D01:10.13374/i.issn1001t63x.2010.06.015 第32卷第6期 北京科技大学学报 Vol 32 No 6 2010年6月 Journal of Un iversity of Science and Techno logy Beijng Jun 2010 固流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波的缺陷模 刘启能 重庆工商大学计算机科学与信息工程学院，重庆400067 摘要采用一维固流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波横向受限的条件，推导出弹性波在其中各个模式满足的关系式·利 用它分析了弹性波各模式的特性，并使用转移矩阵法研究了弹性波的缺陷模随模式量子数和矩形边长的变化规律，得出了一 些不同于一维非受限声子晶体的缺陷模的新特征·一维掺杂矩形声子晶体的缺陷模由模式量子数确定，缺陷模的频率和半高 宽与模式量子数和矩形边长有关. 关键词声子晶体；弹性波：受限；缺陷模 分类号0436 Defect m odes of elastic waves in solid-flu id rectangle phonon ic crystals LIU Qieng Collge of Canputer Seience and Infomation Engineering Chongqing Technology and Busness University Chongqing 400067.China ABSTRACT The mode condition of elastic waves in solid-fluid rectangle phononic crystals was derived from the restriction condition of elastic waves and the mode characteristics of elastic waves were studied on the base of the mode condition The response of defect modes to mode quantm number and rectangular length was calulated by the characteristic matrix method Some new defect mode structures different from those of ID non'"confined phonon ic crystals were obtained Defectmodes of the rectangle doping phononic crys- tals are detem ined by mode quantm numbes the frequency and full width at haltmaxinum of the defect modes are dependent on mode quan tmm number and rectangular length KEY WORDS phononic crystal elastic wave restriction:defectmode 继l987年John和Yablonov itch:提出光子晶体 一定外形，这使得弹性波在其中传播时横向要受到 的概念后，Kushwsha于1993年提出了声子晶体的 限制，这种限制必然导致弹性波在其中传输出现多 概念，所谓声子晶体就是其密度和弹性常数呈周期 模性，也必然会影响弹性波的带隙机构，尽管文献 性变化的人造带隙材料，弹性波在声子晶体中传播 [12]中计算了一维杆状声子晶体的能带，但没有涉 时会与介质的周期结构发生相互作用，从而产生类 及声子晶体的外形对弹性波模式的影响问题，因 似于光波在光子晶体中传播产生的能带.由于利用 此，研究一维声子晶体的横向受限问题对弄清真实 声子晶体的能带可以十分方便地控制弹性波的传 的一维声子晶体的特性有着十分重要的理论价值和 播，因此声子晶体在技术上有着广泛的应用前景，如 应用价值·本文将研究一种典型的一维横向受限声 声滤波、噪声隔离和减振。这使得对声子晶体的研 子晶体一一维固流结构矩形声子晶体中弹性波 究很快成为人们十分关注的问题2-] 的模式和缺陷模。 目前，对一维声子晶体的研究文献中，为了使问 1模型和计算方法 题简化而便于研究，几乎都是把一维声子晶体作为 横向不受限来处理的，而真实的声子晶体的横向有 一维固流结构矩形声子晶体的结构如图1所 收稿日期：2009-09-04 基金项目：重庆市教委科技项目基金资助(N。K080720) 作者简介：刘启能(l957-)男，教授，Email luqineng@yahoo cam~m
