清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章 重积分（4.5）第五节含参变量的积分（课后作业）

第四章重积分 第四章重积分 第五节含参变量的积分 4-5-1含参积分的概念及性质 4-5-2广义含参积分 第十四讲含参变量积分的概念与性质 课后作业 阅读:第四章第二节:pp.102—107,、第三节:pp.109113 预习: 第四节三重积分的计算pp.114-123 作业:习题2:pp.108-109:1,(3),(5),(6);2,(2),(3),(4); 3(书上错写成2),(3),(4;4(书上错写成3),(2) (4) 5(书上错写成4);7(书上错写成9);8(书上错写成 10) 习题3:pp.113-114:2;3;4;5. 引言 r函数和B函数是在物理和工程技术中常见的两个函数。它们都是 用积分定义的函数。其中 I(a)= B(a,B)=0ox-(1-x)-dx (6 根据对于一元函数广义积分的研究结果,我们已经知道 1.当且仅当a>0时,无穷积分xe-dx收敛,因此r函数r(a) 的定义域是0,+∞)。 2.当且仅当a>0,B>0时,瑕积分x“(1-x)2收敛,因此 B函数B(a,B)的定义域是D={(a,B)|a>0,B>0} r函数和B函数都是由积分确定的函数。在积分xe2ax中,x 是积分变量,a是参变量。在对于x的积分过程中,a是不变的。但是 积分的结果一般与a是有关的,也就是说,积分值是a的函数。这样的 积分称为含参变量积分 同样,在积分x“(1-x)21中,a,B都是参变量,这个含参变 量积分是a,B的二元函数,记作B(a,B)。 除了初等函数之外,我们曾经研究过隐函数和由参数方程确定的函数 的微分法:还研究过函数级数的和函数的连续性、微分法和积分法。本 节考察含参变量积分(由积分确定的函数)。例如 ∫(x)=∫g(x,y)d,F(s,1)=Jg(,s,x)dtx(其中/是某个区间), ()=jDf(,x,y)dtd(其中D是R2中的某个区域)以及 f(x)=mg(xy)d等等 我们将研究这样的问题:含参变量积分作为参变量的函数,如何研究 它们的连续性,可导性,以及如何求导数和积分等问题 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 1 第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 4-5-1 含参积分的概念及性质 4-5-2 广义含参积分 第十四讲 含参变量积分的概念与性质 课后作业： 阅读：第四章 第二节: pp.102---107,、第三节: pp.109---113 预习： 第四节 三重积分的计算 pp.114---123 作业: 习题 2: pp. 108--109 :1,(3), (5), (6); 2, (2), (3), (4); 3(书上错写成 2), (3),(4); 4(书上错写成 3), (2), (4); 5(书上错写成 4); 7(书上错写成 9); 8(书上错写成 10); 习题 3: pp. 113--114 : 2; 3; 4; 5. 引言 Γ 函数和 Β 函数是在物理和工程技术中常见的两个函数。它们都是 用积分定义的函数。其中  =  + − − 0 1 ( ) x e dx  x  (6.1)  =  − 1 − − 0 1 1 ( , ) x (1 x) dx     (6.2) 根据对于一元函数广义积分的研究结果，我们已经知道： 1．当且仅当   0 时，无穷积分  + − − 0 1 x e dx  x 收敛，因此 Γ 函数 () 的定义域是 （0，+ )。 2．当且仅当   0，   0 时，瑕积分  − 1 − − 0 1 1 x (1 x) dx   收敛，因此 Β 函数 (,  ) 的定义域是 D ={(,  )|  0,   0}。 Γ 函数和函数都是由积分确定的函数。在积分  + − − 0 1 x e dx  x 中， x 是积分变量，  是参变量。在对于 x 的积分过程中，  是不变的。但是 积分的结果一般与  是有关的，也就是说，积分值是  的函数。这样的 积分称为含参变量积分。 同样，在积分  − 1 − − 0 1 1 x (1 x) dx   中， ,  都是参变量，这个含参变 量积分是 ,  的二元函数，记作 (,  )。 除了初等函数之外，我们曾经研究过隐函数和由参数方程确定的函数 的微分法；还研究过函数级数的和函数的连续性、微分法和积分法。本 节考察含参变量积分（由积分确定的函数）。例如 = I f (x) g(x, y)dy ， = I F(s,t) g(t,s, x)dx （其中 I 是某个区间）， = D (t) f (t, x, y)dxdy （其中 D 是 2 R 中的某个区域）以及 =  ( ) ( ) ( ) ( , ) u x v x f x g x y dy 等等。 我们将研究这样的问题：含参变量积分作为参变量的函数，如何研究 它们的连续性,可导性,以及如何求导数和积分等问题

