf(r) -因此分布函数Fr）又可表示成：1+l(r-a)ere(1)F() ==-221/2g12g由此，可得出概率积分函数与误差函数之间的关系为erfc(r) = 2-20(2r)或erf(r) 2p(/2)- 18.窄带随机过程有两种表示方法（1）包络、相位表示（t）=a(t)cos[ate(t)]u(t）≥0(2）同相、正交表示（t）=（)coswt—$（）sinu)t式中：(t）=ag(t)cmspe（）为同相分量：（t）=ae（t)sinpe（t）为正交分量。对下一个均值为零的窄带平稳高斯过程（2），其$（t）与号（t）同样是平稳高斯过程，且均值都为零，方差相同，且在同一时刻上得到的（t）与（t）是互不相关的或统计独立的。9.塞带随机过程的包络ue服从瑞利分布为UEf(ae)=exp] -20 jaa ≥0ae其相位服从均匀分布为f() =02m2元10.白噪声一个理想的宽带过程，即其功率谱密度在整个频域内都均勾分布，双边功率谱密度表示为oW/HzPs(w)=211.对于正弦波加窄带高斯噪声，其混合信号形式为.9
r(t)= Acos(wot+$) +n(t)式中，n（t）=α(t)coswot-y(t)sinwot为窄带高斯过程，其均值为零。正弦波的相位8在（0，2元）上均勾分布，且A，@o为已知，则r（t）的包络为2()I[Acos8+()J2+[Asing+y(t)212其概率密度函数服从广义瑞利分布：(22 + A)]A3F(2)=32≥0zexpL221式中，α2为n（t）的方差，lo（）为零阶修正贝寨尔函数。12.平稳随机过程通过线性系统。设输人5（t）是平稳随机过程，通过系统H（），输出过1程为（t),则我们可以得到以下几个结论：()E[(t)] = E[$(t)].H(0)。(2)Ro(t,t +t) = Ro(t)。(3)Ps(w) = P(w) - [H(w)/2因此，输出过程S（t）是广义平稳过程。2.2例题详解例2-1设随机过程（t）可表示成(t）=2αs(2元t+?),式中是一个离散随机变量，且P(6=0)=1/2,P(8=元)=1/2,试求E(1)及R(0,1)。解：E(1) =E[2cos(2π×1+)] =E[2cos] =2[00scos6=0R(0,1) = E[2cos(0 + 6) - 2cos(2元 + 8)] = 4E[cos@] = 2例2-2若随机过程z(t）=m（t)cos(wot+9),其中，m(t）是广义平稳随机过程，且自相关函数Rm（）为(1+r -1<r<0Rm(t)=1-0≤<10其他8是服从均勾分布的随机变量，它与m（t）彼此统计独立。（1）证明α（t）是广义平稳的；（2）绘出自相关函数的R（）波形；(3）求功率谱密度P（t）及功率S。解：（1)先求z(t)的数学期望a(t)：a(t) = E[(t)] = E[m(t)cos(wot +0)]因为6与m（t）彼此统计独立，所以a(t) = E[m(t)] . E[cos(ant + 8)]= E[m(t)] *cos(wot + 0) .de= E[m(t)] -0= 0再求之（t）的自相关函数：R(t,t + t) = E[m(t)cos(wot + 8)m(t + t)cos(woz + wot + 0)).10
= E[m(t)m(t+t)] :cos(wot + $)cos(wot + wot + $) .de-?= Rm(t)-COSUOT寸因为（t）的数学期望与t无关，是常数，且白相关函数与1无关，只与时间间隔有关，所以2（t）是广义平稳的随机过程。[(1 -itl)coswor Itl≤1TRm(t)oz (2)R(t) =其他lo2,并取 T *11设=,则 R(t)的图形如图2.2.1所示。TR.(r)+12图2.2.1例2-2图(3)因为功率谱密度P(w)一R(t）,所以*R(t)e'"iordt = [sa( 0)+ Sa2("_)P(u) =21功率S =:P,(w)da :或S = R,(0) =例2-3设有一个随机二进制矩形脉冲波形，它的每一个脉冲的持续时间为T，脉冲幅度取±1的概率相等。现假设任一间隔T。内波形取值与任何别的间隔内取值统计无关，且过程具有广义平稳性，试证；-T≤T（1）自相关函数Re(t）o1tl>Tb(2）功率谱密度Pe(a）=T,[Sa(元fTs)]2。证明：（1）由题意，设（t）是随机二进制信号的一个样本函数，如图2.2.2（α）所示。因为脉冲幅度取±1的概率相等，所以（t）的数学期望为E[(t)] =+ 1 . P[e(t) = 1] +(-1) . P[E(t) =- 1] = (+1) . +(-1).1=02n令t1、t2是任意选取的两个时刻：a.当lt-l>T,时11:
t和t2在不同的脉冲间隔内，（t）和（t2）相互独立，所以此时R(t1,t2)=Re(t)=F[(t))e(t2)] -F[$(t))].E[e(t2))= 0b. 当 t2-tl≤ T,时..1t1和t2有可能在同一脉冲间隔内，也有可能不在同一脉冲间隔内，这取决于随机起始时间to，如图2.2.2所示，（b）图t1和t2在同一脉冲间隔内，（c）图t和t2不在同一脉冲间隔内。设t,和t2不在同脉冲间隔为事件A，由于t等可能取0～T，内任何值，当t2>ti时，tl、t2在同一脉冲间隔内的概率为P(A) = P(ti < to <t2) = ≤IThIt2-til一般情况下,P(A）=Th相应地，t1和t2在同一脉冲间隔为事件A，A的概率为P(A) = 1 - P(A) = 1 - 2=tilTh于是，此随机二进制信号的自相关函数为Re(t1,t2) = E[(t1)(t2)]= E[e(t))(t2)|A) . P(A) + E[(t))(t2) |A] : P(A)t(e)t（a）随机二进制信号的样本函数（t）it11+2(b)和t2在间一脉冲间播内4(c)t和t2不在间一冲间隔内图2.2.2例2-3图因为A表示事件t和t2不在同一脉冲间隔，所以E[e(t))(t2)|A] = 0而-12 :