清华大学：《微积分》课程教学资源_第四章 二重积的计算习题讨论

第四章重积分 第四章重积分 二重积的计算习题讨论 讨论题目: 1.计算累次积分 2.计算二重积分=-x2-yo 其中D={xy)Mx(x少)≤1 3.求二重积分:=∫d, 2≤ <4 x+ 其中D={(xy 2≤ <4 x 4.求二重积分:I 其中D={xy)x2+y2≤R2} 5.求二重积分: x+ y 6.求三重积分:=「(x+y+zh 其中2={(xy,=) 7.设∫:ΩcR3→R,f∈C"(2),且 A=Max((P),VP∈g|ld川sM,证明 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 第四章 重积分 二重积的计算习题讨论 讨 论 题 目: 1. 计算累次积分     = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin   2. 计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 3. 求二重积分:  = D d x y I  1 , 其中 ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 4. 求二重积分:            −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R . 5. 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I  6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z . 7. 设 f   R → R 3 : ,  () 1 f C , 且 A Max( f (P)) P = , P, grad f  M ,证明：

第四章重积分 1=Ss(,y ,=kv ≤A+M, 其中,V是域Ω的体积。 8.证明;√Ⅵ-a2≤je-≤√zⅥ-e“,a>0 9.若Wx∈f(x)>0,单调减,设 x(.[是y=f(x)在]上曲边梯形的重心x坐标; x(2D]是y=f(x)在上曲边梯形的重心x坐标 证明:x(/p1x(2p 10.若Wx∈[]0<m≤f(x)≤M,证明: dxd≤ 4Mm 参考解答: 1.计算累次积分 解:=「d「S 2.计算二重积分=h x - y ao, 其中D={xy)Ma(x)≤ 解:1=41-x2-y2hy D 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 ( ) M R f x y z dv A V I 4 , , 1 =  +   , 其中， V 是域  的体积。 8. 证明； 2 2 4 2 1 1 a a a x a e dx e    − − − −   −  , a  0 . 9. 若 x0,1, f (x)  0, 单调减, 设 x(f ,0,1) 是 y = f (x) 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; ( ,0,1) 2 x f 是 y f (x) 2 = 在 0,1 上曲边梯形的重心 x 坐标; 证明： ( ,0,1) ( ,0,1) 2 x f  x f 10.若 x0,1, 0  m  f (x)  M , 证明： ( ) ( ) ( ) M m M m dxdy f y f x y x 4 1 2 0 1 0 1 +        . 参 考 解 答: 1. 计算累次积分     = + 4 2 2 2 1 2 2 x x x dy y x dy dx Sin y x I dx Sin   解:   = 2 2 2 1 y y dx y x I dy Sin  =        − 2 1 2 2 2 dy y Cos Cos y    = (  )  2 + 4 2 2. 计算二重积分  = − − D I x y d 2 2 1 , 其中 D = (x, y) Max( x, y )1. 解：  = − − 1 2 2 4 1 D I x y dxdy y y=2 y=x y=x1/2 0 1 2 4 x

第四章重积分 1=VI-x-y dxdy J 2 dv 12=l-x2-y2drdy dx y-1 18 4133(x p=Sin/2 3.求二重积分:/=「1d, 2 4 D={(x 2≤-y 解: sIne 2|d 2 p Cos0 Sine Cos6 Sin Cos日 In(2ige ) d(g0)=hn22 4.求二重积分:I 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论  = − − 1 2 2 1 1 D I x y dxdy =   − − − 2 1 0 2 2 1 0 1 x dx x y dy = ( ) 6 1 4 1 0  2  − =  x dx ;  = − − 2 2 2 2 1 D I x y dxdy =   − + − 1 1 2 2 1 0 2 1 x dx x y dy = ( ) 18 1 ln 1 2 1 2 1 0 2 =         − − +  x dx x x        = −      = − 3 1 3 2 18 1 6 4   I 3. 求二重积分:  = D d x y I  1 , ( )                       +   +  = 2 4 2 4 , 2 2 2 2 x y y x y x D x y . 解：  = D d x y I  1 = =   4 2 1 2 1 4 1 2 2          arctg Sin Sin Cos Sin d d =  4 2 1 2 ln 1 2       arctg d Cos Sin Cos Sin = ln(2 ) ( ) ln 2 1 2 2 4 2 1 =      arctg tg d tg tg 4. 求二重积分:            −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 y 1 D2 D1 0 1 x y =Sin/2 =Sin/4 =Cos/2 0 x =Cos/4

第四章重积分 其中D={xy)x2+y2≤R2 解:考虑极坐标系x=pCo do=pdpde. D=(x,y)x2+y2sR2 ,)(2 af a(p, 0)(y pa(x, y-x/ pa(e, e)a(x)) pae 为:(nO) 因 (x,y)(-x((p,0)(-x Cose -p sine(y PCos p Sine y Sin6Cos日人-x 1(0 0 (-p af -j420m0=-j00,-0.9)=0 5.求二重积分: 解:如图,切点42 D, 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 其中 ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R . 解：考虑极坐标系    = =     y Sin x Cos , d =  d d . ( )  2 2 2 D = x, y x + y  R ( )          −  =          −   + x y x y f y f x x f y x y , 1 1 2 2  = = ( ) ( ) ( ) ( )          −     =         −  x y x y f x y x y f , , , 1 , 1       =    − 1 f 因为： ( ) ( ) ( ) ( )         −           =         −  − x x y y x y x y 1 , , , ,     = =         −         − − x y Sin Cos Cos Sin 1       =         −         − x y Sin Cos Cos Sin        1 . =         − =        − 1 1 0 0              −   + = D d y f x x f y x y I  2 2 1 =     − R d d f       1 =     −     2 0 0 d f d R = ( ( ) ( ))  − − = R f f d 0 0,  0,  0 5. 求二重积分:  +  − − + = 1 2 2 2 2 2 x y x y d x y I  解：如图，切点         2 2 , 2 2 A , y A O1 D1 O x D2

第四章重积分 √2 小园园心O|, 1=Is(x, ,)do=Ido+[irldo D∪D2 21(y)d-J/(xy)=1-l2 1=2/( √2 √2 d-2 3-24l0=16 y do =1-l 6.求三重积分 ∫(xy+h,其中 0≤z≤√1- (x,y,) 重积分习题讨论

第四章 重积分 重积分习题讨论 小园园心         4 2 , 4 2 O1 ; ( ) 2 2 4 2 4 2 4 1 ,         − −         f x y = − x − y ; ( )    = = + 1 2 1 2 , D D D D I f x y d f d f d = ( ) ( )    − 1 1 2 2 , , D D D f x y d f x y d = 1 2 I − I ; ( )  = 1 2 , 1 D I f x y d = =                   + −         − − 1 1 2 2 4 2 4 2 2 2 1 D D d x y d =    +  − + 4 1 2 2 2 2 2 8 u v u v dudv  = 16 2 8 2 1 3       − =   d d ; x y d x y I x y  +        − − + = 1 2 2 2 2 2 2 = (x y )d x y  +  − + 1 2 2 2 2 = = 2 1 3      − = −   d d ;  16 9 I = I 1 − I 2 = 6. 求三重积分: I (x y z)dv   = + + , 其中 ( )              +   − −  = 2 2 2 2 0 1 , , z x y z y z x y z