第四章重积分 6.1.含参变量的定积分 假设当x在某个范围中任意固定时,定积分8(xy)b存在,则称 g(x,y)hy是含参变量的定积分(此处x为参变量)。此时,由积分确 定了一个x的函数,该函数的定义域就是使得积分g(x,y)存在的 那些x的值构成的集合 同样,假设当t任意固定时,在通常意义下的二重积分 JDf(t,x,y)dc存在,则⑩∫(1,x,y)d也是含参变量的定积分 (二重积分,t为参变量) 首先研究含参变量积分的连续性。 定理61:设f(x)=28(x,1)d。如果二元函数g(x1)在矩形 D={(x,y)a≤x≤b,a≤t≤B} 连续,则∫(x)在区间[an,b]上连续。 证明:任取xo∈[a,b],按照函数连续性的定义,为了证明f(x)在 点x0连续,只需要证明:对于任意给定的正数E,都能够找到正数d, 只要x∈[a,b满足不等式|x-x0ko,就有f(x)-f(x0)kE。 现在开始证明定理.注意到 If(x)-f(xo)8(x, t)dt-'g(xo, t)dtI =PIg(x, t)-g(ro, t)]dt kalg(x, t)-g(ro, t)l dt (6.3) 对于任意给定的正数E,由于g(x,)在有界闭区域 D={(x,y)a≤x≤b,a≤I≤B}上连续,从而一致连续。因此存在正 数δ,只要|x-x0ko,那么对于所有的t∈[a,B],都有 Ig(x, 1)-g(xo, Ok (6.4) 于是只要|x-x0k<,由(6.3)和(6.4)式就推出 1f(x)-f(x0)≤1g(x)-g(x0,)|t<n°-dm=g。 B 这就证明了f(x)在点x0连续。由于x0是在区间[a,b]任取的,所以 f(x)在区间[a,b处处连续。证毕。 注释:定理1为求含参变量积分的函数极限提供了一个简单的途径。 在定理6.1的条件下,由于函数f(x)在区间[a,b]上连续,所以对于任 意的xo∈{ab],有lmf(x)=f(x)。因为f(x)=mg(x,nh, f(x)=lg(x,)d,由此得到 Cag(x, i dt=ag(xo, I)a 又因为二元函数g(x,1)连续,因此g(x0,y)=lmg(x,y)。于是由上 式得到 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 2 6.1．含参变量的定积分 假设当 x 在某个范围中任意固定时，定积分  b a g(x, y)dy 存在，则称  b a g(x, y)dy 是含参变量的定积分（此处 x 为参变量）。此时，由积分确 定了一个 x 的函数，该函数的定义域就是使得积分  b a g(x, y)dy 存在的 那些 x 的值构成的集合。 同 样 ，假设当 t 任意固定时，在通常意义下的二重积分 D f (t, x, y)dxdy 存在，则 D f (t, x, y)dxdy 也是含参变量的定积分 （二重积分， t 为参变量）。 首先研究含参变量积分的连续性。 定理 6.1：设 =    f (x) g(x,t)dt 。如果二元函数 g(x,t) 在矩形 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则 f (x) 在区间 [a,b] 上连续。 证明：任取 [ , ] x0  a b ，按照函数连续性的定义，为了证明 f (x) 在 点 0 x 连续，只需要证明：对于任意给定的正数  ，都能够找到正数  ， 只要 x[a,b] 满足不等式 | x − x0 |  ，就有 | ( ) − ( )|  0 f x f x 。 现在开始证明定理.注意到 | ( ) ( )| | ( , ) ( , ) | − 0 =  −  0     f x f x g x t dt g x t dt =  −   −     | [g(x,t) g(x ,t)]dt | | g(x,t) g(x ,t)| dt 0 0 （6.3） 对 于 任 意 给 定 的 正 数  , 由 于 g(x,t) 在有界闭区域 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 上连续，从而一致连续。