D0I:10.13374/1.issm100103.2008.02.005 第30卷第2期 北京科技大学学报 Vol.30 No.2 2008年2月 Journal of University of Science and Technology Beijing Feb.2008 应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力 能参数 董永刚) 张文志)宋剑锋 1)燕山大学机械工程学院，素皇岛0660042)哈尔滨工业大学机电学院，哈尔滨150001 摘要为了简化钢轨万能轧制过程的三维几何模型，首先把带箱形孔型立辊简化为等效的平辊，然后分别给出轨腰、轨头 及轨基的运动学许可速度场，求出在此速度场下相应变形区的塑性变形功率以及速度间断面上消耗的功率，计算中考虑了由 于前滑和后滑而产生的摩擦功率。根据刚塑性体的变分原理求解水平辊和两个立辊轧制力和轧制力矩的近似解。通过比较 理论值和实验值可知，利用变分原理求出的力能参数近似解稍大于实验值但最大误差不超过20%，因此根据变分原理进行力 能参数计算和轧制工艺参数设定及优化是比较可靠的， 关键词钢轨；钢轨轧制；速度场：轧制力：轧制力矩：变分原理 分类号TG335.4+4 Application of the variation principle for calculating the force-energy parameters of rail rolling by a universal mill DONG Yonggang),ZHA NG Wenzhi).SONG Jianfeng2) 1)College of Mechanical Engineering.Yanshan University,Qinhuangdao 066004.China 2)College of Eletromechanical Engincering.Harbin Institute of Technology.Harbin 150001.China ABSTRACI In order to simplify the three-dimensional geometrical model of rail rolling by a universal mill.the vertical roll with box pass was simplified as an equivalent flat roll firstly.Then the kinematically admissible velocity fields of the web.head and base of a rail were determined.Based on these velocity fields,the plastic deformation power.the powers consumed on the velocity discontinuity surface and the powers generated for backward slip and forward slip were calculated.According to the variation principle,the roll forces of a horizontal roll and two vertical rolls were obtained.Compared with experimental data,the values of roll force from the up- per-bound method are somew hat greater than experimental data but do not exceed them by 20%in general.The method with the variation principle is reliable and feasible to preset and optimize the parameters of rolling technology. KEY WORDS rail:rail rolling:velocity field:roll force:roll torque:variation principle 自从20世纪70年代以来，万能轧制方法被普 代传统的生产方法门，由于万能法生产钢轨和H 遍用于H型钢轧制，因此各国学者对万能法轧制H 型钢有一定的类似性，所以H型钢的某些理论研究 型钢进行了系统深入的理论研究，近年来，数值模 结果可以作为钢轨轧制过程理论研究的重要参考和 拟方法如有限元法也被广泛用于H型钢轧制过程 借鉴[8-13] 的研究3].