--HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 例2.曲线的切线斜率 圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交 点的直线”,但对一般曲线而言.这一定义是不 合适的如y=x2,x轴和y轴与曲线都只有一个交 点,以哪条直线作为切线呢?如图 高等數粤
例2. 曲线的切线斜率 圆的切线可定义为“与曲线(圆)只有一个交 点的直线”，但对一般曲线而言. 这一定义是不 合适的.如y=x 2 , x 轴和 y 轴与曲线都只有一个交 点，以哪条直线作为切线呢？如图 y=x 2 0 x y
--HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 又如,y=x,如图又比如,y=sinx,如图 siNx 丌 x 从直观上看,应以y=作为y=snx在处的 切线,但y=1与曲线y=Snx有无穷多交点 高等數粤
又如，y = x 3 , 如图 又比如，y=sinx, 如图 1 sin . 2 1 sin 切线，但 与曲线 有无穷多交点 从直观上看，应以 作为 在 处的 y y x y y x = = = = 0 x y=x 3 y 0 x y y=sinx 1 –1 2
--HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 切线的一般定义:如图 设有曲线C及C上一点M,y 在M点外任取C上一点N, 作割线MN,当点N沿曲 N∠T 线C趋向点M时,如果割 线MN趋向于它的极限位 置MT,则称直线MT为曲 0 线C在点M处的切线 高等數粤
切线的一般定义：如图 设有曲线 C 及 C上一点 M ， 在 M点外任取 C上一点 N ， 作割线MN ，当点 N沿曲 线 C趋向点 M时，如果割 线MN趋向于它的极限位 置MT，则称直线MT为曲 线C在点M处的切线. T M x y0 N C N
--HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG 下面讨论曲线C:y=f(x)在点Mxo2y)处的 切线斜率问题 设N的坐标为 yf() (x(NM入1y+△y-… T 线MN的倾角为 M 切线M的倾角为 O.如图 x +△ 高等數粤
下面讨论曲线C：y = f (x), 在点M(x0 , y0 )处的 切线斜率问题. 设N的坐标为 (x0+x, y0+y), 割 线MN的倾角为, 切线MT的倾角为 . 如图 T y=f (x) M x x0 x0+x x y 0 N C y0+y y0 P
--HU NAN DA XUE JING PIN KE CHENG y-f(x) 割线M的斜率 y+△y N k=tgp T NP△ P △ MP△x x f(x+△x)-f(x)0 x0+△x △ 当Ax→>0时,N沿C趋于M,MN→MT 从而q>O因此,tggO 高等數粤
割线 MN 的斜率 k = tg 当x→0 时, N 沿 C 趋于M, MN → MT. 从而→. 因此, tg→tg. T y=f (x) M x x0 x0+x x y 0 N C y0+y y0 x f x x f x + − = ( ) ( ) 0 0 MP NP = x y = P