第 32卷 第 6期 2010年 6月 北 京 科 技 大 学 学 报 ＪｏｕｒｎａｌｏｆＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙＢｅｉｊｉｎｇ Ｖｏｌ．32Ｎｏ．6 Ｊｕｎ．2010 固-流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波的缺陷模 刘启能 重庆工商大学计算机科学与信息工程学院重庆 400067 摘 要 采用一维固-流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波横向受限的条件推导出弹性波在其中各个模式满足的关系式．利 用它分析了弹性波各模式的特性并使用转移矩阵法研究了弹性波的缺陷模随模式量子数和矩形边长的变化规律得出了一 些不同于一维非受限声子晶体的缺陷模的新特征．一维掺杂矩形声子晶体的缺陷模由模式量子数确定缺陷模的频率和半高 宽与模式量子数和矩形边长有关． 关键词 声子晶体；弹性波；受限；缺陷模 分类号 Ｏ436 Ｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅｓｏｆｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｓｉｎｓｏｌｉｄ-ｆｌｕｉｄｒｅｃｔａｎｇｌｅｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ ＬＩＵＱｉ-ｎｅｎｇ ＣｏｌｌｅｇｅｏｆＣｏｍｐｕｔｅｒＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＣｈｏｎｇｑｉｎｇＴｅｃｈｎｏｌｏｇｙａｎｄＢｕｓｉｎｅｓｓＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙＣｈｏｎｇｑｉｎｇ400067Ｃｈｉｎａ ＡＢＳＴＲＡＣＴ Ｔｈｅｍｏｄｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎｏｆｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｓｉｎｓｏｌｉｄ-ｆｌｕｉｄｒｅｃｔａｎｇｌｅｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓｗａｓｄｅｒｉｖｅｄｆｒｏｍｔｈｅｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｓａｎｄｔｈｅｍｏｄｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｏｆｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅｓｗｅｒｅｓｔｕｄｉｅｄｏｎｔｈｅｂａｓｅｏｆｔｈｅｍｏｄｅｃｏｎｄｉｔｉｏｎ．Ｔｈｅｒｅｓｐｏｎｓｅｏｆｄｅｆｅｃｔ ｍｏｄｅｓｔｏｍｏｄｅｑｕａｎｔｕｍ ｎｕｍｂｅｒａｎｄｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｌｅｎｇｔｈｗａｓｃａｌｃｕｌａｔｅｄｂｙｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｍａｔｒｉｘｍｅｔｈｏｄ．Ｓｏｍｅｎｅｗｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓｄｉｆｆｅｒｅｎｔｆｒｏｍｔｈｏｓｅｏｆ1Ｄｎｏｎ-ｃｏｎｆｉｎｅｄｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓｗｅｒｅｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅｓｏｆｔｈｅｒｅｃｔａｎｇｌｅｄｏｐｉｎｇｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓ- ｔａｌｓａｒｅｄｅｔｅｒｍｉｎｅｄｂｙｍｏｄｅｑｕａｎｔｕｍｎｕｍｂｅｒ；ｔｈｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙａｎｄｆｕｌｌ-ｗｉｄｔｈａｔｈａｌｔ-ｍａｘｉｍｕｍ ｏｆｔｈｅｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅｓａｒｅｄｅｐｅｎｄｅｎｔｏｎ ｍｏｄｅｑｕａｎｔｕｍｎｕｍｂｅｒａｎｄｒｅｃｔａｎｇｕｌａｒｌｅｎｇｔｈ． ＫＥＹＷＯＲＤＳ ｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ；ｅｌａｓｔｉｃｗａｖｅ；ｒｅｓｔｒｉｃｔｉｏｎ；ｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅ 收稿日期：2009--09--04 基金项目：重庆市教委科技项目基金资助 （Ｎｏ．ＫＪ080720） 作者简介：刘启能 （1957— ）男教授Ｅ-ｍａｉｌ：ｌｉｕｑｉｎｅｎｇ＠ｙａｈｏｏ．ｃｏｍ．ｃｎ 继 1987年 Ｊｏｈｎ和 Ｙａｂｌｏｎｏｖｉｔｃｈ提出光子晶体 的概念后Ｋｕｓｈｗｓｈａ ［1］于 1993年提出了声子晶体的 概念．所谓声子晶体就是其密度和弹性常数呈周期 性变化的人造带隙材料．弹性波在声子晶体中传播 时会与介质的周期结构发生相互作用从而产生类 似于光波在光子晶体中传播产生的能带．由于利用 声子晶体的能带可以十分方便地控制弹性波的传 播因此声子晶体在技术上有着广泛的应用前景如 声滤波、噪声隔离和减振．这使得对声子晶体的研 究很快成为人们十分关注的问题 ［2--15］． 目前对一维声子晶体的研究文献中为了使问 题简化而便于研究几乎都是把一维声子晶体作为 横向不受限来处理的而真实的声子晶体的横向有 一定外形这使得弹性波在其中传播时横向要受到 限制这种限制必然导致弹性波在其中传输出现多 模性也必然会影响弹性波的带隙机构．尽管文献 ［12］中计算了一维杆状声子晶体的能带但没有涉 及声子晶体的外形对弹性波模式的影响问题．因 此研究一维声子晶体的横向受限问题对弄清真实 的一维声子晶体的特性有着十分重要的理论价值和 应用价值．本文将研究一种典型的一维横向受限声 子晶体———一维固-流结构矩形声子晶体中弹性波 的模式和缺陷模． 1 模型和计算方法 一维固-流结构矩形声子晶体的结构如图 1所 DOI :10．13374／j．issn1001－053x．2010．06．015