尽管万能轧制方法用于钢轨轧制也有 近30年的历史，但是目前重轨轧制过程的研究主要 1万能轧机 依靠有限元软件进行数值模拟及实验来完成[]， 万能轧机包括四个轧辊，两个水平辊为主动辊， 理论研究不够深入和细致，用万能法轧制高质量高 两个立辊为从动辊（图1）·两个水平辊尺寸完全一 精度钢轨现在已经成为一种趋势和潮流，并逐渐取 样，但是两个立辊的形状差别比较大，轧制轨基的 收稿日期：2006-12-20修回日期：2007-02-18 立辊是平辊，而轧制轨头的立辊表面加工有箱形孔· 作者简介：董永刚(1974一)，男，讲师，博士研究生：张文志 万能法轧制钢轨时，轧件上下对称，以上半部分轧件 (1942-),男，教授，博士生导师 为研究对象建立三维模型（图2），此模型具有如下
应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力 能参数 董永刚1） 张文志1） 宋剑锋2） 1） 燕山大学机械工程学院秦皇岛066004 2） 哈尔滨工业大学机电学院哈尔滨150001 摘 要 为了简化钢轨万能轧制过程的三维几何模型首先把带箱形孔型立辊简化为等效的平辊然后分别给出轨腰、轨头 及轨基的运动学许可速度场求出在此速度场下相应变形区的塑性变形功率以及速度间断面上消耗的功率计算中考虑了由 于前滑和后滑而产生的摩擦功率．根据刚塑性体的变分原理求解水平辊和两个立辊轧制力和轧制力矩的近似解．通过比较 理论值和实验值可知利用变分原理求出的力能参数近似解稍大于实验值但最大误差不超过20％因此根据变分原理进行力 能参数计算和轧制工艺参数设定及优化是比较可靠的． 关键词 钢轨；钢轨轧制；速度场；轧制力；轧制力矩；变分原理 分类号 TG335∙4＋4 Application of the variation principle for calculating the force-energy parameters of rail rolling by a universal mill DONG Yonggang 1）ZHA NG Wenz hi 1）SONG Jianfeng 2） 1） College of Mechanical EngineeringYanshan UniversityQinhuangdao066004China 2） College of Eletromechanical EngineeringHarbin Institute of TechnologyHarbin150001China ABSTRACT In order to simplify the three-dimensional geometrical model of rail rolling by a universal millthe vertical roll with box pass was simplified as an equivalent flat roll firstly．T hen the kinematically admissible velocity fields of the webhead and base of a rail were determined．Based on these velocity fieldsthe plastic deformation powerthe powers consumed on the velocity discontinuity surface and the powers generated for backward slip and forward slip were calculated．According to the variation principlethe roll forces of a horizontal roll and two vertical rolls were obtained．Compared with experimental datathe values of roll force from the upper-bound method are somewhat greater than experimental data but do not exceed them by 20％ in general．