2.3.一阶线性方程7(2)若f"(ko)>1,则有无穷多个解与y=ko相切.证明设u=,则ulr=f(u)-.显然可知f(ho)=ko.LTEX本题未完待续82.3一阶线性方程我们称y+P(r)y=Q(a)型的方程为一阶线性方程，如果Q三0，称它是齐次的.对于齐次的情况，我们很容易通过分离变量法求解。对于非齐次的情况，我们可以先按照Q三0的情况来解，之后将解中的常数C换成一个未知函数u，代入到这个非齐次方程，将u解出来，这就是常数变易法.由此得到线性方程的通解：y() =e-J P(z)da (/ Q(a)eJ P(a)dsdr +C)对于这个公式的理解应该是：每个不定积分号表示的是取定某个定积分，并且前后两个e指数上的不定积分取的是同一个原函数.不过对于许多一阶线性方程，我们不一定循规蹈矩地按照如上公式或常数变易法进行，而可以通过观察进行凑微分，【例2.3.1】ry'-2y=2r4.解可以构造()=2.参考答案:y=2*+Ca2.【例2.3.2】(r+y2)dy=ydr.解很多时候，打破定势思维，将看作是y的函数会得到比较好的结果.参考答案：=y+Cy，特解y=0【例2.3.3】 (sin2y +acot y)y' =1.解并不是说已经有y的情况下，你就不可以将看作是y的函数了，只要把dy=0的情况单独考虑即可参考答案：工=-sinycosy+Ccosy【例2.3.4】(2r+y)dy=ydr+4lnydy解并不是说已经有y的情况下，你就不可以将看作是y的函数了：只要把dy=0的情况单独考虑即可本题在积分因子法还会出现．参考答案：+21n2y-y=C.y-【例2.3.5】证明Gronwall不等式：如果y+a(a)y≤0（a≥0)，则y(a)≤y(0)exp/-/ a(s)dsa7口/a(s)ds/)≤0即可证明注意到(g(z)exp/82.4积分因子法积分因子法相对灵活许多，需要根据具体情况具体分析.对于Pdr+Qdy=0，如果Py=Q，称之为恰当方程.对于任意的恰当方程，总是存在Φ(r,y)，使得d(r,y) = P(r,y)dr+Q(r,y)dy因此Φ（，y）=C即为恰当方程的通积分，如果它不是恰当方程，那我们通过取恰当的积分因子μ，使μ(,y)P(,y)d+μ(r,y)Q(,y)dy=0成为一个恰当方程，这种方法就是积分因子法【例2.4.1](ye+2e+y2)dr+(e+2ry)dy=0.解经检验，Pu=Q=e+2y，因此它已经是恰当方程了.因此Φ=ye+2e+y? → (r,y)=ye +2e+ry?+f(y)
2.3. 一阶线性方程 7 (2)若f 0 (k0) > 1, 则有无穷多个解与y = k0x相切. 证明 设u = y x , 则u 0x = f(u) − u. 显然可知f(k0) = k0. LATEX本题未完待续. §2.3 一阶线性方程 我们称y 0 + P(x)y = Q(x)型的方程为一阶线性方程, 如果Q ≡ 0, 称它是齐次的. 对于齐次的情况, 我们很 容易通过分离变量法求解. 对于非齐次的情况, 我们可以先按照Q ≡ 0的情况来解, 之后将解中的常数C换成一 个未知函数u, 代入到这个非齐次方程, 将u解出来, 这就是常数变易法. 由此得到线性方程的通解: y(x) = e− ´ P (x)dx ˆ Q(x)e ´ P (s)dsdx + C . 对于这个公式的理解应该是: 每个不定积分号表示的是取定某个定积分, 并且前后两个e指数上的不定积 分取的是同一个原函数. 不过对于许多一阶线性方程, 我们不一定循规蹈矩地按照如上公式或常数变易法进行, 而可以通过观察进行凑微分. 【例2.3.1】xy0 − 2y = 2x 4 . 解 可以构造 y x 2 0 = 2x. 参考答案: y = x 4 + Cx2 . 【例2.3.2】(x + y 2 )dy = ydx. 解 很多时候, 打破定势思维, 将x看作是y的函数会得到比较好的结果. 参考答案: x = y 2 + Cy, 特解y = 0. 【例2.3.3】(sin2 y + x cot y)y 0 = 1. 解 并不是说已经有y 0的情况下, 你就不可以将x看作是y的函数了. 只要把dy = 0的情况单独考虑即可. 参考答案: x = − sin y cos y + C cos y. 【例2.3.4】(2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy. 解 并不是说已经有y 0的情况下, 你就不可以将x看作是y的函数了. 只要把dy = 0的情况单独考虑即可. 本题在积分因子法还会出现. 参考答案: x y 2 + 2 ln2 y − y = C. 【例2.3.5】证明Gronwall不等式: 如果y 0 + a(x)y 6 0 (x > 0), 则y(x) 6 y(0) exp − ˆ x 0 a(s)ds . 