第6期 刘启能：固流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波的缺陷模 ,793. 示.沿轴方向是由厚度为d山、密度为A的有机 空间的介质为水，密度为B(%=?)弹性波在该 玻璃和厚度为山、密度为？的水两种介质周期性 矩形声子晶体中传播时，在x和y方向受限，为了 交替构成，中间插入一层厚度为k、密度为的橡 使该矩形声子晶体能够在工程上实现并具有一定 木.该声子晶体的横切面为矩形，矩形的长为a的强度，可用一个反射率很高的金属材料将其包 (沿x方向)，宽为b(沿y方向)入射空间和出射 起来， P.PPP P PPP Po 图1一维矩形掺杂声子晶体 Figs I 1d mectangle doping phononic crystal 在该一维固流结构矩形声子晶体中传播的弹 由式(3)河知，、J,各取一个值，对应于一个k即弹 性波波矢k(k=f/~为频率，v为波速)的三个分量 性波的一个模式，故将、J称为模式量子数，由此 k、k和k有下式关系： 可见，在一维固流结构矩形声子晶体中传播的弹性 =++足 (1) 波存在多个k分离的模式，其中J=QJ=0的模式 由于弹性波在x和y方向受限，k和k必须满足驻 对应弹性波正入射，其他模式对应弹性波斜入射的 波条件： 情况，式(3)正是一维固流结构矩形声子晶体中弹 k 性波各模式满足的关系式， ,1=012…; 利用文献[15]中推出的固液结构声子晶体的 k-克=012… (2) 转移矩阵有： mI=M2MiGIMIM2G2 k=kcos0(0为波矢k与轴的夹角)，由式(1)和式 m2 =G2M2MIGIMIM2 (4) (2)得： ksm20=(k2a)2+(J2b), m3-M2M3G3M3M2 式中： 1=012…,J=012… (3) cossn20 kr cos20 aa29 kir cos20r h(A+2%cas8)十kr片sn28,sm8 h(A1+24cosL)十khsn28,sm8 c0s2L ik入2 ie入2」 cossinr sn20 kr cos20sr cos4十kssn9rsin2g kr cos203T M3 (a十24eosa)十ikr4sn2g,sm8 k(入+24cos6)十iksr5sin28,sm8 0 01 e 0 G1 (5) 0 k的co 矩阵中入和为拉梅常数，角标中L表示纵波，T表 「MnM 示横波，式(5)中的0角由式(3)决定. M =(m1)m3(m2) (6) LM21 M2 整个声子晶体的转移矩阵M为： 弹性波通过该声子晶体的透射系数伪：
第 6期 刘启能： 固-流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波的缺陷模 示．沿 ｚ轴方向是由厚度为 ｄ1、密度为 ρ1 的有机 玻璃和厚度为 ｄ2、密度为 ρ2 的水两种介质周期性 交替构成中间插入一层厚度为 ｄ3、密度为 ρ3的橡 木．该声子晶体的横切面为矩形矩形的长为 ａ （沿 ｘ方向 ）宽为 ｂ（沿 ｙ方向 ）．入射空间和出射 空间的介质为水密度为 ρ0（ρ0＝ρ2）．弹性波在该 矩形声子晶体中传播时在 ｘ和 ｙ方向受限．为了 使该矩形声子晶体能够在工程上实现并具有一定 的强度可用一个反射率很高的金属材料将其包 起来． 图 1 一维矩形掺杂声子晶体 Ｆｉｇ．1 1-Ｄｒｅｃｔａｎｇｌｅｄｏｐｉｎｇｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ 在该一维固-流结构矩形声子晶体中传播的弹 性波波矢 ｋ（ｋ＝ｆ／ｖｆ为频率ｖ为波速 ）的三个分量 ｋｘ、ｋｙ和 ｋｚ有下式关系： ｋ 2＝ｋ 2 ｘ＋ｋ 2 ｙ＋ｋ 2 ｚ （1） 由于弹性波在 ｘ和 ｙ方向受限ｋｘ和 ｋｙ必须满足驻 波条件： ｋｘ＝ Ｊｘ 2ａ Ｊｘ＝012…； ｋｙ＝ Ｊｙ 2ｂ Ｊｙ＝012… （2） ｋｚ＝ｋｃｏｓθ（θ为波矢 ｋ与 ｚ轴的夹角 ）由式 （1）和式 （2）得： ｋ 2ｓｉｎ 2θ＝（Ｊｘ／2ａ） 2＋（Ｊｙ／2ｂ） 2 Ｊｘ＝012…Ｊｙ＝012… （3） 由式 （3）可知Ｊｘ、Ｊｙ各取一个值对应于一个 ｋ即弹 性波的一个模式故将 Ｊｘ、Ｊｙ称为模式量子数．由此 可见在一维固-流结构矩形声子晶体中传播的弹性 波存在多个 ｋ分离的模式其中 Ｊｘ＝0、Ｊｙ＝0的模式 对应弹性波正入射其他模式对应弹性波斜入射的 情况．式 （3）正是一维固-流结构矩形声子晶体中弹 性波各模式满足的关系式． 