T he method with the variation principle is reliable and feasible to preset and optimize the parameters of rolling technology． KEY WORDS rail；rail rolling；velocity field；roll force；roll torque；variation principle 收稿日期：2006-12-20 修回日期：2007-02-18 作者 简 介：董 永 刚 （1974—）男讲 师博 士 研 究 生；张 文 志 （1942—）男教授博士生导师 自从20世纪70年代以来万能轧制方法被普 遍用于 H 型钢轧制因此各国学者对万能法轧制 H 型钢进行了系统深入的理论研究．近年来数值模 拟方法如有限元法也被广泛用于 H 型钢轧制过程 的研究［1—3］．尽管万能轧制方法用于钢轨轧制也有 近30年的历史但是目前重轨轧制过程的研究主要 依靠有限元软件进行数值模拟及实验来完成［4—6］ 理论研究不够深入和细致．用万能法轧制高质量高 精度钢轨现在已经成为一种趋势和潮流并逐渐取 代传统的生产方法［7］．由于万能法生产钢轨和 H 型钢有一定的类似性所以 H 型钢的某些理论研究 结果可以作为钢轨轧制过程理论研究的重要参考和 借鉴［8—13］． 1 万能轧机 万能轧机包括四个轧辊两个水平辊为主动辊 两个立辊为从动辊（图1）．两个水平辊尺寸完全一 样但是两个立辊的形状差别比较大．轧制轨基的 立辊是平辊而轧制轨头的立辊表面加工有箱形孔． 万能法轧制钢轨时轧件上下对称以上半部分轧件 为研究对象建立三维模型（图2）此模型具有如下 第30卷 第2期 2008年 2月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．30No．2 Feb．2008 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2008．02．005
,170 北京科技大学学报 第30卷 特点， 工艺参数的设定、终轧孔型的优化以及轧制过程的 上水平辊 轧制轨头立辊 自动控制非常重要.，由于钢轨轧制过程变形量较 大，可以认为其为刚塑性体，钢轨在万能孔型中轧 出口轧件断面形状 制时变形非常复杂，力能参数的真实解很难求出，所 以可以利用刚塑性体的变分原理来求出其近似解. 轨基 轨头 求力能参数的关键是求出轧制力，变分原理中的上 限原理在求解刚塑性材料的轧制力时比一般的求解 轨腰 方法（比如一些常用的板带轧制压力公式或其他工 R 接触边界临界点(C,C) G 程方法)更准确、更可靠，所以本文利用上限原理计 R R 算轧制力的近似解是可行的 用上限法求解轧制力的关键是求出运动学上许 轧制轨基立辊 下水平辊 可的速度场以及确定合理的边界条件].上限 原理一般表示为： 图1钢轨万能轧制过程示意图 Fig.I Schematic diagram of rail rolling by a universal mill H"dVm- l[v,*]ldw.() 式中，左边为表面力在真实速度场下所作的功率 N,右边为表面力在运动学许可速度场下所作的功 Hw/2 率N,即： N≤N* (2) 由上式推导出的变形载荷称之为上限载荷，一 般情况下大于真实载荷 (I) 2带孔型立辊的简化模型建立 在孔型内轧制型材时轧辊的工作半径不是定 值，计算轧件出口速度等参数时比较困难，为了解 图2钢轨万能轧制过程变形区 决这个问题，有些学者提出了“平均轧辊半径”的概 Fig.2 Deformation zone of rail rolling by a universal mill 念18]，并给出了不同的计算方法，用求出的平均 半径作为带孔型轧辊的等效半径，在笔者以前的工 (1)为了避免轧件在轧制过程中发生横向弯曲 作中1町，提出了“接触边界临界点”的概念并考虑了 和残余应力增大，两个立辊的接触区长度应该相同 棒材轧制过程中临界点位置对平均轧辊半径的影 且轨头的延伸率与轨基的延伸率不应相差太大， 响，给出了适用于棒线材轧制的平均轧辊半径计算 (2)在钢轨轧制过程中，轧件上共有七个变形 模型 区（图2）：(I)立辊和轨头之间的变形区；（Ⅱ）水 在万能法轧制钢轨过程中，轨头因为在孔型中 平辊和轨腰之间的变形区；（Ⅲ）立辊和轨基之间的 变形，其变形规律比较复杂，为了简化理论分析模 变形区；(N)水平辊侧面和轨头内侧之间的轨头单 型，可以借鉴棒材轧制时求“接触边界临界点”的方 独变形区；(V)水平辊侧面和轨头内侧之间的轨头 法求出轧辊平均工作半径，把带孔型立辊简化为半 轨腰共同变形区：（Ⅵ）水平辊侧面和轨基内侧之间 径为平均工作半径的平辊，这样就降低了理论分析 的轨基单独变形区；（Ⅶ）水平辊侧面和轨基内侧之 的难度 间的轨基轨腰共同变形区 如图3所示，出口断面上轧件的应力自由表面 (3)在七个变形区之间存在10个速度间断面 不和箱形孔型的侧壁接触，此表面可以认为是倾斜 (分别在图2所示1,2,3,4,5,6,1'，2'，3'，6 的平面，这个斜面的倾角0随着最大宽展值△b的 处) 不同从0到α变化，所以0可以用下式来表示： 万能法轧制钢轨时力能参数的准确求解对轧制 0=W,a (3)