因此存在正 数  ，只要 | x − x0 |  ，那么对于所有的 t [,  ] ，都有    − | g(x,t) − g(x0 ,t)| （6.4） 于是只要 | x − x0 |  ，由（6.3）和（6.4）式就推出 | ( ) ( ) 0 f x − f x   −   | g(x,t) g(x ,t)| dt 0       = −  dt 。 这就证明了 f (x) 在点 0 x 连续。由于 0 x 是在区间 [a,b] 任取的，所以 f (x) 在区间 [a,b] 处处连续。证毕。 注释：定理 1 为求含参变量积分的函数极限提供了一个简单的途径。 在定理 6.1 的条件下，由于函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，所以对于任 意的 [ , ] x0  a b ，有 lim ( ) ( ) 0 0 f x f x x x = → 。因为 =    f (x) g(x,t)dt ， =    f (x) g(x ,t)dt 0 ，由此得到  =  →     g x t dt g x t dt x x lim ( , ) ( , ) 0 0 又因为二元函数 g(x,t) 连续，因此 ( , ) lim ( , ) 0 0 g x y g x y x→x = 。于是由上 式得到

第四章重积分 lim Jg(x, t)dt=[ lim g(, t)]dt 这就是说,在定理1的条件下,对于参变量x的求极限运算limf(x)与 对于变量t的积分运算2g(x1)d可以交换顺序 在定理1的条件下,由于函数∫(x)在区间[a,b上连续,所以积分 Sof(x)dr=So (g(x,y)dy)dx (6.6) 存在。并且根据二重积分化为累次积分的方法可以推出 so (g(x, y)dy )x=J( g(x, y)dx)dy 于是得到下述结论: 定理62:设f(x)=28(x,1)d。如果二元函数g(x,1)在矩形 D={(x,y)|a≤x≤b,a≤t≤连续,则积分f(x)x存在,并且 (6.7)式成立。 定理6.2的意义在于,它为计算含参变量积分提供了一种方法,即可 以通过交换积分顺序计算积分(6.6)。同时,由此也可以得到计算定积 分的一种技巧。 例61:计算定积分l=(-xdx(其中ab为常数,满足 0<a<b) 解:由于被积函数没有初等原函数,所以不能直接用牛顿-莱布尼茨 公式计算这个积分。 注意到xdhr ,所以 In x In x dx=5dxjox'dt=5odrfox'dx (1)=功=(b+1)-l(a+D 在上述解题过程中,将原来的被积函数xx看成某个含参变量x的 In x 积分xdt,然后交换积分顺序,最后求得原积分的值。 另一个更加重要的问题是如何求含参变量积分的导数。研究这个问题 要比研究连续性与求积分复杂一些。 定理63:假设函数g(x,1)以及该函数关于参变量x偏导数都 在区域D={(x,y)a≤x≤b,a≤I≤B}连续,则f(x)在区间[a,b]上 可导,并且 /'(x)=d&(x, )dt =jog(x, dr (6.8) 证明:对于任意的x∈[a,b],假设x+Ax∈[a,b](作这个假设是 为了使∫(x+△x)有定义),则有 f(x+△x)-f(x)=2(x+△x,1)b-mg(x,)t=g(x+x,1)-9(x,)ht 于是 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 3  =  → →     g x t dt g x t dt x x x x lim ( , ) [ lim ( , )] 0 0 （6.5） 这就是说，在定理 1 的条件下，对于参变量 x 的求极限运算 lim ( ) 0 f x x→x 与 对于变量 t 的积分运算    g(x,t)dt 可以交换顺序。 在定理 1 的条件下，由于函数 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，所以积分 f x dx g x y dy dx b a b a ( ) =  ( ( , ) )   （6.6） 存在。并且根据二重积分化为累次积分的方法可以推出 g x y dy dx b a ( ( , ) )   g x y dx dy b a =  ( ( , ) )   （6.7） 于是得到下述结论： 定理 6.2：设 =    f (x) g(x,t)dt 。如果二元函数 g(x,t) 在矩形 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则积分  b a f (x)dx 存在，并且 （6.7）式成立。 定理 6.2 的意义在于，它为计算含参变量积分提供了一种方法，即可 以通过交换积分顺序计算积分（6.6）。