工程科学学报，第37卷，第7期：955964,2015年7月 Chinese Journal of Engineering,Vol.37,No.7:955-964,July 2015 DOI:10.13374/j.issn2095-9389.2015.07.019:http://journals.ustb.edu.cn 基于分段模糊Lyapunov函数的轮式移动机器人轨迹 跟踪控制 张佳媛四，李洪波》，刘贺平) 1)北京科技大学自动化学院，北京1000832)清华大学计算机科学与技术系，北京100084 ☒通信作者，E-mail:zhangjiayuan(01290129@126.com 摘要研究了具有控制输入约束和外部干扰的轮式移动机器人的轨迹跟踪问题.在轨迹跟踪位姿误差的T$模型和并行 分布补偿框架下，利用分段模糊Lyapunov理论给出了满足控制输入约束的H.控制器设计方法，并证明了闭环系统的稳定 性.仿真结果验证了所提方法的有效性. 关键词移动机器人；轨迹：跟踪：模糊控制：Lyapunov函数 分类号TP242.6 Trajectory tracking control for wheeled mobile robots based on a piecewise fuzzy Lyapunov function ZHANG Jia-yuan,LI Hong-bo,LIU He-ping 1)School of Automation and Electrical Engineering,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Department of Computer Science Technology,Tsinghua University,Beijing 100084,China Corresponding author,E-mail:zhangjiayuan01290129@126.com ABSTRACT A trajectory tracking problem is investigated for wheeled mobile robots with control input constraints and external disturbances.Firstly,the trajectory tracking posture error model is transformed into a T-S fuzzy model.Under this framework and parallel distributed compensation,a design method of constrained H controllers is developed via the piecewise fuzzy Lyapunov func- tion approach,and the stability conditions of the closed-oop system are also derived.Finally,simulation results are given to illustrate the effectiveness of the proposed method. KEY WORDS mobile robots:trajectory:tracking:fuzzy control:Lyapunov function 近年来，轮式移动机器人(wheeled mobile robot, 移动机器人轨迹跟踪控制问题进行研究，通过设计运 WMR)在工业制造、军事航海、采掘、农业、服务业等领动学控制器使机器人达到期望轨迹，其输出的角速度 域得到了日益广泛的应用，操作任务层次和难度的提 和线速度作为动力学控制器的参考输入，从而控制电 高对机器人轨迹跟踪控制能力的要求亦逐渐提高.因 机力矩达到期望值.文献B4)利用反演法设计轨迹 而，轮式移动机器人系统的高度非线性和非完整约束 跟踪控制器.文献5-]则是将自适应控制方法用于 特性的轨迹跟踪控制问题一直是学术界研究的热点问 含有参数不确定性的轮式移动机器人轨迹跟踪控制的 题.针对上述问题，近些来研究学者提出了许多很有研究.此外，智能控制方法也被广泛应用于轨迹跟踪 意义的方法.文献ū-2]利用滑模变控制方法对轮式控制中.例如文献8]和文献9]分别利用神经网络 收稿日期：2014-04-18 基金项目：国家重点基础研究发展计划资助项目(2012CB821206):国家自然科学基金资助项目(61174069)：北京市自然科学基金资助项目 (4122037)
工程科学学报，第 37 卷，第 7 期: 955--964，2015 年 7 月 Chinese Journal of Engineering，Vol． 37，No． 7: 955--964，July 2015 DOI: 10． 13374 /j． issn2095--9389． 2015． 07． 019; http: / /journals． ustb． edu． cn 基于分段模糊 Lyapunov 函数的轮式移动机器人轨迹 跟踪控制 张佳媛1) ，李洪波2) ，刘贺平1) 1) 北京科技大学自动化学院，北京 100083 2) 清华大学计算机科学与技术系，北京 100084 通信作者，E-mail: zhangjiayuan01290129@ 126． com 摘 要 研究了具有控制输入约束和外部干扰的轮式移动机器人的轨迹跟踪问题． 在轨迹跟踪位姿误差的 T-S 模型和并行 分布补偿框架下，利用分段模糊 Lyapunov 理论给出了满足控制输入约束的 H∞ 控制器设计方法，并证明了闭环系统的稳定 性． 仿真结果验证了所提方法的有效性． 关键词 移动机器人; 轨迹; 跟踪; 模糊控制; Lyapunov 函数 分类号 TP242. 