解此方程得： x=xo coS @0t, 显然，这时A和B的运动就 是自由的无耦合的单摆的 X2=xo cos 0t, 运动，并且A和B的振幅、 相位都相等，两者间距也 式中 保持不变。这是耦合摆的 一种特殊运动状态，亦 00= 即耦合系统的一种简正模： 系统中每一个质点均以相 同频率和相位作简谐振动。 即为单摆作小角度摆动 时的角频率
解此方程得： 即为单摆作小角度摆动 时的角频率。 l g ω 0 = ,cos ,cos 02 0 01 0 txx txx ω ω = = 式中 显然，这时 A 和 B的运动就 是自由的无耦合的单摆的 运动，并且 A 和 B的振幅、 相位都相等，两者间距也 保持不变。这是耦合摆 的 一种特殊运动状态，亦 即耦合系统的一种简正模： 系统中每一个质点均以 相 同频率和相位 作简谐振动
情形二：把A和B同时沿相反 的方向拉开相同的角度，然后 同时由静止释放。此时，A、 B不仅受重力和绳的张力，而 且受连接两摆的弹簧施加的力 B●》》-●A 作用，其运动方程为： 02 工2 d2x1+8x1+ 2k dt2 1=0， m d2x2 2k dt2 +gx2+ -x2=0 m 上式可简写为： dt2 x1=0, d2x2+02x2=0, dt2
情形二：把A和B同时沿相反 的方向拉开相同的角度，然后 同时由静止释放。此时，A、 B不仅受重力和绳的张力，而 且受连接两摆的弹簧施加的力 作用，其运动方程为： .0 2 d d ,0 2 dd 2 2 2 2 2 2 1 1 1 2 =++ =++ x m k x l g t x x m k x l g t x 上式可简写为： ,0' dd ,0' dd 2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 =+ =+ x t x x t x ω ω
。- 式中 利用初始条件t=0时， ==x及班=血=0 dt dt 得x1=-x0c0s0't, X2=xo coS @'t. 由此可见，在这种情况下，A、B仍以相同频率ω作 简谐振动，但由于弹簧的作用，使频率o>@,并且 在运动中A和B之间的相位差始终为π
由此可见，在这种情况下， A 、 B仍以相同频率ω′ 作 简谐振动，但由于弹簧的作用，使频率ω′ > ω0 ，并且 在运动中 A 和 B之间的相位差始终为 π 。 .'cos ,'cos 02 1 0 txx txx ω ω = = − 2/1 ) 2 (' m k l g ω += t = 0 及 0， d d d d , 21 0201 ===−= t x t x xxxx 式中 利用初始条件 时， 得
综合情形一和情形二，可得以下结论： 具有两个自由度的系统可以有两种简正模，即 低频模式：X1=x2,01=00= 此时，两质点作同相位的简谐振动，振动频率相同 且等于无耦合时自由振动的频率。 此时，两质点作频率相同但相位相反的简谐振动，但 振动频率将大于无耦合时自由振动的频率
综合情形一和情形二，可得以下结论： 具有两个自由度的系统可以有两种简正模，即 低频模式： 此时，两质点作同相位的简谐振动，振动频率相同 且等于无耦合时自由振动的频率。 此时，两质点作频率相同但相位相反的简谐振动，但 振动频率将大于无耦合时自由振动的频率。 高频模式： l g xx , ωω 0l21 === 2/1 1 h2 ) 2 (', m k l g xx ωω +==−=