证明 注意到 d dx y(x) exp ˆ x 0 a(s)ds 6 0即可. §2.4 积分因子法 积分因子法相对灵活许多, 需要根据具体情况具体分析. 对于Pdx + Qdy = 0, 如果Py = Qx, 称之为恰当 方程. 对于任意的恰当方程, 总是存在Φ(x, y), 使得 dΦ(x, y) = P(x, y)dx + Q(x, y)dy 因此Φ(x, y) = C即为恰当方程的通积分. 如果它不是恰当方程, 那我们通过取恰当的积分因子µ, 使 µ(x, y)P(x, y)dx + µ(x, y)Q(x, y)dy = 0 成为一个恰当方程, 这种方法就是积分因子法. 【例2.4.1】(ye x + 2ex + y 2 )dx + (ex + 2xy)dy = 0. 解 经检验, Py = Qx = ex + 2y, 因此它已经是恰当方程了. 因此 Φx = ye x + 2ex + y 2 ⇒ Φ(x, y) = ye x + 2ex + xy2 + f(y)
8CHAPTER2.一阶常微分方程的初等解法代入Φ=er+2ry，有：f(y)=0,因此通积分为ye+2e"+ry?=C【例2.4.2】(2r+y)dy=ydr+4lnydyInydy解本题使用分组积分法：yda-2rydy+4ylnydy-ydy=0,即d(-0)+4dyy233y主分指要侧机分，有元一2+==C.经检验，y=0不是特解.y2上述分组积分法的关键在于，某些项只含有其中一个变量，因此只要选取只含该变量的积分因子，使得其余部分可化为全微分，那么整个方程就化为了恰当方程【例2.4.3】dyyda=V2+y+a1解rdr+ydy=V2+ydr.积分因子是.参考答案：y=2C+C2Vr2+y?本题当然可以使用齐次方程的做法，但是会比积分因子繁杂许多．这道题的积分因子是比较常规的形式，因此可以直接看出来.许多常见的形式有：ydr -rdyrdr + ydy=d(V2+)ydr + rdy = d(ry)dy?yVr2+y?ydr -rdyrdr + ydy= d(arctan =)dln(r2+y)r + y??+y?u2adr +ydyydr - rdy【例2.4.4】=0.12+y2V1+r?+y?解参考答案：Vi+r2+y+arctan==C.2【例2.4.5】(2ry?-y)dr+(y++y)dy=0.解容易观察，只要除以?就能处理好rdy-ydr.参考答案：r2-=+y+lnl=C，特解y=0.y1(sing-/1cs2Tcos+1)dr+【例2.4.6】sin-+dy=0osy2Ty)T12Iy(y1-sing=C解直接分组积分。参考答案：cOs-T+2【例2.4.7】(-y2)dr+2rydy=0.解容易观察，只要除以r2就能处理好2aydy一y2dz.参考答案：lnal+y2=Ca，特解工=0.而很多积分因子是很难直接看出来的，如果直接考察(μP)=（uQ)是更加困难的问题.但是，我们可以假定只与一个变量有关，此时，这个偏微分方程就能够化简比较简单的形式，不过这需要这个偏微分方程只含有你假定有关的那个变量，不然这个操作还是行不通的【例2.4.8】(2y?-1)dy+2ry3d=0.解（r?y-1)μ-2rpy-4ryμ=0.因此可以假设μ与r无关，则yp+2μ=0,μ(y)=-y-2参考答案：a2y2+1=Cy，特解y=0【例2.4.9] yerdr+(y- re)dy=0.解积分因子：μ=y-2.参考答案：e+ln3l=C.【例2.4.10】若方程dy一f(r,y)dr=0有只依赖于r的积分因子，试证它一定是线性方程口证明，Ha+fuu=0，因此fu与y无关，故f是y的线性函数.这道证明题揭示了一个令人失望的观点：凡是积分因子只与一个变量有关的，都可以化为线性方程求解不过积分因子法处理线性方程是有它的价值所在的，因为这种方法可以让我们方便地算出积分因子，而避免了常数变易法的复杂运算.在2.9节会有几个较难的例题
8 CHAPTER 2. 一阶常微分方程的初等解法 代入Φy = ex + 2xy, 有: f 0 (y) = 0, 因此通积分为ye x + 2ex + xy2 = C. 【例2.4.2】(2x + y)dy = ydx + 4 ln ydy. 解 本题使用分组积分法: y 2dx − 2xydy + 4y ln ydy − y 2dy = 0, 即d( x y 2 ) + 4ln y y 3 dy − dy y 2 = 0. 因此两侧积分, 有: x y 2 − 2 ln y + 1 y 2 + 1 y = C. 经检验, y = 0不是特解. 