西华师范大学：《算法与程序设计》课程教学资源_第九章 常微分初值问题的数值解

这里:y=(ny1…,yn) 在讨论初值问题时,我们从一阶方程开始: y=J, x0)=y ·当(xy)与y无关时,fxy)=g(x) 则初值问题 g 变为积分问题 y=8 故求解微分方程具有更广泛的意义。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》

       
  

            



       

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9.12数值解及其重要性 ODE的解很少能用初等函数及其 不定积分的组合表示。例如方程 y=r+y2 不能表示为初等函数,故得不到精确解。 有的解可以表示为自变量的显示形式, 但仍然得不到精确解。例如 v=1-2xy 的解是 ya)=e hedt 而[ed难以求积。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》

    

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9.1.3ODE数值解的基本思想和方法特点 基本思想有两点 1.离散化 用 Taylor级数,数值积分和差商逼近导数等手段, 把ODE转化为离散的代数方程(称差分方程)。 2.递推化 在具有唯一解的条件下,通过步进法逐步计算出解 在一系列离散点上的值。从而得到原ODE的数值近似解。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》

     

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初值问题解法 我们讨论一阶ODE,而高阶可能化为一阶 ODEs。一阶初值问题 可以一般地写成: xy)x∈x dx 1 9.2欧拉( Euler)方法 Euler方法是求解(9-8)最简单方法,但精度差, 故不实用。然而对理论分析很有用。 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》

    

     


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921方法原理及推导 设初值问题(98)满足: a)f在区域R:xn≤x≤X,y<0 内连续。 b)f关于y满足 Lipschi条件 彐常数L>0,对v(x,n)(x,y2)∈R f(x, y)-f(x, y 2)<Ly-y2 那么(9-8)就存在唯一的解。 a),b)可用更强的,但便于检验的 条件来代替: 在R内有界。 y 西华师范大学数学与信息学 《计算方法》

      
 
 






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