3.2柯西定理及其推广 1柯西定理 2柯西定理的推广
3.2 柯西定理及其推广 1 柯西定理 2 柯西定理的推广
1柯西定理 定理3.1设C是一条简单正向闭曲线,f(z)在以C为边界的有 界闭区域D上解,那么 SCf(a)d2=0 证设=x+ijy,f(-)=+i,f()=l1+iv=v,-i在D上连 续,则 Judx-vdy=r eddy=0, vdxtudy= aVax dy=0 故 Sf(a)dz=0 例如若C:1=1,则=0cd:=0 2柯西定理的推广 定理3.2设D为由外线路C0及内线路C1,C2,…,C围成的有 界多连通域(如图3.6),f(=)在D内及边界线C0,C1,C2,…,Cn 上解析,那么 e)()dz=0 (此处有图3.6) 这里C为D的所有边界,其方向是 C0按逆时针方向取,Ck(k=0,1,…,H)按顺时针方向取 证用弧S1,S2,…,Sn+按图所示将区域D分割成两个单连通域, C"、C'分别表示这两个单连通域的边界线,那么根据柯西定理有
1 柯西定理 定理 3.1 设C 是一条简单正向闭曲线, f z)( 在以C 为边界的有 界闭区域D上解,那么 = 0d)( ∫ zzf C . 证 设 z = x + y,i f = uz + v,i)( uvvuzf yyxx ′ = + = − ii)( 在 D上连 续，则 = ,0dd)(dd ∂ ∂ − ∂ ∂ −=− ∫∫∫ yx y u x v yvxuC D = .0dd)(dd ∂ ∂ − ∂ ∂ =+ ∫∫∫ yx y v x u yuxvC D 故 = 0d)( ∫ zzf C 例如 若C： ，则 z =1|| ;0 cos d = ∫C z z .0de 2 = ∫ zz C z 2 柯西定理的推广 定理 3.2 设D为由外线路 及内线路 , ,…, 围成的有 界多连通域(如图 3.6), C0 C1 C2 Cn f z)( 在D内及边界线 , , ,…, 上解析,那么 C0 C1 C2 Cn = 0d)( ∫ zzf C . (此处有图 3.6) 这里C 为D的所有边界,其方向是 C0按逆时针方向取, kC n) , ,1 ,0( k = L 按顺时针方向取. 证 用弧 , ,…, 1s 2s n+! s 按图所示将区域 D分割成两个单连通域, C'、C '' 分别表示这两个单连通域的边界线，那么根据柯西定理有
f()d==0,[cf()dz=0 从而 [f()d=+[e()d==0 由于沿弧S1,S2,…,Sn+的积分在沿C"和C"的积分中各出现 次,且互为反方向,故在上式左端的积分中它们相互抵消形成了 Sf(a)dz+f(a)dz=f(a)dz, 所以 fo 2)d2 0 定理得证. 定理中()dz=0也可写成 。f()dz=(-+[+…+c-)()d 特别地,当D的内线路中有一条线路C1时,(如图3.7) cf()dz=」f()d 这里有图3.7 这个事实称为闭路变形原理. d z 例 这里有图3.8 C为如图3.8所示所有的边界线 dz dz 例 这里有图3.9 C和C1为如图3.9所示的边界线 由柯西定理进一步可得 定理33设f(=)是在单连通域D内的解析函数
0d)( ， ' ∫ zzf = C 0d)( '' ∫ zzf = C . 从而 zzf C d)( ' ∫ 0d)( '' + ∫ zzf = C . 由于沿弧 , ,…, 1s 2s n+! s 的积分在沿C'和C '' 的积分中各出现一 次,且互为反方向,故在上式左端的积分中它们相互抵消形成了 zzf C d)( ' ∫ + ∫ zzf = C d)( '' zzf C d)( ∫ , 所以 = 0d)( ∫ zzf C . 定理得证. 定理中 = 0d)( 也可写成 ∫ zzf C zzf zzf C CC Cn (d)( d)() 0 21 += −− +L+ ∫∫∫∫ − . 特别地,当D的内线路中有一条线路 时,(如图 3.7) C1 zzfzzf C C d)(d)( 0 1 = ∫∫ . 这里有图 3.7 这个事实称为闭路变形原理. 例 0 )1( d = − ∫C zz z , 这里有图 3.8 C为如图 3.8 所示所有的边界线. 例 = ∫∫ 0 1 d d C C z z z z , 这里有图 3.9 C0和 为如图 3.9 所示的边界线. C1 由柯西定理进一步可得: 定理 3.3 设 f z)( 是在单连通域D内的解析函数
(1)若C是D内连接两点二0及z的任一条简单曲线,那么沿C的 积分 f(s)ds 不依赖于曲线C,由二0及二决定,这时 lcJ(s)ds=」f(s)ds 2)固定z0,而让z在D内任意取值,那么F()=f(s)ds在 D内解析,且F(=)=∫(=) (3)若d(二)为f(二)在D内的原函数,二0,21为D内两点,那么 「f(-)dz=(=1)-p(=0) 证(1)设C"是D内连接二及z的另一条任意曲线,(如图3.10), 由柯西定理知 这里有图3.10 S_cf(s)ds=Lf(s)ds-Jf(s)ds 即 Lf(s)ds=f(s)ds 若令f(二)=l+iv,有 d x-vay udr-vdy, ydx+udy=jvdx+udy 所以积分f(ds与路径无关仅由可,来确定 (2)因为F(z+△)-F()=f()ds,(z+AeD)
(1) 若C 是 D内连接两点 z0及 z 的任一条简单曲线,那么沿C 的 积分 ∫C d)( ssf 不依赖于曲线C,由 z0及 z 决定,这时 = . ∫C d)( ssf ∫ z z ssf 0 d)( (2) 固定 0z ,而让 z 在 D内任意取值,那么 F z)( = ∫ 在 C d)( ssf D内解析,且F z = f z)()(' . (3) 若Φ z)( 为 f z)( 在D内的原函数, z0 , 为1z D内两点，那么 )()(d)( . 1 0 1 0 zzzzf z z∫ Φ−Φ= 证 (1) 设C'是D内连接 及0z z 的另一条任意曲线, (如图 3.10), 由柯西定理知: 这里有图 3.10 0d)(d)(d)( ' ' ∫ = − ∫∫ = − ssfssfssf CC C C , 即 ssfssf , C C d)(d)( ' = ∫∫ 若令 f z = u + i)( v ,有 yvxuyvxuC C dddd ' ∫ − = ∫ − , yuxvyuxv C C dddd ' ∫ + = ∫ + . 所以积分 ssf 与路径无关,仅由 C d)( ∫ 0z , z 来确定. (2) 因为 ∫ +Δ =−Δ+ zz z d)()()( ssfzFzzF ,（ z Δ+ z ∈ D）