上述分组积分法的关键在于, 某些项只含有其中一个变量, 因此只要选取只含该变量的积分因子, 使得其余部分 可化为全微分, 那么整个方程就化为了恰当方程. 【例2.4.3】 dy dx = y p x 2 + y 2 + x . 解 xdx + ydy = p x 2 + y 2dx. 积分因子是 1 p x 2 + y 2 . 参考答案: y 2 = 2Cx + C 2 . 本题当然可以使用齐次方程的做法, 但是会比积分因子繁杂许多. 这道题的积分因子是比较常规的形式, 因此可以直接看出来. 许多常见的形式有: ydx + xdy = d(xy) ydx − xdy y 2 = d x y xdx + ydy p x 2 + y 2 = d(p x 2 + y 2) ydx − xdy x 2 + y 2 = d(arctan x y ) xdx + ydy x 2 + y 2 = 1 2 d ln(x 2 + y 2 ) 【例2.4.4】 xdx + ydy p 1 + x 2 + y 2 + ydx − xdy x 2 + y 2 = 0. 解 参考答案: p 1 + x 2 + y 2 + arctan x y = C. 【例2.4.5】(2xy2 − y)dx + (y 2 + x + y)dy = 0. 解 容易观察, 只要除以y 2就能处理好xdy − ydx. 参考答案: x 2 − x y + y + ln |y| = C, 特解y = 0. 【例2.4.6】 1 y sin x y − y x 2 cos y x + 1 dx + 1 x cos y x − x y 2 sin x y + 1 y 2 dy = 0. 解 直接分组积分. 参考答案: cos x y − sin y x − x + 1 y = C. 【例2.4.7】(x − y 2 )dx + 2xydy = 0. 解 容易观察, 只要除以x 2就能处理好2xydy − y 2dx. 参考答案: x ln |x| + y 2 = Cx, 特解x = 0. 而很多积分因子是很难直接看出来的, 如果直接考察(µP)y = (µQ)x是更加困难的问题. 但是, 我们可以假 定µ只与一个变量有关, 此时, 这个偏微分方程就能够化简比较简单的形式, 不过这需要这个偏微分方程只含有 你假定有关的那个变量, 不然这个操作还是行不通的. 【例2.4.8】(x 2y 2 − 1)dy + 2xy3dx = 0. 解 (x 2y 2 − 1)µx − 2xy3µy − 4xy2µ = 0. 因此可以假设µ与x无关, 则yµy + 2µ = 0, µ(y) = −y −2 . 参考答案: x 2y 2 + 1 = Cy, 特解y = 0. 【例2.4.9】ye x y dx + (y − xe x y )dy = 0. 解 积分因子: µ = y −2 . 参考答案: e x y + ln |y| = C. 【例2.4.10】若方程dy − f(x, y)dx = 0有只依赖于x的积分因子, 试证它一定是线性方程. 证明 µx + fyµ = 0, 因此fy与y无关, 故f是y的线性函数. 这道证明题揭示了一个令人失望的观点: 凡是积分因子只与一个变量有关的, 都可以化为线性方程求解. 不过积分因子法处理线性方程是有它的价值所在的, 因为这种方法可以让我们方便地算出积分因子, 而避免了 常数变易法的复杂运算. 在2.9节会有几个较难的例题
92.5.因变量可解出型82.5因变量可解出型我们研究y=f(p,)型方程.这种方程可以考虑对两侧求导：p=fi(p,r)p+f(p,a).虽然这样不一定总可以让我们能够得到答案，但是给出了一种可行的方法.唯一需要注意的是，这样操作会使方程变为二阶，从而会导致多出一个常数，因此最终要注意检查并排除增根dy.(dy)【例2.5.1】y=(drdrdp或p=C.分别代入原方程，有：=0.因此p=解两侧对r求导得：(r+2p)2dr12或y=Cr+C2y=:4【例2.5.2】2y=p?+4p+22解本题可以使用上述常规做法进行，不过可以有如下观察：2(y +±2) = (p + 2r)2 = (y +2))272c2, 特解y = -r2.参考答案：y=-号+Ca+【例2.5.3] y=pr ln + (rp)2.Ina解两侧对求导得：(p+ap)(ln+2rp)=0,因此p=C或pr=2Lina这时直接将rp整体代入即可：y=Cln工+C2,特解y=4【例2.5.4】2rp=2tany+p’cos? y.解注意到2rpcosy=2siny+(pcosy)3，且(siny)=pcosy，因此设u=siny，故u=ru-2(uy33两侧对求导：u=ru"+u--)u"→ (a-号(u)")u"= 0. 如果u = C, 则u= C- C32(2）号n3u2) = 0, 则u=如果(z-.