6 Trajectory tracking control for wheeled mobile robots based on a piecewise fuzzy Lyapunov function ZHANG Jia-yuan1) ，LI Hong-bo2) ，LIU He-ping1) 1) School of Automation and Electrical Engineering，University of Science and Technology Beijing，Beijing 100083，China 2) Department of Computer Science ＆ Technology，Tsinghua University，Beijing 100084，China Corresponding author，E-mail: zhangjiayuan01290129@ 126． com ABSTＲACT A trajectory tracking problem is investigated for wheeled mobile robots with control input constraints and external disturbances． Firstly，the trajectory tracking posture error model is transformed into a T-S fuzzy model． Under this framework and parallel distributed compensation，a design method of constrained H∞ controllers is developed via the piecewise fuzzy Lyapunov function approach，and the stability conditions of the closed-loop system are also derived． Finally，simulation results are given to illustrate the effectiveness of the proposed method． KEY WOＲDS mobile robots; trajectory; tracking; fuzzy control; Lyapunov function 收稿日期: 2014--04--18 基金项目: 国家重点基础研究发展计划资助项目( 2012CB821206) ; 国家自然科学基金资助项目( 61174069) ; 北京市自然科学基金资助项目 ( 4122037) 近年来，轮式移动机器人( wheeled mobile robot， WMＲ) 在工业制造、军事航海、采掘、农业、服务业等领 域得到了日益广泛的应用，操作任务层次和难度的提 高对机器人轨迹跟踪控制能力的要求亦逐渐提高． 因 而，轮式移动机器人系统的高度非线性和非完整约束 特性的轨迹跟踪控制问题一直是学术界研究的热点问 题． 针对上述问题，近些来研究学者提出了许多很有 意义的方法． 文献［1--2］利用滑模变控制方法对轮式 移动机器人轨迹跟踪控制问题进行研究，通过设计运 动学控制器使机器人达到期望轨迹，其输出的角速度 和线速度作为动力学控制器的参考输入，从而控制电 机力矩达到期望值． 文献［3--4］利用反演法设计轨迹 跟踪控制器． 文献［5--7］则是将自适应控制方法用于 含有参数不确定性的轮式移动机器人轨迹跟踪控制的 研究． 此外，智能控制方法也被广泛应用于轨迹跟踪 控制中． 例如文献［8］和文献［9］分别利用神经网络
·956· 工程科学学报，第37卷，第7期 控制和模糊控制研究轮式移动机器人轨迹跟踪。然 究同时具有控制输入约束与外部干扰的轮式移动机器 而，模糊规则的建立十分棘手，神经网络的在线或离线 人轨迹跟踪控制问题.本文结合运动学的位姿误差推 学习降低系统实时性，因此智能控制方法与其他控制 导轮式移动机器人轨迹跟踪的动力学误差模型，在建 算法相结合日益流行.比如文献0]采用自递归小波 立动力学误差T$模糊模型基础上，利用分段模糊 神经网络算法近似建立含有不确定性和外部扰动的轮 Lyapunov函数方法和并行分布补偿原理研究了具有控 式移动机器人模型，提出了自适应滑模变控制器.文 制力受限特性和外部干扰的移动机器人轨迹跟踪控制 献D1一13]分别将遗传算法、优化算法与模糊控制相 问题，提出了轮式移动机器人轨迹跟踪模糊H_算法， 结合来研究轨迹跟踪控制.上述文献均假定机器人满 并进行稳定性分析.仿真结果表明了所提方法的有效 足非完整约束，然而在实际环境中，轮式移动机器人会 性和可用性 不可避免地产生滑动，从而破坏非完整约束.针对此 1 问题描述 问题，文献04-16]在考虑打滑因素的基础上，对轮式 移动机器人的轨迹跟踪控制问题进行研究.值得注意 本文研究的轮式移动机器人示意图如图1所示， 的是，轮式移动机器人在实际应用中会存在电机输出 其动力学模型可描述如下四： 力矩饱和与外界干扰等问题，从而降低机器人轨迹跟 x=vcos0, 踪的性能.因此，综合考虑轮式移动机器人系统的非 完整约束特性和控制力受限特性的H,控制问题是具 (1) 有重要理论意义和实际价值的重要问题 =Bu, 另一方面，Takagi和Sugeno于1985年提出的TS 模糊控制能够以任意精度逼近任意连续的非线性函 =B2u2 数-，已逐渐成为解决某些非线性问题强有力的工 式中，(x,Y)为机器人质心坐标，v和ω分别为线速度 具.