特点． 图1 钢轨万能轧制过程示意图 Fig．1 Schematic diagram of rail rolling by a universal mill 图2 钢轨万能轧制过程变形区 Fig．2 Deformation zone of rail rolling by a universal mill （1） 为了避免轧件在轧制过程中发生横向弯曲 和残余应力增大两个立辊的接触区长度应该相同 且轨头的延伸率与轨基的延伸率不应相差太大． （2） 在钢轨轧制过程中轧件上共有七个变形 区（图2）：（Ⅰ） 立辊和轨头之间的变形区；（Ⅱ） 水 平辊和轨腰之间的变形区；（Ⅲ） 立辊和轨基之间的 变形区；（Ⅳ） 水平辊侧面和轨头内侧之间的轨头单 独变形区；（Ⅴ） 水平辊侧面和轨头内侧之间的轨头 轨腰共同变形区；（Ⅵ） 水平辊侧面和轨基内侧之间 的轨基单独变形区；（Ⅶ） 水平辊侧面和轨基内侧之 间的轨基轨腰共同变形区． （3） 在七个变形区之间存在10个速度间断面 （分别在图2所示1234561′2′3′6′ 处）． 万能法轧制钢轨时力能参数的准确求解对轧制 工艺参数的设定、终轧孔型的优化以及轧制过程的 自动控制非常重要．由于钢轨轧制过程变形量较 大可以认为其为刚塑性体．钢轨在万能孔型中轧 制时变形非常复杂力能参数的真实解很难求出所 以可以利用刚塑性体的变分原理来求出其近似解． 求力能参数的关键是求出轧制力变分原理中的上 限原理在求解刚塑性材料的轧制力时比一般的求解 方法（比如一些常用的板带轧制压力公式或其他工 程方法）更准确、更可靠所以本文利用上限原理计 算轧制力的近似解是可行的． 用上限法求解轧制力的关键是求出运动学上许 可的速度场以及确定合理的边界条件［14—15］．上限 原理一般表示为： ∬Fv Snid F≤ K ∭V m H ∗d V m— ∬Fs Sni V ∗ i d F＋ K∬Ws ｜［ V ∗ t ］｜d Ws （1） 式中左边为表面力在真实速度场下所作的功率 N右边为表面力在运动学许可速度场下所作的功 率 N ∗即： N≤ N ∗ （2） 由上式推导出的变形载荷称之为上限载荷一 般情况下大于真实载荷． 2 带孔型立辊的简化模型建立 在孔型内轧制型材时轧辊的工作半径不是定 值计算轧件出口速度等参数时比较困难．为了解 决这个问题有些学者提出了“平均轧辊半径”的概 念［16—18］并给出了不同的计算方法用求出的平均 半径作为带孔型轧辊的等效半径．在笔者以前的工 作中［19］提出了“接触边界临界点”的概念并考虑了 棒材轧制过程中临界点位置对平均轧辊半径的影 响给出了适用于棒线材轧制的平均轧辊半径计算 模型． 在万能法轧制钢轨过程中轨头因为在孔型中 变形其变形规律比较复杂．为了简化理论分析模 型可以借鉴棒材轧制时求“接触边界临界点”的方 法求出轧辊平均工作半径把带孔型立辊简化为半 径为平均工作半径的平辊这样就降低了理论分析 的难度． 如图3所示出口断面上轧件的应力自由表面 不和箱形孔型的侧壁接触此表面可以认为是倾斜 的平面．这个斜面的倾角 θ随着最大宽展值Δb 的 不同从0到 α变化．所以θ可以用下式来表示： θ＝ Wtα （3） ·170· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第2期 董永刚等：应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力能参数 171 △b W,一2 Hctan a (4) 联立式(11)和(12)求解，可得：当0<α时， Wl一tan Otan aWr W1=W0十△b (5) G= 2(1-tan Otan a) (13) Wr=Wo十2 Hitan a (6) Cy=W:/2-C: (14) 式中，W,为加权系数，H为孔型的高度，α为箱形 tana 孔型的侧壁斜度，Wo为入口轧件的宽度，W1为出 当0=0时， 口轧件的宽度，W:为箱形孔型的宽度 C:=Wo/2,Cy=H (15) 当0=a时， 轧件出口断面轮廓 C,=竖-Gxtano,.G,=Gm (16) /H,接触边界临界点(C,C) 临界点求得以后，轧件的有效接触断面（图3中剖面 轧件人口断面形状 区域)面积可表示为： W。y 4=2C.G,+2(W0+2G:)(H-G,)(17) 有效接触断面（剖面区域） 轧件的等效接触断面（矩形区域a'b'c'd)面积可表 示为： Aabe'd=2C:Hu=Ah (18) 由公式(17)、(18)可得轧件的等效高度： 4-6.