同时，由此也可以得到计算定积 分的一种技巧。 例 6.1：计算定积分  − = 1 0 ln dx x x x I b a （其中 a,b 为常数，满足 0  a  b ） 解：由于被积函数没有初等原函数，所以不能直接用牛顿-莱布尼茨 公式计算这个积分。 注意到 x x x x x x dt b a b a t b a t ln ln 1 −  = = + ，所以  − = 1 0 ln dx x x x I b a =   =   1 0 1 0 dx x dt dt x dx b t a b a t dt t b x a t  + = + 1 0 1 ) 1 ( ln( 1) ln( 1) 1 1  = + − + + = dt b a t b a 在上述解题过程中，将原来的被积函数 x x x b a ln − 看成某个含参变量 x 的 积分  b a t x dt ，然后交换积分顺序，最后求得原积分的值。 另一个更加重要的问题是如何求含参变量积分的导数。研究这个问题 要比研究连续性与求积分复杂一些。 定理 6.3:假设函数 g(x,t) 以及该函数关于参变量 x 偏导数 x g   都 在区域 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，则 f (x) 在区间 [a,b] 上 可导，并且     =  =     dt x g x t g x t dt dx d f x ( , ) ( ) ( , ) （6.8） 证明：对于任意的 x[a,b] ，假设 x + x[a,b] （作这个假设是 为了使 f (x + x) 有定义），则有 +  − =  +  −  =  +  −       f (x x) f (x) g(x x,t)dt g(x,t)dt [g(x x,t) g(x,t)]dtdt 于是

第四章重积分 f(x+A-/()=1It8(x+Ax, 1)-8(x o) jdr 2g(x+△x,1)-g(x,1) 9) 因为存在,根据微分中值定理,存在介于x和x+Ax之间的点 使得 g(x+Ax, 0-g(x,n) g(5,1) (对于每一个t∈[a,6,5存在,但是一般5与t有关。) 于是由(6.9)式得到 f(x+Ar)-f(x)Bag(s, t) (6.10) 由(6.10)式得到 f(x+△x)-f(x)ag(x,D Ax ardt(=eog(5, 2/-Sg(, D at\ ≤12g52-g(x 由于S在区域D连续,所以一致连续。因此对于任意正数E,存在正 数δ,只要|Axkd,就有(注意|2-xAx|) ag(s, t ag(x,t),a 于是当|△xkd时,有 f(x+△x)-f(x) x,h/s08()ag(x,1) 这说明当Ax→0时,fx十△)-(x)的极限为x2m。从而 d f(x) +l8(x,1)h 注释:(6.8)式说明:对于含参变量所确定的函数求导数时,对于参 变量x求导运算可以与对于自变量t的积分运算交换顺序 例62:计算积分Y、c05x)dx。 解:记/(y)=1(1+ ycosx)dx。则根据定理6.3得到 T'()=In(1+ cos x) dx=5o i coS x d 56(1 y cosx y1+ycosx 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 4 x x f x x f x  =  ( +  ) − ( ) 1  +  −   [g(x x,t) g(x,t)]dt  +  −  =   g x x t g x t dt x [ ( , ) ( , )] 1 （6. 9） 因为 x g   存在，根据微分中值定理，存在介于 x 和 x + x 之间的点  ， 使得 x x g t g x x t g x t    +  − = ( , ) ( , ) ( , )  (对于每一个 t [,  ]， 存在，但是一般  与 t 有关。) 于是由（6.9）式得到 x f x x f x  ( +  ) − ( )    =    dt x g( ,t) （6.10） 由（6.10）式得到， | ( ) ( ) ( , ) |    −  +  −   dt x g x t x f x x f x | ( , ) ( , ) | dt x g x t dt x g t     −   =      dt x g x t x g t    −       | ( , ) ( , ) | 由于 x g   在区域 D 连续，所以一致连续。