其基本思路是将非线性系统描述为TS模型，在 和角速度，0为v与X轴的夹角，山1=T1+T2和42= 并行分布补偿(parallel distributed compensation,PDC) T1-T2为系统的控制输入，T1和2分别为后驱动轮电 框架下将满足各个子系统的Lyapunov方程中的公共 机提供的驱动力矩.B,=1/bm,B=1/bl,m与I分别为 矩阵P的求解转换为线性矩阵不等式(linear matrix 轮式移动机器人的质量和转动惯量，21和b分别为驱 inequality,LMI)可行解问题，进而利用凸优化技术进 动轮的轴长和半径.值得指出的是，一般情况下电机 行高效求解四.文献20]基于TS模型，利用并行分 存在输出饱和现象，因此控制变量需满足如下约束： 布补偿原理提出了适用于带有执行机构饱和约束与外 |山，|≤4.si=1,2. (2) 部干扰的轮式移动机器人轨迹跟踪控制算法.然而在 其中山，m为轮式移动机器人允许的控制输入山：的最 实际应用中，随着某些模糊系统规则数目和前提变量 大值. 的增多，线性矩阵不等式的求解难度往往会随之变大， 可能会出现无解的情况，此方法的保守性显而易见。 为解决上述问题，分段模糊Lyapunov函数方法1-四将 模糊空间划分为几个模糊子区域，在任意时刻只有一 个模糊子区域被激活，且处于同一区域的前件变量激 活相同的模糊规则，进而可以在每个子区域上求解 Lyapunov函数来大大降低求解难度.近些年来，分段 模糊Lyapunov函数方法已有诸多研究成果，文献23] 利用分段模糊Lyapunov函数方法研究了具有外部扰 图1轮式移动机器人简化示意图 动的T$模糊系统的稳定问题，但所提定理中的不等 Fig.1 Simplified diagrammatic sketch of WMR 式含有未知矩阵变量乘积的非线性项，不便于利用线 性矩阵不等式工具箱直接进行仿真.文献24]则研究 设轮式移动机器人轨迹跟踪系统状态为q=(x, 了TS模糊系统的稳定性分析和保性能控制.然而到 y,6,,a)T,期望轨迹为q.=(x,y.,6.,,w.)T.下面 目前为止，针对同时具有输入约束控制和外部干扰的 利用运动学位姿误差来推导轮式移动机器人轨迹跟踪 T$模糊系统稳定的研究，特别是面向轮式移动机器 的动力学误差微分方程 人轨迹跟踪问题的研究，尚不多见 轨迹跟踪位姿误差坐标如图2，其中(x。,y。,6)是 基于上述分析，本文对文献20]提出的TS模糊 轮式移动机器人的位姿误差.根据文献26]，位姿误 控制方法进行改进，利用分段模糊Lyapunov函数来研 差方程为
工程科学学报，第 37 卷，第 7 期 控制和模糊控制研究轮式移动机器人轨迹跟踪． 然 而，模糊规则的建立十分棘手，神经网络的在线或离线 学习降低系统实时性，因此智能控制方法与其他控制 算法相结合日益流行． 比如文献［10］采用自递归小波 神经网络算法近似建立含有不确定性和外部扰动的轮 式移动机器人模型，提出了自适应滑模变控制器． 文 献［11--13］分别将遗传算法、优化算法与模糊控制相 结合来研究轨迹跟踪控制． 上述文献均假定机器人满 足非完整约束，然而在实际环境中，轮式移动机器人会 不可避免地产生滑动，从而破坏非完整约束． 针对此 问题，文献［14--16］在考虑打滑因素的基础上，对轮式 移动机器人的轨迹跟踪控制问题进行研究． 值得注意 的是，轮式移动机器人在实际应用中会存在电机输出 力矩饱和与外界干扰等问题，从而降低机器人轨迹跟 踪的性能． 因此，综合考虑轮式移动机器人系统的非 完整约束特性和控制力受限特性的 H∞ 控制问题是具 有重要理论意义和实际价值的重要问题． 另一方面，Takagi 和 Sugeno 于 1985 年提出的 T-S 模糊控制能够以任意精度逼近任意连续的非线性函 数［17--18］，已逐渐成为解决某些非线性问题强有力的工 具． 其基本思路是将非线性系统描述为 T-S 模型，在 并行分布补偿( parallel distributed compensation，PDC) 框架下将满足各个子系统的 Lyapunov 方程中的公共 矩阵 P 的求解转换为线性矩阵不等式( linear matrix inequality，LMI) 可行解问题，进而利用凸优化技术进 行高效求解［19］． 文献［20］基于 T-S 模型，利用并行分 布补偿原理提出了适用于带有执行机构饱和约束与外 部干扰的轮式移动机器人轨迹跟踪控制算法． 然而在 实际应用中，随着某些模糊系统规则数目和前提变量 的增多，线性矩阵不等式的求解难度往往会随之变大， 可能会出现无解的情况，此方法的保守性显而易见． 为解决上述问题，分段模糊 Lyapunov 函数方法［21--22］将 模糊空间划分为几个模糊子区域，在任意时刻只有一 个模糊子区域被激活，且处于同一区域的前件变量激 活相同的模糊规则，进而可以在每个子区域上求解 Lyapunov 函数来大大降低求解难度． 近些年来，分段 模糊 Lyapunov 函数方法已有诸多研究成果，文献［23］ 利用分段模糊 Lyapunov 函数方法研究了具有外部扰 动的 T-S 模糊系统的稳定问题，但所提定理中的不等 式含有未知矩阵变量乘积的非线性项，不便于利用线 性矩阵不等式工具箱直接进行仿真． 文献［24］则研究 了 T-S 模糊系统的稳定性分析和保性能控制． 然而到 目前为止，针对同时具有输入约束控制和外部干扰的 T-S 模糊系统稳定的研究，特别是面向轮式移动机器 人轨迹跟踪问题的研究，尚不多见． 基于上述分析，本文对文献［20］提出的 T-S 模糊 控制方法进行改进，利用分段模糊 Lyapunov 函数来研 究同时具有控制输入约束与外部干扰的轮式移动机器 人轨迹跟踪控制问题． 本文结合运动学的位姿误差推 导轮式移动机器人轨迹跟踪的动力学误差模型，在建 立动力学误差 T-S 模糊模型基础上，利 用 分 段 模 糊 Lyapunov 函数方法和并行分布补偿原理研究了具有控 制力受限特性和外部干扰的移动机器人轨迹跟踪控制 问题，提出了轮式移动机器人轨迹跟踪模糊 H∞ 算法， 并进行稳定性分析． 