利用文献 ［15］中推出的固-液结构声子晶体的 转移矩阵有： ｍ1＝Ｍ —1 2 Ｍ1Ｇ1Ｍ —1 1 Ｍ2Ｇ2 ｍ2＝Ｇ2Ｍ —1 2 Ｍ1Ｇ1Ｍ —1 1 Ｍ2 ｍ3＝Ｍ —1 2 Ｍ3Ｇ3Ｍ —1 3 Ｍ2 （4） 式中： Ｍ1＝ ｃｏｓθ1Ｌ＋ ｋ1Ｌｓｉｎθ1Ｔｓｉｎ2θ1Ｌ ｋ1Ｔｃｏｓ2θ1Ｔ — ｃｏｓθ1Ｌ＋ ｋ1Ｌｓｉｎθ1Ｔｓｉｎ2θ1Ｌ ｋ1Ｔｃｏｓ2θ1Ｔ ｉｋ1Ｌ（λ1＋2μ1ｃｏｓ 2θ1Ｌ）＋ｉｋ1Ｔμ1ｓｉｎ2θ1Ｔ ｓｉｎθ1Ｌ ｃｏｓθ1Ｔ ｉｋ1Ｌ（λ1＋2μ1ｃｏｓ 2θ1Ｌ）＋ｉｋ1Ｔμ1ｓｉｎ2θ1Ｔ ｓｉｎθ1Ｌ ｃｏｓθ1Ｔ Ｍ2＝ ｃｏｓθ2Ｌ —ｃｏｓθ2Ｌ ｉｋ2Ｌλ2 ｉｋ2Ｌλ2 Ｍ3＝ ｃｏｓθ3Ｌ＋ ｋ3Ｌｓｉｎθ3Ｔｓｉｎ2θ3Ｌ ｋ3Ｔｃｏｓ2θ3Ｔ — ｃｏｓθ3Ｌ＋ ｋ3Ｌｓｉｎθ3Ｔｓｉｎ2θ3Ｌ ｋ3Ｔｃｏｓ2θ3Ｔ ｉｋ3Ｌ（λ3＋2μ3ｃｏｓ 2θ3Ｌ）＋ｉｋ3Ｔμ3ｓｉｎ2θ3Ｔ ｓｉｎθ1Ｌ ｃｏｓθ1Ｔ ｉｋ3Ｌ（λ3＋2μ3ｃｏｓ 2θ3Ｌ）＋ｉｋ3Ｔμ3ｓｉｎ2θ3Ｔ ｓｉｎθ3Ｌ ｃｏｓθ3Ｔ Ｇ1＝ ｅ —ｉｋ1Ｌｄ1ｃｏｓθ1Ｌ 0 0 ｅ ｉｋ1Ｌｄ1ｃｏｓθ1Ｌ Ｇ2＝ ｅ —ｉｋ2Ｌｄ2ｃｏｓθ2Ｌ 0 0 ｅ ｉｋ2Ｌｄ2ｃｏｓθ2Ｌ Ｇ3＝ ｅ —ｉｋ3Ｌｄ3ｃｏｓθ3Ｌ 0 0 ｅ ｉｋ3Ｌｄ3ｃｏｓθ3Ｌ （5） 矩阵中 λ和 μ为拉梅常数角标中 Ｌ表示纵波Ｔ表 示横波．式 （5）中的 θ角由式 （3）决定． 整个声子晶体的转移矩阵 Ｍ为： Ｍ＝ Ｍ11 Ｍ12 Ｍ21 Ｍ22 ＝（ｍ1） Ｎｍ3（ｍ2） Ｎ （6） 弹性波通过该声子晶体的透射系数 ｔ为 ［14］： ·793·
,794. 北京科技大学学报 第32卷 (7) 3缺陷模的特征 利用式(3)式(7)可以计算该矩形掺杂声子 从前面的分析可知：由于弹性波在一维固流结 晶体中弹性波各个模式的缺陷模，下面的计算中： 构矩形声子晶体中横向受限，使得其缺陷模与一维 8=1180kgm-,B=6=1000kgm3,g=462kg 非受限声子晶体中弹性波的缺陷模相比有新的特 m3,=2670m8,r=1120m8,== -3 征，这些新特征最主要表现为：一维固流结构矩形 1500m…8,=2050m·s,r=1650m…8取 声子晶体中弹性波的缺陷模会受模式量子数以及矩 d=/(46)由=(46)，k=(26),6为 形边长的影响， 中心频率（取6=10000Hz):归一化频率g=f/角， 下面研究模式量子数以及矩形边长对一维固~ 周期数N=5. 流结构矩形声子晶体中弹性波缺陷模的影响， 2模式的特征 3.1缺陷模随模式量子数的变化 固定a=4入，b=5入o,由式(9)可知，在这种情 首先由式(3)分析该一维固流结构矩形声子晶 况下(=0.572)透射波中弹性波的模式量子 体中弹性波各个模式的透射角A与归一化频率马 数的取值范围为≤4≤5.固定=1计算出 a和b的关系，令a=X入，b=Y入（入=u/),由 透射系数t随模式量子数】和归一化频率g变化 式(3)可得： 的立体图，如图2所示.在图2中横坐标J是连续 s4-1k2x)+(hY, 变化的，只有当1=01,23,4,5时才是六个模式 对应的缺陷模.在J=024处切出图2的切面图， 1=012…,=01,2… (8) 如图3所示.图3中细线、中粗线和粗线分别对应 特别地，若弹性波沿0面入射，则： [1,0]、[1,2和[14]三个模式的缺陷模. sn4=12gXJ=01=012… 由图2和图3可知：(1)对于透射波中的[1 若弹性波沿0z面入射，则： 0]、[1,2]和[14]三个模式，都出现了缺陷模，这表 sim6=J2gY人=0，J=0,12… 明在该固流结构矩形声子晶体中的弹性波的各个 由式(8)河知，该一维固流结构矩形声子晶体 模式都会出现缺陷模.(2)[10]、[1,2]和[1,4三 中弹性波各个模式有以下特征， 个模式的缺陷模其频率中心分别在g=1.015, (1)一维固流结构矩形声子晶体中弹性波存在 1.04,1.14处，即各模式缺陷模的频率中心随模式 许多模式，每个模式由模式量子数1和↓确定，记 量子数的增加而增大.(3)[10]、[1,2和[1,4]三 为[1]：而在一维非受限声子晶体中弹性波不存 个模式的缺陷模其频率的半高宽(full width at halt 在模式· maxinum,WHM)逐渐减小，即各模式的缺陷模其 (2)当a和b(X和Y)一定时，模式量子数越大 频率的半高宽随模式量子数的增加而减小. 对应的透射角越大；对同一模式的弹性波，a和b(X 和Y)越大对应的透射角越小；透射角一定时，a和b 越大对应的模式量子数越大， (3)透射波中出现一级禁带的缺陷模，其模式 1.0 6.8 .6 量子数的取值范围：一级禁带的缺陷模出现在g=1 1.20 -0.4 0.2 1.15 附近，将式(8)中的g取1，又因透射角6受全反射 1.10 临界角0.的限制，应满足≤6.=arsint(umr) 1.05 则有 1.00 在x方向，≤2X(/m),J=012… 在方向，区2Y(m人=012.(9) 图2透射系数随，和g的变化的立体图 Fig 2 3D diagram of transm ission coefficient versus Jy and g 式(9)为透射波中出现一级禁带的缺陷模其模式量 子数的取值范围的公式，由式(9)可知，一级禁带的 当矩形的长a和宽b取其他值时，其缺陷模也 缺陷模其模式量子数的取值范围由X和Y(a和b) 有相似的特征，上述缺陷模随模式量子数的变化特 唯一确定，X和Y越大，对应的模式量子数的取值范 征是一维非受限声子晶体中的弹性波不具有的，因 围就越大， 为在一维非受限声子晶体中的弹性波其缺陷模与模