-光=(h+G)+a2C 4C: 图3立辊简化过程示意图 (19) Fig.3 Schematic diagram of simplifying the vertical roll 因此，立辊的平均工作半径可以表示为： 当轧件在孔型中无宽展时，加权系数为0，所以 Ryt=Ryt+Gvt Gv (20) 0为0.当轧件变形后充满孔型时，出口轧件的宽度 如图4所示，简化后的立辊可以表示为半径为 W:1等于箱形孔型的宽度W,所以最大宽展值△b R,辊缝大小为G的平辊， 为2 Hitan a,因此加权系数为1,0正好等于a. 轧件在箱形孔型中的宽展系数阝可以由修正 后的斯米尔诺夫公式求得： B=1+ac司-】45fg5m9 出口轧件断面形状 (7) 轨基 轨头 A=Bm-H十G -y9 H (8) 轨腰 Ho R, a0= W:o (9) 1=H0 nH (10) 式中，m为轧件材料影响系数[20]，本文中钢轨材料 为U71Mn,m的值取1.4；Gvt为立辊的辊缝值；Rt 图4简化后的钢轨轧制模型 为立辊的最大半径；H0为轧件的入口高度， Fig.4 Simplified model of rail rolling 为了求得轧辊平均工作半径的值，必须确定临 界点的位置，本文中临界点定义为出口断面上应力 3轧制力的求解 自由表面与箱形孔型的侧壁的交点.所以临界点的 3.1作用在水平辊上的轧制力 坐标(Cy,C:)可以由下式得到： 3.1.1轨腰运动学许可速度场的求解 2(C:+C,tan 0)=W11 (11) 在轧制钢轨过程中，轨头和轨基与轨腰之间存 Cx_W2C: HWe一Wo (12) 在金属的交换和流动，这就使轧制过程的理论分析
Wt＝ Δb 2Hftanα （4） Wt1＝ Wt0＋Δb （5） Wf＝ Wt0＋2Hftanα （6） 式中Wt 为加权系数Hf 为孔型的高度α为箱形 孔型的侧壁斜度Wt0为入口轧件的宽度Wt1为出 口轧件的宽度Wf 为箱形孔型的宽度． 图3 立辊简化过程示意图 Fig．3 Schematic diagram of simplifying the vertical roll 当轧件在孔型中无宽展时加权系数为0所以 θ为0．当轧件变形后充满孔型时出口轧件的宽度 Wt1等于箱形孔型的宽度 Wf所以最大宽展值Δb 为2Hftanα因此加权系数为1θ正好等于α． 轧件在箱形孔型中的宽展系数 β可以由修正 后的斯米尔诺夫公式求得： β＝1＋ mC0 1 η —1 C1 A C2 a C3 0 a C4 kδ C5 0 φ C6（tanα） C7 （7） A＝ Rvt— Hf＋ Gvt Hf （8） a0＝ Ht0 Wt0 （9） 1 η ＝ Ht0 Hf （10） 式中m 为轧件材料影响系数［20］本文中钢轨材料 为 U71Mnm 的值取1∙4；Gvt为立辊的辊缝值；Rvt 为立辊的最大半径；Ht0为轧件的入口高度． 为了求得轧辊平均工作半径的值必须确定临 界点的位置．本文中临界点定义为出口断面上应力 自由表面与箱形孔型的侧壁的交点．所以临界点的 坐标（CyCz ）可以由下式得到： 2（Cz＋Cytanθ）＝ Wt1 （11） Cy Hf ＝ Wf—2Cz Wf— W0 （12） 联立式（11）和（12）求解可得：当0＜θ＜α时 Cz＝ Wt1—tanθtanαWf 2（1—tanθtanα） （13） Cy＝ Wf／2—Cz tanα （14） 当θ＝0时 Cz＝ W0／2Cy＝ Hf （15） 当θ＝α时 Cz＝ Wf 2 — GvttanαCy＝ Gvt （16） 临界点求得以后轧件的有效接触断面（图3中剖面 区域）面积可表示为： Ah＝2CzCy＋ 1 2 （ WT0＋2Cz ）（ Hf—Cy） （17） 轧件的等效接触断面（矩形区域 a′b′c′d′）面积可表 示为： A a′b′c′d′＝2Cz Ht1＝ Ah （18） 由公式（17）、（18）可得轧件的等效高度： Ht1＝ Gvt＝ Ah 2Cz ＝ 1 2 （ Hf＋Cy）＋ W0（ Hf—Cy） 4Cz （19） 因此立辊的平均工作半径可以表示为： Rvt＝ Rvt＋ Gvt— Gvt （20） 如图4所示简化后的立辊可以表示为半径为 Rvt辊缝大小为 Gvt的平辊． 图4 简化后的钢轨轧制模型 Fig．4 Simplified model of rail rolling 3 轧制力的求解 3∙1 作用在水平辊上的轧制力 3∙1∙1 轨腰运动学许可速度场的求解 在轧制钢轨过程中轨头和轨基与轨腰之间存 在金属的交换和流动这就使轧制过程的理论分析 第2期 董永刚等： 应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力能参数 ·171·