仿真结果表明了所提方法的有效 性和可用性． 1 问题描述 本文研究的轮式移动机器人示意图如图 1 所示， 其动力学模型可描述如下［25］: x · = vcosθ， y · = vsinθ， θ · = ω， v · = β1 u1， ω · = β2 u2 ． ( 1) 式中，( x，y) 为机器人质心坐标，v 和 ω 分别为线速度 和角速度，θ 为 v 与 X 轴的夹角，u1 = τ1 + τ2 和u2 = τ1 － τ2为系统的控制输入，τ1 和 τ2 分别为后驱动轮电 机提供的驱动力矩． β1 = 1 / bm，β2 = l / bI，m 与 I 分别为 轮式移动机器人的质量和转动惯量，2l 和 b 分别为驱 动轮的轴长和半径． 值得指出的是，一般情况下电机 存在输出饱和现象，因此控制变量需满足如下约束: | ui | ≤ui，max，i = 1，2． ( 2) 其中 ui，max为轮式移动机器人允许的控制输入 ui 的最 大值． 图 1 轮式移动机器人简化示意图 Fig． 1 Simplified diagrammatic sketch of WMＲ 设轮式移动机器人轨迹跟踪系统状态为 q = ( x， y，θ，v，ω) T ，期望轨迹为 qr = ( xr，yr，θr，vr，ωr ) T ． 下面 利用运动学位姿误差来推导轮式移动机器人轨迹跟踪 的动力学误差微分方程． 轨迹跟踪位姿误差坐标如图 2，其中( xe，ye，θe ) 是 轮式移动机器人的位姿误差． 根据文献［26］，位姿误 差方程为 · 659 ·
张佳媛等：基于分段模糊Lyapunov函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 ·957· (7) 根据泰勒公式可知 (u,sin0e）=,sin0。|。o+(u,sin6）a-0~6。=,0e (8) 将式(8)带入式(7)，并在x。=y。=0.=0处线性化，整 理得 (9) 图2轮式移动机器人轨迹跟踪位姿误差坐标 Fig.2 Trajectory tracking posture error coordinate of WMR 结合式(4)、式(5)和式(6)，令 rie=立1+B301, ,x。=y0-D+D,C0s0。, (10) j。=-xew+,sin, (3) on=d2-B402 其中 0=w.-0. i1=-B,山1+B1h.cos0。-t,sin6， (11) 同时，i。=i,-i=B1u1-B1山1=Bu1o。=0,-ù= B2u2-B22=B2u2·则该系统具有外部干扰的动力学 2=-β2u2 (12) 误差微分方程为 将式(9)、式(10)带入式(4)，则轮式移动机器人轨迹 跟踪系统的动力学误差状态方程可转换为 元.=y.w-D+"Cos6。, e=A(t)e+B ir+B,w(t). (13) y.=-xw+v,sine., 其中，e=(x。y6。tew)T为误差状态变量，t=(, 0。=0-w, (4) 立，)T为控制变量，w()的定义同式(4)，且 D。=B1u1+B3101 0 0.01 0 00 w。=B2u2+B,02· -0,0v,00 00 式中，B,=1/m,B,=1/几，w()=(w,w2)T为加在控制 A(t)= 0 0001 B= 00 B2= 输入变量的外部干扰. 0 0000 10 本文旨在研究上述轨迹跟踪误差系统（式(4）)， 0 0000 01 利用分段模糊Lyapunov函数方法和并行分布补偿原 0 0 理设计状态反馈控制器，使其跟踪给定的参考轨迹，并 0 且满足H,性能约束和控制输入约束 0 0 考虑到电机的输出饱和现象，控制变量 2主要结果 B 0 0 -B 2.1轮式移动机器人动力学误差模型 需满足如下约束： 在式(4)中，若x.和0.先于y。趋于0，则y。=0, 1i|≤立msj=1,2. (14) 当y。很大时，系统会不稳定。鉴于此，作如下定义： q=qr+qn=(v,cos00,)T+(v0)T.(5) 其中，心.是系统式(13)所允许的控制输入心的最大值. 2.2基于分段模糊Lyapunov函数的TS模型 其中，9=（知o),q。=(m.a),9:=(,cos0.o,)T为 本节讨论的是利用分段模糊Lyapunov函数建立 假设的中间变量，其期望值为9=(。w)T=(0 系统TS模型的问题.考虑具有外部输入扰动的非线 0)T,令q为qa和期望值9的差值， 性系统，可由有限个IF-THEN规则描述： 9e=9-9B=(Dw）T=（-U。-w)T.(6) R:F专(t）isMi,…,and忘n(t)isM 结合式(4)、式(5)和式(6)可知 THEN(t）=A,(i)x(t）+B:u(t）+B2w(t）, 0 0 0x. y(）=C(t)x(t), 00x x(0)=x。i=1,2,…,z 0 00八 (15)
张佳媛等: 基于分段模糊 Lyapunov 函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 图 2 轮式移动机器人轨迹跟踪位姿误差坐标 Fig． 2 Trajectory tracking posture error coordinate of WMＲ x · e = yeω － v + vrcosθe， y · e = － xeω + vrsinθe， θ · e = ωr － ω { ． ( 3) 同时，v · e = v · r － v · = β1 ur1 － β1 u1 = β1 ue1，ω · e = ω · r － ω · = β2 ur2 － β2 u2 = β2 ue2 ． 