参考答案：siny=Ca-C3,特解r=282.6参数变换法参数变换，指的是根据方程的具体形式，将工，y，p中的二者进行参数变换，从而能够解出，y关于参数的关系，这样就得到了解的一个参数表示，【例2.6.1】2-3p2=1.1g(t)可得：g(t)=sinht.则p=sinh2t解设=cosht,p=V3r'(t)V31(1t参考答案：r=cosht，y=sinh2t- +C.(42上述使用双曲三角函数变换，是因为一般在积分中遇到这种形式，使用tan和sec变换的计算更复杂【例2.6.2】p+y-2=0.du212_11解先使用直接求导法：p=2-2pp，即p=P-设u==(u+ )(1-u-u2),V17- 1y = r2 - p2,-4参考答案：其中2a2和y=号Ba2特解y=CV17 + 1[(p-α) = C(p- βr)P.B:4【例2.6.3】3+p=4rp4t8321解置p=rt.参考答案：a=31+t3+c.1+t3.y(1 + t3)2
2.5. 因变量可解出型 9 §2.5 因变量可解出型 我们研究y = f(p, x)型方程. 这种方程可以考虑对两侧求导: p = f 0 1 (p, x)p 0 + f 0 2 (p, x). 虽然这样不一定总 可以让我们能够得到答案, 但是给出了一种可行的方法. 唯一需要注意的是, 这样操作会使方程变为二阶, 从而 会导致多出一个常数, 因此最终要注意检查并排除增根. 【例2.5.1】y = x dy dx + dy dx 2 . 解 两侧对x求导得: (x + 2p) dp dx = 0. 因此p = − x 2 或p = C. 分别代入原方程, 有: y = − x 2 4 或y = Cx + C 2 . 【例2.5.2】2y = p 2 + 4px + 2x 2 . 解 本题可以使用上述常规做法进行, 不过可以有如下观察: 2(y + x 2 ) = (p + 2x) 2 = ((y + x 2 ) 0 ) 2 . 参考答案: y = − x 2 2 + Cx + 1 2 C 2 , 特解y = −x 2 . 【例2.5.3】y = px ln x + (xp) 2 . 解 两侧对x求导得: (p + xp0 )(ln x + 2xp) = 0, 因此xp = C或px = − ln x 2 . 这时直接将xp整体代入即可: y = C ln x + C 2 , 特解y = − 1 4 ln2 x. 【例2.5.4】2xp = 2 tan y + p 3 cos2 y. 解 注意到2xp cos y = 2 sin y + (p cos y) 3 , 且(sin y) 0 = p cos y, 因此设u = sin y, 故u = xu0 − 1 2 (u 0 ) 3 . 两侧对x求导: u 0 = xu00 + u 0 − 3 2 (u 0 ) 2u 00 ⇒ (x − 3 2 (u 0 ) 2 )u 00 = 0. 如果u 0 = C, 则u = Cx − C 3 . 如果(x − 3 2 u 02 ) = 0, 则u = 2 3 x 3 2 . 参考答案: sin y = Cx − C 3 , 特解x = 3 2 sin 2 3 y. §2.6 参数变换法 参数变换, 指的是根据方程的具体形式, 将x, y, p中的二者进行参数变换, 从而能够解出x, y关于参数的关 系, 这样就得到了解的一个参数表示. 【例2.6.1】x 2 − 3p 2 = 1. 解 设x = cosh t, p = 1 √ 3 sinh t. 则p = y 0 (t) x 0(t) 可得: y 0 (t) = 1 √ 3 sinh2 t. 参考答案: x = cosh t, y = 1 √ 3 1 4 sinh 2t − t 2 + C. 上述使用双曲三角函数变换, 是因为一般在积分中遇到这种形式, 使用tan和sec变换的计算更复杂. 【例2.6.2】p 2 + y − x 2 = 0. 解 先使用直接求导法: p = 2x − 2pp0 , 即p 0 = x p − 1 2 . 设u = x p − 1 2 , 则 x du dx = (u + 1 2 )(1 − 1 2 u − u 2 ). 参考答案: y = x 2 − p 2 , (p − αx) α = C(p − βx) β . 其中 α = √ 17 − 1 4 , β = − √ 17 + 1 4 . 特解y = 1 2 αx2和y = 1 2 βx2 . 【例2.6.3】x 3 + p 3 = 4xp. 解 置p = xt. 参考答案: x = 4t 1 + t 3 , y = − 8 (1 + t 3) 2 + 32 3 1 1 + t 3 + C