.172. 北京科技大学学报 第30卷 变得非常复杂，由大量实验可知，当轨头与轨腰、轨 将式(22)、(23)分别对x和z求导可得应变速 基与轨腰的压缩率相差不大时，轨头和轨基与轨腰 度场为： 之间的金属流动可以忽略.为了进一步简化模型， x Hw1 可以假设轨头和轨基与轨腰之间没有金属交换和流 照-(+R--a 动，即轨腰变形区表面金属沿水平辊轴线方向的流 (24) 动速度为： xHwl Vw=0 (21) -(H1十R-照-ya 根据秒流量相等原理，求出轨腰变形区表面金 (25) 属流动速度的水平分量为： 5,=0 (26) Hy1 V H1十R-R-宝a8 (22) 2=H+R匠-2-22R (Ri-x2)32RRx2)2 式中6，为轨腰相对于水平辊的前滑系数，为水 平辊半径，Vh为水平辊线速度 (27) 轨腰变形区表面金属流动速度的垂直分量为： Twsy=Tly=0 (28) zxHw1 .+5y+气.=0 (29) Vw: √-(H十R,-照-)a 由式(29)可知所给出的速度场为运动学上可能的速 度场 (23) 剪应变速度强度可表示为： s.=层(.-v)2+(,-)+(.-]十（呢w+呢+呢） (30) 把速度场公式带入上式可得： 5w Hw1 Vhw 4x2 +[RH十R-R-x3)-2x2-x212 (31) (Hw1+RR-x2)R (R-x2)3(H.1十R-NR-x2)2 3.1.2轧制轨腰所消耗的功率 轨腰的塑性变形区Ⅱ所消耗的功率为： N3= N.=4K )o Jo Swdxdydz J0 (32) (Vw-Vs)+Vw:dxdz 塑性变形区Ⅱ的速度间断面所消耗的功率为： (35) 「Ho2b/2Hn1Vh6 N-4KJoJo Ho(Ho)zdyd= N5=Gw Hw1bw Vh(8w-1) (36) (33) 3.1.3水平辊侧面与轨头和轨基接触面上所消耗 e=k- 的摩擦功率 (Vwx-Vhx)+Vw:dxdz 在轨基的变形区Ⅵ和变形区Ⅱ的接触面上，水 (34) 平辊侧面和轨基内侧的相对速度可由下式给出： (V8)2H B Rh H1十Ra-R眠-x2 (37) 因此接触面上所消耗的摩擦功率可表示为： 式中P和f仙分别为水平辊侧面和轨基接触面上 的平均单位压力和摩擦因数， 同理可求得水平辊侧面和轨头的接触面上的相 (38) 对速度△Vt和所消耗的功率Nht 3.1.4水平辊与轨腰表面的摩擦功率
变得非常复杂．由大量实验可知当轨头与轨腰、轨 基与轨腰的压缩率相差不大时轨头和轨基与轨腰 之间的金属流动可以忽略．为了进一步简化模型 可以假设轨头和轨基与轨腰之间没有金属交换和流 动即轨腰变形区表面金属沿水平辊轴线方向的流 动速度为： V w y＝0 （21） 根据秒流量相等原理求出轨腰变形区表面金 属流动速度的水平分量为： V w x＝ Hw1 Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2 V hδw （22） 式中 δw 为轨腰相对于水平辊的前滑系数Rh 为水 平辊半径V h 为水平辊线速度． 轨腰变形区表面金属流动速度的垂直分量为： V w z＝ z xHw1 R 2 h— x 2（ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2） 2 V hδw （23） 将式（22）、（23）分别对 x 和 z 求导可得应变速 度场为： ξw x＝ xHw1 R 2 h— x 2（ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2） 2 V hδw （24） ξw z＝— xHw1 R 2 h— x 2（ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2） 2 V hδw （25） ξw y＝0 （26） ηw z x＝ R 2 h（ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2—2x 2 R 2 h— x 2） （ R 2 h— x 2） 3／2（ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2） 2 （27） ηw xy＝ηw yz＝0 （28） ξw x＋ξw y＋ξw z＝0 （29） 由式（29）可知所给出的速度场为运动学上可能的速 度场． 