则该系统具有外部干扰的动力学 误差微分方程为 x · e = yeω － v + vrcosθe， y · e = － xeω + vrsinθe， θ · e = ωr － ω， v · e = β1 ue1 + β3w1， ω · e = β2 ue2 + β4w2 ． ( 4) 式中，β3 = 1 /m，β4 = 1 / I，w( t) = ( w1 w2 ) T 为加在控制 输入变量的外部干扰． 本文旨在研究上述轨迹跟踪误差系统( 式( 4) ) ， 利用分段模糊 Lyapunov 函数方法和并行分布补偿原 理设计状态反馈控制器，使其跟踪给定的参考轨迹，并 且满足 H∞ 性能约束和控制输入约束． 2 主要结果 2. 1 轮式移动机器人动力学误差模型 在式( 4) 中，若 xe 和 θe 先于 ye 趋于 0，则 y · e = 0， 当 ye 很大时，系统会不稳定． 鉴于此，作如下定义［27］: q = qF + qB = ( vrcosθeωr ) T + ( vcωc ) T ． ( 5) 其中，q = ( v ω) T ，qB = ( vc ωc ) T ，qF = ( vrcosθe ωr ) T 为 假设的 中 间 变 量，其 期 望 值 为 qBr = ( vcr ωcr ) T = ( 0 0) T ，令 qBe为 qB 和期望值 qBr的差值， qBe = qBr － qB = ( vceωce ) T = ( － vc － ωc ) T ． ( 6) 结合式( 4) 、式( 5) 和式( 6) 可知 x · e y · e θ · e = 0 ωr 0 － ωr 0 0 0 0 0 xe ye θ e + － 1 ye 0 － xe 0 － 1 vc ω( ) c + 0 vrsinθe 0 ． ( 7) 根据泰勒公式可知 ( vrsinθe ) = vrsinθe θe = 0 + ( vrsinθe ) ' θe = 0·θe = vr ·θe ． ( 8) 将式( 8) 带入式( 7) ，并在 xe = ye = θe = 0 处线性化，整 理得 x · e y · e θ · e = 0 ωr 0 － ωr 0 vr 0 0 0 xe ye θ e + 1 0 0 0 0 1 vce ω( ) ce ． ( 9) 结合式( 4) 、式( 5) 和式( 6) ，令 v · ce = u槇1 + β3w1， ω · ce = u槇2 － β4w2 { ． ( 10) 其中 u槇1 = － β1 u1 + β1 u1rcosθe － vrωce sinθe， ( 11) u槇2 = － β2 ue2 ． ( 12) 将式( 9) 、式( 10) 带入式( 4) ，则轮式移动机器人轨迹 跟踪系统的动力学误差状态方程可转换为 e · = A( t) e + B1u槇 + B2w( t) ． ( 13) 其中，e = ( xe ye θe vce ωce ) T 为误差状态变量，u槇 = ( u槇1 u槇2 ) T 为控制变量，w( t) 的定义同式( 4) ，且 A( t ) = 0 ωr 0 1 0 － ωr 0 vr 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ，B1 = 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 ，B2 = 0 0 0 0 0 0 β3 0 0 － β 4 ． 考虑到电机的输出饱和现象，控制变量 需满足如下约束: | u槇j | ≤u槇j，max，j = 1，2． ( 14) 其中，u槇j，max是系统式( 13) 所允许的控制输入 u槇j 的最大值． 2. 2 基于分段模糊 Lyapunov 函数的 T-S 模型 本节讨论的是利用分段模糊 Lyapunov 函数建立 系统 T-S 模型的问题． 考虑具有外部输入扰动的非线 性系统，可由有限个 IF-THEN 规则描述: Ｒi : IF ξ1 ( t) is Mi 1，…，and ξq ( t) is Mi q THEN x ·( t) = Ai ( t) x( t) + B1iu( t) + B2iw( t) ， y( t) = Ci ( t) x( t) ， x( 0) = x0，i = 1，2，…，z ( 15) · 759 ·
·958· 工程科学学报，第37卷，第7期 其中：R表示第i个模糊控制规则，z是F-THEN规则 闭环系统的形式可描述如下： 的个数，M是模糊集合，x(d)∈R”为状态变量，u(t)∈R" 是控制输入变量，w(t)eR”是外部干扰，y(t)eR“为 e∑hmu (21) 系统性能输出，(t)∈R是前件变量，假设(t)和 x(t)= y()均不依赖于控制输入变量，x。是系统初始向量， hn (g)hu(g)[(Ar+BuKu)x(t)+Bznw (t)] A、B:、B,:和C:是维数适当的常量.同时，每个子系统 需满足如下控制约束： (22) 14(）1≤4.寸j=1,2,…,m. (16) y0=名，8c0 (23) 4.为系统所允许的第j个控制输入山，()的最大值 式中，A:、BB和C:是各个模糊子区域内维数适当 在时刻，TS模糊系统的总输出为 的常量矩阵.在时刻，整个模糊区域内有 ()h.([A.(x()+B()+B(]. [x()= 言Ag合合A.因〖A,+ y(d= ∑A,(E)C,()x). BKa)x(t）+Bw()], (17) y(= 三A,0= 式中，h,()=凸 三4图 49=直M,》为 会A份名，图Cx0. (24) 专属于模糊集合M的隶属度.且4，()和h,()具有以 其中： 下性质≥0.合4>0：A)≥0，豆A,9=1 入，()={ l,专eS: 0,否则. 针对T$模糊模型的每个子系统，均设计一个如 下的并行分布补偿控制器： 三A因1 C:IFs(t）is,…,and专，(t）isM, 2.3满足控制约束的H.