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 ｔ＝ 1 Ｍ11 （7） 利用式 （3）～式 （7）可以计算该矩形掺杂声子 晶体中弹性波各个模式的缺陷模．下面的计算中： ρ1＝1180ｋｇ·ｍ —3ρ2＝ρ0＝1000ｋｇ·ｍ —3ρ3 ＝462ｋｇ· ｍ —3ｖ1Ｌ＝2670ｍ·ｓ —1ｖ1Ｔ ＝1120ｍ·ｓ —1ｖ2Ｌ ＝ｖ0Ｌ ＝ 1500ｍ·ｓ —1ｖ3Ｌ＝2050ｍ·ｓ —1ｖ3Ｔ ＝1650ｍ·ｓ —1；取 ｄ1＝ｖ1Ｌ／（4ｆ0）ｄ2 ＝ｖ2Ｌ／（4ｆ0）ｄ3 ＝ｖ3Ｌ／（2ｆ0）ｆ0 为 中心频率 （取 ｆ0 ＝10000Ｈｚ）；归一化频率 ｇ＝ｆ／ｆ0 周期数 Ｎ＝5． 2 模式的特征 首先由式 （3）分析该一维固-流结构矩形声子晶 体中弹性波各个模式的透射角 θ0 与归一化频率 ｇ、 ａ和 ｂ的关系．令 ａ＝Ｘλ0ｂ＝Ｙλ0 （λ0 ＝ｖ0Ｌ／ｆ0）由 式 （3）可得： ｓｉｎθ0＝ 1 ｇ （Ｊｘ／2Ｘ） 2＋（Ｊｙ／2Ｙ） 2 Ｊｘ＝012…Ｊｙ＝012… （8） 特别地若弹性波沿 ｘＯｚ面入射则： ｓｉｎθ0＝Ｊｘ／2ｇＸＪｙ＝0Ｊｘ＝012… 若弹性波沿 ｙＯｚ面入射则： ｓｉｎθ0＝Ｊｙ／2ｇＹＪｘ＝0Ｊｙ＝012… 由式 （8）可知该一维固-流结构矩形声子晶体 中弹性波各个模式有以下特征． （1）一维固-流结构矩形声子晶体中弹性波存在 许多模式每个模式由模式量子数 Ｊｘ和 Ｊｙ确定记 为 ［ＪｘＪｙ ］；而在一维非受限声子晶体中弹性波不存 在模式． （2）当 ａ和 ｂ（Ｘ和 Ｙ）一定时模式量子数越大 对应的透射角越大；对同一模式的弹性波ａ和 ｂ（Ｘ 和 Ｙ）越大对应的透射角越小；透射角一定时ａ和 ｂ 越大对应的模式量子数越大． （3）透射波中出现一级禁带的缺陷模其模式 量子数的取值范围：一级禁带的缺陷模出现在 ｇ＝1 附近将式 （8）中的 ｇ取 1又因透射角 θ0受全反射 临界角 θｃ的限制θ0应满足 θ0≤θｃ＝ａｒｃｓｉｎ（ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ） 则有 在 ｘ方向Ｊｘ≤2Ｘ（ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ）Ｊｘ＝012… 在 ｙ方向Ｊｙ≤2Ｙ（ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ）Ｊｙ＝012… （9） 式 （9）为透射波中出现一级禁带的缺陷模其模式量 子数的取值范围的公式．由式 （9）可知一级禁带的 缺陷模其模式量子数的取值范围由 Ｘ和 Ｙ（ａ和 ｂ） 唯一确定Ｘ和 Ｙ越大对应的模式量子数的取值范 围就越大． 3 缺陷模的特征 从前面的分析可知：由于弹性波在一维固-流结 构矩形声子晶体中横向受限使得其缺陷模与一维 非受限声子晶体中弹性波的缺陷模相比有新的特 征．这些新特征最主要表现为：一维固-流结构矩形 声子晶体中弹性波的缺陷模会受模式量子数以及矩 形边长的影响． 下面研究模式量子数以及矩形边长对一维固- 流结构矩形声子晶体中弹性波缺陷模的影响． 3∙1 缺陷模随模式量子数的变化 固定 ａ＝4λ0ｂ＝5λ0由式 （9）可知在这种情 况下 （ｖ0Ｌ／ｖ1Ｌ ＝0∙572）透射波中弹性波的模式量子 数的取值范围为 Ｊｘ≤4Ｊｙ≤5．固定 Ｊｘ＝1计算出 透射系数 ｔ随模式量子数 Ｊｙ和归一化频率 ｇ变化 的立体图如图 2所示．在图 2中横坐标 Ｊｙ是连续 变化的只有当 Ｊｙ＝012345时才是六个模式 对应的缺陷模．在 Ｊｙ＝024处切出图2的切面图 如图 3所示．图 3中细线、中粗线和粗线分别对应 ［10］、［12］和 ［14］三个模式的缺陷模． 由图 2和图 3可知：（1）对于透射波中的 ［1 0］、［12］和 ［14］三个模式都出现了缺陷模这表 明在该固-流结构矩形声子晶体中的弹性波的各个 模式都会出现缺陷模．（2） ［10］、［12］和 ［14］三 个模式的缺陷模其频率中心分别在 ｇ＝1∙015 1∙041∙14处即各模式缺陷模的频率中心随模式 量子数的增加而增大．（3） ［10］、［12］和 ［14］三 个模式的缺陷模其频率的半高宽 （ｆｕｌｌ-ｗｉｄｔｈａｔｈａｌｔ- ｍａｘｉｍｕｍＦＷＨＭ）逐渐减小即各模式的缺陷模其 频率的半高宽随模式量子数的增加而减小． 图 2 透射系数随 Ｊｙ和 ｇ的变化的立体图 Ｆｉｇ．2 3ＤｄｉａｇｒａｍｏｆｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｖｅｒｓｕｓＪｙａｎｄｇ 当矩形的长 ａ和宽 ｂ取其他值时其缺陷模也 有相似的特征．上述缺陷模随模式量子数的变化特 征是一维非受限声子晶体中的弹性波不具有的因 为在一维非受限声子晶体中的弹性波其缺陷模与模 ·794·
第6期 刘启能：固流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波的缺陷模 ,795. 1.0 1.2 =6=4 Y-2 1.01 1.0 0.8 0.8 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 1.0001.0251.0501.0751.1001.1251.150 1.021.031.041.051.061.071.08 。 