因此对于任意正数  ，存在正 数  ，只要 | x |  ，就有（注意 | − x || x | ）     −    −   | ( , ) ( , ) | x g x t x g t 于是当 | x |  时，有 | ( ) ( ) ( , ) |    −  +  −   dt x g x t x f x x f x dt x g x t x g t    −       | ( , ) ( , ) |       = −  dt 这说明当 x →0 时， x f x x f x  ( +  ) − ( ) 的极限为      dt x g(x,t) 。从而     =  =     dt x g x t g x t dt dx d f x ( , ) ( ) ( , ) 注释：（6.8）式说明：对于含参变量所确定的函数求导数时，对于参 变量 x 求导运算可以与对于自变量 t 的积分运算交换顺序。 例 6.2：计算积分  +  0 cos ) 2 1 ln(1 x dx 。 解：记 =  +  0 I(y) ln(1 y cos x)dx 。则根据定理 6.3 得到  +  + =    =   0 0 1 cos cos ( ) ln(1 cos ) dx y x x y x dx y I y  +  = + + = −    0 0 1 cos 1 ) 1 cos 1 (1 1 y x dx y y dx y y x

第四章重积分 对于积分5,如 令t=tan,则cos dx 1+ cos x 1+t2 1+ 于是 2 dt=l 1+ cos x (1+y)+(1-y) 1+t 2 arctan 于是 0)=x(1+-1 积分得到 I()=r[ y+h+vI-y 注意到当y=0时 1()=I(y)=lIn(1+cos x)dx=0 所以C=-rhn2。从而 I()=In y+In+vI-v 1-T In 2 因此 JoIn(1+-cos x)dx (-)=丌[hn2+ln 丌ln2=l(2+√3) 在各种问题中经常见到下述形式的含参变量积分: f()=Jaing(x, t )dr (6.11) 有关此类函数的求导运算,有以下定理 定理64:假设函数g(x,)以及关于参变量x偏导数2都在区域 D={(x,y)a≤x≤b,a≤I≤B}连续,又设函数a(x),B(x)的值域都 属于区间[ab]。则f(x)=m(3.(x,)在区间[ab上可导,并且 f( dra(&(x, /dt=(B(xag(x, i d/+/(x, B(x)B(x)-f(x, a(x)a'(x) Sa(x) ax 第五节含参变量的积分

第四章 重积分 第五节 含参变量的积分 5 对于积分  +  0 1 y cos x dx ，令 2 tan x t = ，则 2 2 1 1 cos t t x + − = ， 2 1 2 t dt dx + = 。 于是  +  0 1 y cos x dx  = + + −  = + − + + = + + 0 0 2 2 2 2 (1 ) (1 ) 2 1 1 1 1 2 t y y t dt dt t t y t 2 1 2 ) 1 1 arctan( 1 2 2 0 2   − = + − − = + y t y y y 于是 ) 1 1 1 ( ) ( 2 y y y I y −  = + 积分得到 C y y I y y + + − = + ] 1 1 ( ) [ln ln 2  注意到当 y = 0 时 I( y) = ( ) ln(1 0cos ) 0 0 =  + =  I y x dx 所以 C = − ln 2 。从而 ] ln 2 1 1 ( ) [ln ln 2  −  + − = + y y I y y 因此  +  0 cos ) 2 1 ln(1 x dx ] ln 2 ln( 2 3) 2 1 2 3 1 ) [ln 2 ln 2 1 ( − = + + = I =  +  在各种问题中经常见到下述形式的含参变量积分： =  ( ) ( ) ( ) ( , ) x x f x g x t dt   （6.11） 有关此类函数的求导运算，有以下定理： 定理 6.4：假设函数 g(x,t) 以及关于参变量 x 偏导数 x g   都在区域 D ={( x, y)| a  x  b,  t  } 连续，又设函数 (x),  (x) 的值域都 属于区间 [a,b] 。则 =  ( ) ( ) ( ) ( , ) x x f x g x t dt   在区间 [a,b] 上可导，并且 ( , ( )) ( ) ( , ( )) ( ) ( , ) ( ) ( , ) ( ) ( ) ( ) ( ) dt f x x x f x x x x g x t g x t dt dx d f x x x x x         +  −      =  = (6.12)