控制器的设计 THEN(）=Kx(）,i=1,2,…,z(18) 本节针对式(24)描述的模糊闭环系统，设计并行 其模糊集合与式(15)一致，K,∈Rx是一个常反馈增 分布补偿控制器，使闭环系统渐近稳定并且满足控制 益矩阵，那么整个控制器的输出可以表示为 约束式和H.性能约束.假设闭环系统式(24)的分段 u()=∑h,(Ku() 模糊Lyapunov函数为 (19) 台 V(x()=∑，(E)V(x(d). (25) 若保证由式(17)和式(19)组成的闭环控制系统渐近 稳定，需存在矩阵P>0,使其满足 其中：V,(x()= NP+PNn≤0，l1≤i≤j≤r. (20) ∑：()xr()Pr()是第i个子 其中，N=[A,+BK)T+(A+BK)]/2 区域的模糊Lyapunov函数：Pa是正定对称矩阵，l≤l≤ fl≤i≤G. 然而，式(20)存在着很大的保守性.因为在实际 引理对于任意适维向量x、y和矩阵Y,若矩阵 应用中，系统往往存在高度非线性和复杂性，规则数目 R正定，则 和前件变量会增加，那么公共矩阵P存在的可能性极 x'Yx+yYxsx'YR-Yx+y Ry (26) 小.为解决上述问题，本文采用分段模糊Lyapunov函 定理对于模糊闭环控制系统式(24)，给定标量 数的方法. 在任意时刻进行并行分布补偿控制器设计时，为 y>0、中和h()可导，且1h()I≤中，其中假设干 降低求解难度，只需考虑由前件变量(）∈R激活的 扰的能量是有界的，且‖w(）‖≤wa若存在矩阵 X>0和矩阵M(1≤j,l≤∫，1≤i≤r)满足下列矩阵 2条规则.鉴于此，根据处于同一区域的前件变量将 不等式 激活相同的2”条模糊规则的原则，将整个前件变量空 间化分为几个模糊子区域.因此，任意时刻只有一个 Ψ B2u X.CE X 模糊子区域被激活.令S:表示第i个模糊子区域，G B -yl 0 0 CiX 0 -yl 0 <0, 和∫分别为模糊子区域数和每个子区域中激活的规则 数，l表示第i个区域内的规则数，h()表示S:中激 X 0 0 活规则的隶属度，则在S内，并行分布补偿控制器和
工程科学学报，第 37 卷，第 7 期 其中: Ｒi 表示第 i 个模糊控制规则，z 是 IF-THEN 规则 的个数，Mi j 是模糊集合，x( t) ∈Ｒn 为状态变量，u( t) ∈Ｒm 是控制输入变量，w( t) ∈Ｒp 是外部干扰，y( t) ∈Ｒn1 为 系统性能输出，ξ ( t) ∈Ｒq 是前件变量，假设 ξ( t) 和 y( t) 均不依赖于控制输入变量，x0 是系统初始向量， Ai、B1i、B2i和 Ci 是维数适当的常量． 同时，每个子系统 需满足如下控制约束: | uj ( t) | ≤uj，max，j = 1，2，…，m． ( 16) uj，max为系统所允许的第 j 个控制输入 uj ( t) 的最大值． 在时刻 t，T-S 模糊系统的总输出为 x ·( t) = ∑ z i = 1 hi ( ξ) ［Ai ( t) x( t) + B1iu( t) + B2iw( t) ］， y( t) = ∑ z i = 1 hi ( ξ) Ci ( t) x( t) { ． ( 17) 式中，hi ( ξ) = μi ( ξ) ∑ r i = 1 μi ( ξ) ，μi ( ξ) = ∏ q j = 1 Mi j( ξj ) ，Mi j ( ξj) 为 ξj 属于模糊集合 Mi j 的隶属度． 且 μi ( ξ) 和 hi ( ξ) 具有以 下性质: μi≥0，∑ z i = 1 μi ＞ 0; hi ( ξ) ≥0，∑ z i = 1 hi ( ξ) = 1． 针对 T-S 模糊模型的每个子系统，均设计一个如 下的并行分布补偿控制器: Ci : IF ξ1 ( t) is Mi 1，…，and ξq ( t) is Mi q THEN u( t) = Kix( t) ，i = 1，2，…，z ( 18) 其模糊集合与式( 15) 一致，Ki∈Ｒm × n 是一个常反馈增 益矩阵，那么整个控制器的输出可以表示为 u( t) = ∑ z i = 1 hi ( ξ) Kiu( t) ． ( 19) 若保证由式( 17) 和式( 19) 组成的闭环控制系统渐近 稳定，需存在矩阵 P ＞ 0，使其满足 NT ijP + PNij≤0，1≤i≤j≤r． ( 20) 其中，Nij = ［( Ai + B1iKj ) T + ( Aj + B1j Ki ) ］/2． 然而，式( 20) 存在着很大的保守性． 因为在实际 应用中，系统往往存在高度非线性和复杂性，规则数目 和前件变量会增加，那么公共矩阵 P 存在的可能性极 小． 为解决上述问题，本文采用分段模糊 Lyapunov 函 数的方法． 在任意时刻进行并行分布补偿控制器设计时，为 降低求解难度，只需考虑由前件变量 ξ( t) ∈Ｒq 激活的 2q 条规则． 鉴于此，根据处于同一区域的前件变量将 激活相同的 2q 条模糊规则的原则，将整个前件变量空 间化分为几个模糊子区域． 因此，任意时刻只有一个 模糊子区域被激活． 令 Si 表示第 i 个模糊子区域，G 和 f 分别为模糊子区域数和每个子区域中激活的规则 数，l 表示第 i 个区域内的规则数，hli ( ξ) 表示 Si 中激 活规则的隶属度，则在 Si 内，并行分布补偿控制器和 闭环系统的形式可描述如下: ui ( t) = ∑ f i = 1 hli ( ξ) Klix( t) ， ( 21) x ·( t) = ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) ［( Ali + B1liKki ) x( t) + B2liw( t) ］， ( 22) yi ( t) = ∑ f l = 1 hli ( ξ) Clix( t) ． ( 23) 式中，Ali、B1li、B2li和 Cli是各个模糊子区域内维数适当 的常量矩阵． 