g 图3缺陷模随：的响应曲线 图5缺陷模随g的响应曲线 Fig 3 Response curves of defectmodes versus g Fig 5 Response curves of defectmodes versus g 式量子数无关 置时，能够通过该声子晶体装置的弹性波只有几个 3.2缺陷模随矩形边长的变化 模式对应的缺陷模，即利用它实现滤波的目的；并且 固定a=4入，计算出弹性波的模式[1,1]的射 可以根据缺陷模随矩形边长的变化规律，通过设计 系数随矩形边长b和归一化频率g变化的立体 不同的边长而实现对不同模式的缺陷模的滤波选 图，如图4所示·为了更清楚地看出缺陷模随矩形 择，这种滤波装置在水下的声波探测中会有重要 边长的变化规律，在b=2入，4入，6入，处切出图4的 作用， 切面图，如图5所示，图5中细线、中粗线和粗线分 别对应b=2入，4入，6入的曲线， 4结论 由图4和图5可知：(1)当b=2入g,4入，6入，时， 本文利用弹性波在一维固流结构矩形声子晶 弹性波的[11]模式其缺陷模的频率中心分别在 体中横向受限的条件，推导出弹性波在一维固流结 g=1.065,1.0281.019处，即缺陷模的频率中心随 构矩形声子晶体中各个模式满足的关系式，利用这 边长的增加而减小，(2)当b=2入，4入，6入，时，弹 个关系式并结合转移矩阵计算出弹性波各模式的缺 性波的[1,1模式的缺陷模的频率半高宽随边长的 陷模随模式量子数和矩形边长的变化规律，得出了 增加而逐渐增大， 一些不同于一维非受限声子晶体中的缺陷模的新特 征，在一维固流结构矩形声子晶体中缺陷模的频 率中心随模式量子数的增加而增大，随边长的增加 而减小.各模式缺陷模的频率半高宽随模式量子数 1.0 0.8 的增加而减小，随矩形边长的增加而增大，一维固- 0.6 1.15 -u.4 流结构矩形声子晶体中的缺陷模的这些特性可以为 0.2 1.10 设计弹性波滤波器提供理论依据 1.05° 参考文献 .00 [1]Kushwaha M S Acoustic band-stnictire of periodic elastic camn- 5 图4透射系数随b和g的变化立体图 posites Phys Rev Lett 1993 71(13):2022 Fig4 3D diagram of transm ission coefficient versus b and g [2]PiG L Zhen Y.Acoustic waves pmpagation n ID multilayerd system-Phys Rev E 2001 63:066611 当模式量子数为其他值时，其缺陷模也有相似 [3]Jesen JS Phononic band gaps and vibrations n one-and wodi 的特征，上述模式的缺陷模随矩形边长的变化特征 mensionalmass spring stnuctumes J Sound Vib 2003 266(5): 1053 也是一维非受限声子晶体中的弹性波不具有的，因 [4]W ang G.Yu D.Wen J H.One dinensional phononic crystals 为在一维非受限声子晶体中的弹性波其缺陷模与矩 with bcally resonant stmuctures Phys Lett A 2004.327(5):512 形边长无关， [5]Martn H.Small-size sonic crystals with strong attenuation bands 3.3缺陷模特性的应用 n the audibl frequeney mange Appl Phys Lett 2004.84(17): 3364 上述缺陷模的特性可以为研制弹性波的滤波器 [6]Hou ZL Fu X J Li Y Y.Singularity of the Bbch theorm n 提供理论依据，由缺陷模随模式量子数的变化规律 the fhid/solid phononic crystal Phys Rev B.2006.73(2):arti 可知：当频率连续分布的弹性波射到该声子晶体装 ceno024304
第 6期 刘启能： 固-流结构矩形掺杂声子晶体中弹性波的缺陷模 图 3 缺陷模随 ｇ的响应曲线 Ｆｉｇ．3 Ｒｅｓｐｏｎｓｅｃｕｒｖｅｓｏｆｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅｓｖｅｒｓｕｓｇ 式量子数无关． 3∙2 缺陷模随矩形边长的变化 固定 ａ＝4λ0计算出弹性波的模式 ［11］的射 系数 ｔ随矩形边长 ｂ和归一化频率 ｇ变化的立体 图如图 4所示．为了更清楚地看出缺陷模随矩形 边长的变化规律在 ｂ＝2λ04λ06λ0处切出图 4的 切面图如图 5所示．图 5中细线、中粗线和粗线分 别对应 ｂ＝2λ04λ06λ0的曲线． 由图4和图5可知：（1）当 ｂ＝2λ04λ06λ0时 弹性波的 ［11］模式其缺陷模的频率中心分别在 ｇ＝1∙0651∙0281∙019处即缺陷模的频率中心随 边长的增加而减小．（2）当 ｂ＝2λ04λ06λ0 时弹 性波的 ［11］模式的缺陷模的频率半高宽随边长的 增加而逐渐增大． 图 4 透射系数随 ｂ和 ｇ的变化立体图 Ｆｉｇ．4 3Ｄｄｉａｇｒａｍｏｆｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｃｏｅｆｆｉｃｉｅｎｔｖｅｒｓｕｓｂａｎｄｇ 当模式量子数为其他值时其缺陷模也有相似 的特征．上述模式的缺陷模随矩形边长的变化特征 也是一维非受限声子晶体中的弹性波不具有的因 为在一维非受限声子晶体中的弹性波其缺陷模与矩 形边长无关． 3∙3 缺陷模特性的应用 上述缺陷模的特性可以为研制弹性波的滤波器 提供理论依据．