剪应变速度强度可表示为： Sw＝ 2 3 ［（ξw x—ξw y） 2＋（ξw y—ξw z ） 2＋（ξw z—ξw x） 2］＋（η2 w xy＋η2 w yz＋η2 w z x） （30） 把速度场公式带入上式可得： Sw＝ Hw1V hδw （ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2） 4x 2 R 2 h— x 2＋ z 2［ R 2 h（ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2）—2x 2 R 2 h— x 2］ 2 （ R 2 h— x 2） 3（ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2） 2 （31） 3∙1∙2 轧制轨腰所消耗的功率 轨腰的塑性变形区Ⅱ所消耗的功率为： Nw＝4Kw∫ L w 0∫ Rh＋Hw1－ R 2 h－x 2 0 ∫ b w／2 0 Swd xd yd z （32） 塑性变形区Ⅱ的速度间断面所消耗的功率为： N4＝4Kw∫ Hw0／2 0 ∫ b w／2 0 Hw1V hδw Hw0（ Rh＋ Hw1— Hw0） z d yd z （33） N3＝4K∫w L w 0∫ Rh＋Hw1－ R 2 h－x 2 0 （ V w x— Vb x） 2＋ V w z d xd z （34） N′3＝ 4K∫w L w 0∫ Rh＋Hw1－ R 2 h－x 2 0 （V w x—Vt x） 2＋V w z d xdz （35） N5＝σw Hw1bw V h（δw—1） （36） 3∙1∙3 水平辊侧面与轨头和轨基接触面上所消耗 的摩擦功率 在轨基的变形区Ⅵ和变形区Ⅶ的接触面上水 平辊侧面和轨基内侧的相对速度可由下式给出： ΔV hb＝ （ V hδw） 2H 2 w1 （ Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2） 2 ＋ V 2 h R 2 h ［ x 2＋（ Rh—z ） 2］— 2V 2 h Hw1δw Rh Rh—z Hw1＋ Rh— R 2 h— x 2 （37） 因此接触面上所消耗的摩擦功率可表示为： Nhb＝∫ 2Rh Wt－W 2 t 0 ∫ Wt Rh－ R 2 h－x 22f hb p hbΔV hbd xd z （38） 式中 p hb和 f hb分别为水平辊侧面和轨基接触面上 的平均单位压力和摩擦因数． 同理可求得水平辊侧面和轨头的接触面上的相 对速度ΔV ht和所消耗的功率 Nht． 3∙1∙4 水平辊与轨腰表面的摩擦功率 ·172· 北 京 科 技 大 学 学 报 第30卷
第2期 董永刚等：应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力能参数 173. 如图5所示，此时变形区中有后滑区和前滑区， 值为： 后滑区的单位压力函数可表示为： △Vhw= Vh8 Hw A.=2(R-2K,)+2K +v (39) H1十2RG 式中P和K。分别为轨腰变形区平均单位压力和 (43) 变形抗力，4和Y。分别为轨腰变形区咬入角和中 前滑区内的摩擦功率为： 性角 Niw=2fhe br Rh )o PhsA Vhod a (44) 3.1.5水平辊上力能参数的求解 轨头 根据上限原理，水平辊上轧制力为： A-2(X.+.+u+ Nt+N3+N3+N4+N5) (45) 轨腰 3.2轧制轨基立辊轧制力的求解 3.2.1轨基运动学许可速度场的确定 HbI Vhow Vb:= (46) H1十R6-NR品-x2 Hbl Vhow yx 图5轨腰的单位压力以及流动速度 V,-R品。-子(H十R-JR-子 Fig.5 Unit pressure and velocity on the rail web (47) Vb:=0 (48) 在后滑区内，水平辊表面线速度沿轧制方向的 式中Rb为轧制轨基立辊半径 分量与轨腰接触面沿轧制方向流动速度的分量的差 将式(46)和(47)分别对x和y求导可得应变 值为： 速度场为： △Vihw= Vh x HwL NH+ +匠 H1Vh⊙x .-品-(H十R照-9） HbI Vhwx (40) 5y- 后滑区内的摩擦功率为： NR品-x2(1十Rh-JR品-x2)2 -2b (50) Phx△Vhwda (41) 气=0 (51) 式中fw分别为水平辊和轨腰接触面上的摩擦因 7y= 数 Rin(Hoi+Ryb Rix2-2x2Rix2) 前滑区的单位压力函数可表示为： (R品-x2)3(H1十Rb-R品-x2)2 R.=2n-2K.片+2K。 (42) HbI Vh ow y (52) 在前滑区内，水平辊表面线速度沿轧制方向的 1wy=1:=0 (53) 分量与轨腰接触面沿轧制方向流动速度的分量的差 根据剪应变速度强度计算公式可得： Sb=- HhI Vh 4x2 h1十Rb--x3)2NR品-x2T(B2-2、32,二x二2xRi二x) (54) (R品-x2)3(H1十Rb-JR品-x2)2 3.2.2轧制轨基所消耗功率的确定 式中K,为轧制轨基的变形抗力，L:为轨基变形区 轨基变形区Ⅲ的塑性变形功率可表示为： 长度 凸/R+N- 在此变形区内的速度间断面1、2、6上消耗的功 Ni-Kb)o Jo Jo Sidxdydz (55) 率为：