在时刻 t，整个模糊区域内有 x ·( t) = ∑ G i = 1 λi ( ξ) ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) ［( Ali + B1liKki ) x( t) + B2liw( t) ］， y( t) = ∑ G i = 1 λi ( ξ) yi ( t) = ∑ G i = 1 λi ( ξ) ∑ f l = 1 hli ( ξ) Clix( t) ． ( 24) 其中: λi ( ξ) = 1， ξ∈Si ; {0， 否则． ∑ G i = 1 λi ( ξ) = 1． 2. 3 满足控制约束的 H∞ 控制器的设计 本节针对式( 24) 描述的模糊闭环系统，设计并行 分布补偿控制器，使闭环系统渐近稳定并且满足控制 约束式和 H∞ 性能约束． 假设闭环系统式( 24) 的分段 模糊 Lyapunov 函数为 V( x( t) ) = ∑ G i = 1 λi ( ξ) Vi ( x( t) ) ． ( 25) 其中: Vi ( x( t) ) = ∑ f l = 1 hli ( ξ) xT ( t) Pli x( t) 是第 i 个子 区域的模糊 Lyapunov 函数; Pli是正定对称矩阵，1≤l≤ f，1≤i≤G． 引理 对于任意适维向量 x、y 和矩阵 Y，若矩阵 Ｒ 正定，则 xT Yx + yT YT x≤xT YＲ － 1YT x + yT Ｒy． ( 26) 定理 对于模糊闭环控制系统式( 24) ，给定标量 γ ＞ 0、ρi和 hρi ( ξ) 可导，且 | h · ρi ( ξ) | ≤ρi，其中假设干 扰的能量是有界的，且‖w( t) ‖2 2≤wmax ． 若存在矩阵 Xji ＞ 0 和矩阵 Mlji ( 1≤j，l≤f，1≤i≤r) 满足下列矩阵 不等式 Ψjlli B2li XjiCT li Xji BT 2li － γI 0 0 CliXji 0 － γI 0 Xji 0 0 － ∑ f ρ = 1 ρiXρ i ＜ 0， · 859 ·
张佳媛等：基于分段模糊Lyapunov函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 959 i=1,2,…,Gj,l=1,2,…f (27) 「曲 2BwX证 X B -yl 0 √2B -yl 0 0 0 -Yl <0 三X0 -yl 0 (X00)<0. X 0 0 -2X i=1,2,…,Gj=1,2,…f:1≤k<l≤f (28) 整理得 Ψ+ E X.CI >0 Bi -yl <0.(33) X 0 CX 0 -yI s=1,2,…,m:i=1,2,…G:l,k,j=1,2,…,(29) 则系统式(24)全局渐近稳定，同时满足H.性能约束 所以平西+ 名，X,<0,整理可得 L上<y和约束控制式 1,8咒1e-1w2 三B+mH0 (34) 1u.(t）1≤u,s=1,2,,m. (30) 同理，对式(28)应用Schur引理可知 其中，e,为空间R"的第s个标准向量基，a:=yw+ V(x(0),X2=P,三=(CCa+CC)n,M际= 「m+2∑中XXX2万BwX三 KX,Ψ=X元A话+AaX元+MB五+B1GM际，Tm= <0 2Bi -yl 0 XA+AaX元+X元A后+AuXe+M标Bi+B1wM+ 三仙X 0 -yl MrBig +BuM (35) 则反馈增益矩阵为K。=MX. 证明： 所以T+2∑中XXX<0,整理可得 (1)稳定性证明. 令w(t)=0,结合式(25)，考虑Lyapunov函数 2套+m++m+)<0 V(x(t)),其导数为 (36) (x())= h(( 且h(（)≥0，h.()≥0，hu()≥0，结合式(32)、 式(34)和式(36)，可得当定理中的条件满足时， 名ag0Pr0+0P0].aU (x())<0,即系统在其各个模糊子区域上渐近稳 将式(22)带入式(31)，整理可得 定.进而根据式(25)，可知(x(t))<0,所以闭环系 0)=会.r0r0+ 统式(24)全局渐近稳定. (2)H.性能约束证明. 会马，{合会A.因.0r0A.+ 在零初始条件下，令 Ji,(x()+)y.()-yw()w().(37) BK)Px()+x()P.(A.+BK)x(] 当w()≠0时，由式(22)带入式(31)并整理可得 令Hm=Ai+B1Ka,由Ih(E)I≤中可得 x≤会会与ggro(会P.+ x0）=名.groP0+ 点名会，gh:gh.日FoH+ +P,A)r]小+名会合 P.Hn)x(t)+wBiPx (t)+x(t)P B2nw (] ,gh,A.e{r@P.P+ 考虑到Ih()I≤中，同时应用引理，且令R=y, (H+)'P,+P.(H+H)x().(32) )≤名0Pr0+名名点，9 对式(27)应用Schur引理可知 h (g)h(g)x (t)(P +P,H)x(t)+