由缺陷模随模式量子数的变化规律 可知：当频率连续分布的弹性波射到该声子晶体装 图 5 缺陷模随 ｇ的响应曲线 Ｆｉｇ．5 Ｒｅｓｐｏｎｓｅｃｕｒｖｅｓｏｆｄｅｆｅｃｔｍｏｄｅｓｖｅｒｓｕｓｇ 置时能够通过该声子晶体装置的弹性波只有几个 模式对应的缺陷模即利用它实现滤波的目的；并且 可以根据缺陷模随矩形边长的变化规律通过设计 不同的边长而实现对不同模式的缺陷模的滤波选 择．这种滤波装置在水下的声波探测中会有重要 作用． 4 结论 本文利用弹性波在一维固-流结构矩形声子晶 体中横向受限的条件推导出弹性波在一维固-流结 构矩形声子晶体中各个模式满足的关系式．利用这 个关系式并结合转移矩阵计算出弹性波各模式的缺 陷模随模式量子数和矩形边长的变化规律得出了 一些不同于一维非受限声子晶体中的缺陷模的新特 征．在一维固-流结构矩形声子晶体中缺陷模的频 率中心随模式量子数的增加而增大随边长的增加 而减小．各模式缺陷模的频率半高宽随模式量子数 的增加而减小随矩形边长的增加而增大．一维固- 流结构矩形声子晶体中的缺陷模的这些特性可以为 设计弹性波滤波器提供理论依据． 参 考 文 献 ［1］ ＫｕｓｈｗａｈａＭ Ｓ．Ａｃｏｕｓｔｉｃｂａｎｄ-ｓｔｒｕｃｔｕｒｅｏｆｐｅｒｉｏｄｉｃｅｌａｓｔｉｃｃｏｍ- ｐｏｓｉｔｅｓ．ＰｈｙｓＲｅｖＬｅｔｔ199371（13）：2022 ［2］ ＰｉＧＬＺｈｅｎＹ．Ａｃｏｕｓｔｉｃｗａｖｅｓｐｒｏｐａｇａｔｉｏｎｉｎ1Ｄｍｕｌｔｉｌａｙｅｒｅｄ ｓｙｓｔｅｍ．ＰｈｙｓＲｅｖＥ200163：066611 ［3］ ＪｅｓｅｎＪＳ．Ｐｈｏｎｏｎｉｃｂａｎｄｇａｐｓａｎｄｖｉｂｒａｔｉｏｎｓｉｎｏｎｅ-ａｎｄｔｗｏ-ｄｉ- ｍｅｎｓｉｏｎａｌｍａｓｓ-ｓｐｒｉｎｇｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．ＪＳｏｕｎｄＶｉｂ2003266（5）： 1053 ［4］ ＷａｎｇＧＹｕＤＷｅｎＪＨ．Ｏｎｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ ｗｉｔｈｌｏｃａｌｌｙｒｅｓｏｎａｎｔｓｔｒｕｃｔｕｒｅｓ．ＰｈｙｓＬｅｔｔＡ2004327（5）：512 ［5］ ＭａｒｔｉｎＨ．Ｓｍａｌｌ-ｓｉｚｅｓｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓｗｉｔｈｓｔｒｏｎｇａｔｔｅｎｕａｔｉｏｎｂａｎｄｓ ｉｎｔｈｅａｕｄｉｂｌｅｆｒｅｑｕｅｎｃｙｒａｎｇｅ．ＡｐｐｌＰｈｙｓＬｅｔｔ200484（17）： 3364 ［6］ ＨｏｕＺＬＦｕＸＪＬｉｕＹＹ．ＳｉｎｇｕｌａｒｉｔｙｏｆｔｈｅＢｌｏｃｈｔｈｅｏｒｅｍｉｎ ｔｈｅｆｌｕｉｄ／ｓｏｌｉｄｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ．ＰｈｙｓＲｅｖＢ200673（2）：ａｒｔｉ- ｃｌｅｎｏ．024304 ·795·
,796 北京科技大学学报 第32卷 [7]BenchabanelS Khelifl A.ChoujaulA.Interaction of wave guie 57(6):2620 and bealized modes n a phononic crystal Eumophys Lett 2006 72 (曹永车，杨旭.广义Fibonacci谁周期结构声子晶体透射性 (4):570 质的研究.物理学报，200857(6)：2620) [8]Cao Y J Dong C.H.Zhou P Q Transn ission properties of onedi 12]Yu D L Lu Y Z W angG Research on torsional vibration band mensional qusiperiodical phononic crystal Acta Phys Sin 2006 gaps of one dmensional phononic crystals cammposed of mod stmic- 55(12).6470 hures JVib Shock 2006.25(1):104 (曹永军，董纯红，周培勤，一维准周期结构声子晶体透射性 (郁殿龙，刘耀宗，王刚.一维杆状结构声子晶体扭转振动带 质的研究.物理学报.200655(12)：6470) 隙研究.振动与冲击，200625(1)：104) [9]W en JH.W ang G.Liu YZ Lumped mass method on calculation [13]Li Q N.Theoretical study on multi-channels filter of the pho- of elastic band gaps of onedmensional phononic crystals Acta nonic crystals JVib Shocke 2008 27(3):117 Phys Sin2004,53(10).3384 (刘启能.多通道声子晶体滤波器的理论研究.振动与冲击， (温激鸿，王刚，刘耀宗，基于集中质量法的一维声子晶体弹 200827(3):117) 性波带隙计算.