如图5所示此时变形区中有后滑区和前滑区 后滑区的单位压力函数可表示为： Ph x＝2（Ph—2Kw） αh—αx αh—γh ＋2Kw （39） 式中 Ph 和 Kw 分别为轨腰变形区平均单位压力和 变形抗力αh 和 γh 分别为轨腰变形区咬入角和中 性角． 图5 轨腰的单位压力以及流动速度 Fig．5 Unit pressure and velocity on the rail web 在后滑区内水平辊表面线速度沿轧制方向的 分量与轨腰接触面沿轧制方向流动速度的分量的差 值为： ΔVhw＝ Vhδw Hw1 Hw1＋ 1 2 Rhα2 x —Vh 1— 1 2 α2 x 2 ＋V 2 hα2 x （40） 后滑区内的摩擦功率为： Nfw＝2f hw bw R∫h αh γh Ph xΔV hwdαx （41） 式中 f hw 分别为水平辊和轨腰接触面上的摩擦因 数． 前滑区的单位压力函数可表示为： Ph x＝2（Ph—2Kw） αx γh ＋2Kw （42） 在前滑区内水平辊表面线速度沿轧制方向的 分量与轨腰接触面沿轧制方向流动速度的分量的差 值为： ΔVhw＝ Vhδw Hw1 Hw1＋ 1 2 Rhα2 x —Vh 1— 1 2 α2 x 2 ＋V 2 hα2 x （43） 前滑区内的摩擦功率为： Nfw＝2f hw bw R∫h γh 0 Ph xΔV hwdαx （44） 3∙1∙5 水平辊上力能参数的求解 根据上限原理水平辊上轧制力为： Ph＝ Rh 2ψh L w V h （ Nw＋ Nfw＋ Nhb＋ Nht＋ N3＋ N′3＋ N4＋ N5） （45） 3∙2 轧制轨基立辊轧制力的求解 3∙2∙1 轨基运动学许可速度场的确定 V b x＝ Hb1V hδw Hb1＋ Rv b— R 2 vb— x 2 （46） V b y＝ Hb1V hδw yx R 2 vb— x 2（ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2） 2 （47） V b z＝0 （48） 式中 Rvb为轧制轨基立辊半径． 将式（46）和（47）分别对 x 和 y 求导可得应变 速度场为： ξb x＝ Hb1V hδw x R 2 vb— x 2（ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2） 2 （49） ξb y＝— Hb1V hδw x R 2 vb— x 2（ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2） 2 （50） ξb z＝0 （51） ηb xy＝ R 2 vb（ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2—2x 2 R 2 vb— x 2） （ R 2 vb— x 2） 3／2（ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2） 2 · Hb1V hδw y （52） ηw xy＝ηw yz＝0 （53） 根据剪应变速度强度计算公式可得： Sb＝ Hb1V hδw （ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2） 2 4x 2 R 2 vb— x 2＋ y 2［ R 2 vb（ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2—2x 2 R 2 vb— x 2）］ 2 （ R 2 vb— x 2） 3／2（ Hb1＋ Rvb— R 2 vb— x 2） 2 （54） 3∙2∙2 轧制轨基所消耗功率的确定 轨基变形区Ⅲ的塑性变形功率可表示为： Nhb＝K∫b L f 0∫ Wt／2 0 ∫ Rvb＋Hb1－ R 2 vb－x 2 0 Sbd xdydz （55） 式中 Kb 为轧制轨基的变形抗力Lf 为轨基变形区 长度． 在此变形区内的速度间断面1、2、6上消耗的功 率为： 第2期 董永刚等： 应用刚塑性体的变分原理求解钢轨万能轧制过程的力能参数 ·173·