张佳媛等: 基于分段模糊 Lyapunov 函数的轮式移动机器人轨迹跟踪控制 i = 1，2，…，G; j，l = 1，2，…，f． ( 27) Γjlki 槡2B2li XjiΞT lki Xji 槡2BT 2li － γI 0 0 ΞlkiXji 0 － γI 0 Xji 0 0 － 2∑ f ρ = 1ρiXρ i ＜ 0， i = 1，2，…，G; j = 1，2，…，f; 1≤k ＜ l≤f． ( 28) u2 i，s，max αi eT s ( Mlji + Mkji 槡 ) ( 2 Mlji + Mkji 槡 ) 2 T es X ji ＞ 0， s = 1，2，…，m; i = 1，2，…G; l，k，j = 1，2，…，f． ( 29) 则系统式( 24) 全局渐近稳定，同时满足 H∞ 性能约束 sup ‖w‖2≠0，‖w‖2 ＜ ∞ ‖y‖2 ‖w‖2 ＜ γ 和约束控制式 | ui，s ( t) | ≤ui，s，max，s = 1，2，…，m． ( 30) 其中，es 为空间 Ｒm 的第 s 个标准向量基，αi = γwmax + Vi ( x ( 0) ) ，Xji = P － 1 ji ，Ξlki = ( CT li Cki + CT ki Cli ) 1 /2 ，Mlji = KliXji，Ψjlli = Xji AT li + Ali Xji + MT lji BT 1li + B1li Mlji，Γjlki = XjiAT li + Ali Xji + Xji AT ki + Aki Xji + MT kji BT 1li + B1liMkji + MT ljiBT 1ki + B1kiMlji ． 则反馈增益矩阵为 Kli = MljiX － 1 ji ． 证明: ( 1) 稳定性证明． 令 w( t) = 0，结 合 式 ( 25 ) ，考虑 Lyapunov 函 数 Vi ( x( t) ) ，其导数为 V · i ( x( t) ) = ∑ f ρ = 1 h · ρi ( ξ) xT ( t) Pρix( t) + ∑ f l = 1 hli ( ξ) ［x ·T ( t) Plix( t) + xT ( t) Plix ·( t) ］． ( 31) 将式( 22) 带入式( 31) ，整理可得 V · i ( x( t) ) = ∑ f ρ = 1 h · ρi ( ξ) xT ( t) Pρix( t) + ∑ f j = 1 hji ( ξ) { ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hli ( ξ) hki ( ξ) ［xT ( t) ( Ali + B1liKki ) T Pjix( t) + xT ( t) Pji ( Ali + B1liKki ) x( t) ］} ． 令 Hlki = Ali + B1liKki，由| h · ρi ( ξ) | ≤ρi可得 V · i ( x( t) ) ≤ ∑ f j =1 ∑ f l =1 hji ( ξ) h2 li ( ξ [ ) xT ( t ( ) ∑ f ρ =1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli ) x( t ] ) + ∑ f j = 1 ∑ f k = 1 ∑ f k ＜ l hji ( ξ) hli ( ξ) hki ( ξ) { xT ( t [ ) 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ] ) x( t) } ． ( 32) 对式( 27) 应用 Schur 引理可知 Ψjlli B2li XjiCT li BT 2li － γI 0 CliXji 0 － γ I － Xji 0 ( 0 － ∑ f ρ = 1 ρiXρi ) － 1 ( Xji 0 0) ＜ 0． 整理得 Ψjlli + ∑ f ρ = 1 ρiXjiX－1 ρi Xji B2li XjiCT li BT 2li － γI 0 CliXji 0 － γ I ＜ 0． ( 33) 所以 Ψjlli + ∑ f ρ = 1 ρiXjiX － 1 ρi Xji ＜ 0，整理可得 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + HT lliPji + PjiHlli ＜ 0． ( 34) 同理，对式( 28) 应用 Schur 引理可知 Γjlki + 2∑ f ρ = 1 ρiXjiX－1 ρi Xji 槡2B2li XjiΞT lki 槡2BT 2li － γI 0 ΞlkiXji 0 － γ I ＜ 0． ( 35) 所以 Γjlki + 2 ∑ f ρ = 1 ρiXjiX － 1 ρi Xji ＜ 0，整理可得 2 ∑ f ρ = 1 ρiPρi + ( Hlki + Hkli ) T Pji + Pji ( Hlki + Hkli ) ＜ 0． ( 36) 且 hji ( ξ) ≥0，hli ( ξ) ≥0，hki ( ξ) ≥0，结合 式 ( 32 ) 、 式( 34) 和 式 ( 36 ) ，可 得 当 定 理 中 的 条 件 满 足 时， V · i ( x( t) ) ＜ 0，即系统在其各个模糊子区域上渐近稳 定． 进而根据式( 25) ，可知 V · ( x( t) ) ＜ 0，所以闭环系 统式( 24) 全局渐近稳定． ( 2) H∞ 性能约束证明． 在零初始条件下，令 J V · i ( x( t) ) + 1 γ yT i ( t) yi ( t) － γwT ( t) w( t) ． ( 37) 当 w( t) ≠0 时，由式( 22) 带入式( 31) 并整理可得 V · i ( x( t) ) = ∑ f ρ = 1 h · ρi ( ξ) xT ( t) Pρix( t) + ∑ f j = 1 ∑ f l = 1 ∑ f k = 1 hji ( ξ) hli ( ξ) hki ( ξ) ［xT ( t) ( HT lkiPji + PjiHlki ) x( t) + wT BT 2liPjix( t) + xT ( t) PjiB2liw( t) ］． 考虑到| h · ρi ( ξ) | ≤ρi，同时应用引理，且令 Ｒ = γ， V · ( x( t) ) ≤ ∑ f ρ = 1 ρixT ( t) Pρix( t) + ∑ f j = 1 ∑ f k = 1 ∑ f l = 1 hji ( ξ)· hli ( ξ) hki ( ξ [ ) xT ( t) ( HT lkiPji + PjiHlki ) x( t) + · 959 ·