物理学报.2004,53(10)：3384) [14]Liu Q N.Effect of inpurity absorption on the ID photonic crystal [10]Wang W G.Liu Z Y,Zhao D G Resonant tunneling of acoustic filters J Vib Shock 2009.28(1):84 waves n ID phononic crystal Acta Phys Sin 2006.55(9): (刘启能·杂质吸收对一维声子晶体滤波器设计的影响，振动 4744 与冲击，2009,28(1)：81) (任文刚，刘正猷，赵德刚.声波在一维声子晶体中共振隧 [15]Lu Q N.Dispersive study on the photonie bandgap of solid and 穿的研究.物理学报，200655(9)：4744) fhi phononic crystal J Synth Cryst 2009.38(1):107 [11]Cao Y J Yang X.Transn ission pmperties of the generalized Fi (刘启能，固流结构声子晶体中弹性波能带的色散研究·人 bonacci quasiperiodical phononic crystal Acta Phys Sin 2008 工晶体学报，2009,38(1)：107)
北 京 科 技 大 学 学 报 第 32卷 ［7］ ＢｅｎｃｈａｂａｎｅｌＳＫｈｅｌｉｆｌＡＣｈｏｕｊａｕｌＡ．Ｉｎｔｅｒａｃｔｉｏｎｏｆｗａｖｅｇｕｉｄｅ ａｎｄｌｏｃａｌｉｚｅｄｍｏｄｅｓｉｎａｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ．ＥｕｒｏｐｈｙｓＬｅｔｔ200672 （4）：570 ［8］ ＣａｏＹＪＤｏｎｇＣＨＺｈｏｕＰＱ．Ｔｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｏｎｅ-ｄｉ- ｍｅｎｓｉｏｎａｌｑｕｓｉ-ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ．ＡｃｔａＰｈｙｓＳｉｎ2006 55（12）：6470 （曹永军董纯红周培勤．一维准周期结构声子晶体透射性 质的研究．物理学报200655（12）：6470） ［9］ ＷｅｎＪＨＷａｎｇＧＬｉｕＹＺ．Ｌｕｍｐｅｄ-ｍａｓｓｍｅｔｈｏｄｏｎｃａｌｃｕｌａｔｉｏｎ ｏｆｅｌａｓｔｉｃｂａｎｄｇａｐｓｏｆｏｎｅ-ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ．Ａｃｔａ ＰｈｙｓＳｉｎ200453（10）：3384 （温激鸿王刚刘耀宗．基于集中质量法的一维声子晶体弹 性波带隙计算．物理学报200453（10）：3384） ［10］ ＷａｎｇＷ ＧＬｉｕＺＹＺｈａｏＤＧ．Ｒｅｓｏｎａｎｔｔｕｎｎｅｌｉｎｇｏｆａｃｏｕｓｔｉｃ ｗａｖｅｓｉｎ1Ｄ ｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ．ＡｃｔａＰｈｙｓＳｉｎ200655（9）： 4744 （王文刚刘正猷赵德刚．声波在一维声子晶体中共振隧 穿的研究．物理学报200655（9）：4744） ［11］ ＣａｏＹＪＹａｎｇＸ．ＴｒａｎｓｍｉｓｓｉｏｎｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＦｉ- ｂｏｎａｃｃｉｑｕａｓｉ-ｐｅｒｉｏｄｉｃａｌｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ．ＡｃｔａＰｈｙｓＳｉｎ2008 57（6）：2620 （曹永军杨旭．广义 Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ准周期结构声子晶体透射性 质的研究．物理学报200857（6）：2620） ［12］ ＹｕＤＬＬｉｕＹＺＷａｎｇＧ．Ｒｅｓｅａｒｃｈｏｎｔｏｒｓｉｏｎａｌｖｉｂｒａｔｉｏｎｂａｎｄ ｇａｐｓｏｆｏｎｅｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓｃｏｍｐｏｓｅｄｏｆｒｏｄｓｔｒｕｃ- ｔｕｒｅｓ．ＪＶｉｂＳｈｏｃｋ200625（1）：104 （郁殿龙刘耀宗王刚．一维杆状结构声子晶体扭转振动带 隙研究．振动与冲击200625（1）：104） ［13］ ＬｉｕＱＮ．Ｔｈｅｏｒｅｔｉｃａｌｓｔｕｄｙｏｎｍｕｌｔｉ-ｃｈａｎｎｅｌｓｆｉｌｔｅｒｏｆｔｈｅｐｈｏ- ｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌｓ．ＪＶｉｂＳｈｏｃｋ200827（3）：117 （刘启能．多通道声子晶体滤波器的理论研究．振动与冲击 200827（3）：117） ［14］ ＬｉｕＱＮ．Ｅｆｆｅｃｔｏｆｉｍｐｕｒｉｔｙａｂｓｏｒｐｔｉｏｎｏｎｔｈｅ1Ｄｐｈｏｔｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ ｆｉｌｔｅｒｓ．ＪＶｉｂＳｈｏｃｋ200928（1）：84 （刘启能．杂质吸收对一维声子晶体滤波器设计的影响．振动 与冲击200928（1）：84） ［15］ ＬｉｕＱＮ．Ｄｉｓｐｅｒｓｉｖｅｓｔｕｄｙｏｎｔｈｅｐｈｏｔｏｎｉｃｂａｎｄｇａｐｏｆｓｏｌｉｄａｎｄ ｆｌｕｉｄｐｈｏｎｏｎｉｃｃｒｙｓｔａｌ．ＪＳｙｎｔｈＣｒｙｓｔ200938（1）：107 （刘启能．固-流结构声子晶体中弹性波能带的色散研究．人 工晶体学报200938（1）：107） ·796·