D0I:10.13374/j.issn1001-053x.1986.01.029 北京钢铁学院学报 1986年3月 Journal of Beijing University No.1 第1期 of Iron and steel Technology March1986 塑性理论变分原理及其有限元公式 乔端 (村料力学教研室) 摘要 ；本文提出了流动理论中粘塑性、刚塑性材料和形变理论中弹塑性材料的广义变分原理，推导出相应的有 限元公式，证明了在一定条件下，以不同的本构关系为基础的变分原理可以写成统一的形式。 关键词：木构方程，功率函数，广义变分原理，有限元公式。 Variational Principles in Plasticity and Thier Finite Element Formulas Qiao Duan Abstract In this paper,we first provethe elastic/viscoplastic variational 'princ- iple and regard therigid/viscoplastic,elastic-plastic and rigid-plastic va- riational principle as its special case,then derive the finite element formu- 1 as. The constitutive cquations of elastic/viscoplastic material are eq.(2- 14),(2-16). Suppose the strain-hardening function of material is H=H (,), then have eq.(2-17). Usually,de is rather small,we can obtain eq.(2-18).Finally,we have eq.(2-22). The elastic/viscoplastic variational principle says:Among all the possi- ble vi,eii,the actual solution renders the functional (2-23)a stationary value. 1985-07一12收到 ·135·
年 月 第 期 北 京 钢 铁 学 院 学 报 ‘ 甲 ‘ 护 塑性理论变分原理及其有限元公式 乔 端 材料 力学教 研室 摘 要 本 文提 出了 流 动理 论 中粘塑性 、 刚塑性 材料和 形 变理 论 中弹 塑性 材料的广 义 变分原 理 ， 推导 出相应的 有 限元公 式， 证明了 在一 定条件下 ， 以不 同的 本构 关 系 为基 础的 变分原 理可 以写 成统一的 形 式 。 关键 词 木构方程 ， 功 率函数 ， 广 义 变分原理 ， 有限元公 式 。 ， 飞 一 ， 一 惬锣 勺， 岁 惬多卿 ， ， ， 一 一 ， 一 、，， 君 ， 一 “ 二 。 二 。 。 ， 一 玉 一 ， ￡ ， 一 宜 了， 一 主 更 宜 宜 定 宜 了 亡五 ， 。 ， 宜 “ 一 赶 一心 一 收到 一 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1986．01．029
From dynamic tests at different strain rate,eq.(2-27)is obtained by regression.Work rate functions are eq.(2-28)and (2-29). The rigid/viscoplastic conventional variational principle is that among all the possible vi,eii,the actual solution renders the functional (2-23) a stationary value. According to the Fig.3-1,we suppose the stress-strain relations for complicated stress state are eq.(3-5).The work rate functions are eq.(3 -6)and(3-7), The variational principle concerning non-plastic region and unloading problems can be discribed as follow:among all the vi,eii,the actual solu- ion renders the functional (2-23)a stationary value. Nadai/s constitutive equation (4-4)can be extended to elastic-plastic deformation case,We futher define eq.(4-5),and let eq.(4-7),then we obtain eq.(4-8). Under the condition of e<1,we obtain eq.(4-9).Since the constituti- ve equation (4-8)is a homogeneous function of time,the functional (2-23) can be rewritten as eq.(4-10). The variational principle of Nadai/s deformation theory says:Among all the ui,8ii,the actual solution renders the functional (4-10)a stationary value. According to the experimental results,a variational principle based on the general functional (2-23)is proved on the some proper handling of the constitutive equations for different materials.Some other variational prin- ciple which me ntioned above and in our other papers can be regarded as special cases of the variational principle discussed here. Key words,constitutive equation,work rate function,conventional variational principle,finite element formulas, 前 言 在固体力学中，变分原理是有限元计算的理论基础。根据固体材料的不同本构方程，给 以特定的泛函，变分原理指出，泛函的变分问题与由力学基本方程求解，二者是等价的。以 变分原理为基础将物体离散化，可求得相应的有限元公式，于是因材料本构方程的不同而 有形变理论和流动理论的弹塑性、刚塑性以及粘塑性等有限元法。 对于小位移条件下，物理非线性材料的变分原理在一些专著1~3)中已有详尽的论述。 Hi11C4)早在1956年就提出包括粘塑性材料的固体力学一般极值原理。假设应力张量o:是 应变速率e:的单值函数，且满足 ·136·
， 一 一 一 。 。 、 ， 石 ， 。 。 ，。 。 。 ， 。 。 。 。 一 一 ， 一 压 一 一 一 一 ， ， 一 一 一 一 ， 一 ， 一 。 ‘ ， 一 一 ， 一 一 ， ， 。 、 ， 一 ， 一 ， 、 、 、 前口 ， 合‘ 二 在固体力 学 中 ， 变分 原理是 有限元 计算的理论 基础 。 根据固体材料 的不 同本 构方程 ， 给 以特定的泛 函 ， 变分 原理指 出 ， 泛 函 的变分 问题与由力 学基本 方程 求解 ， 二 者是 等价 的 。 以 变分 原理为 基础 将物体离散化 ， 可 求得相应 的有限元 公式 ， 于是 因材料本 构方程 的 不 同 而 有形变理论 和流 动理论 的弹塑性 、 刚塑性 以及粘塑性等有限元 法 。 对 于小位移 条件下 ， 物理非线性材料的变分 原理在一 些 专著〔 一” 〕中 已有详尽 的 论 述 。 ’ 抓 〕 早在 年就提 出包括 粘塑性 材料 的固体力 学一般极值原理 。 假设应 力 张 量 ‘ ，是 应变 速率 门 的单值函数 ， 且 满足 尽
d0)三· O0k i D E k I deii 则一定存在一个功率函数A(ε：，)，且有 ∂A (1一1) dei 功率函数可由下式计算 A-ad a (1-2) 更进一步假设，在应力空间中A是外凸的，即 4()-4(,)≥(-，)A… (1一3) d 8. 其充分且必要条件为 ∂2A 。—≥0 (1-4) d e 3 e I 据此可以证明，在一定条件下，对各种不同本构关系给定泛函的变分原理可以写成统一的形 式。 在本文中首先证明弹/粘塑性广义变分原理。而将刚/粘塑性、弹塑性以及刚塑性变分原 理看做是其特殊情况。然后将物体离散化推导有限元公式。 2粘塑性变分原理 2.1弹/粘塑性理论的基本方程 粘塑性材料的三种假设，一是弹粘塑性，即假设材料在弹性变形和塑性变形阶段都具有 粘性，二是弹/粘塑性，即不考虑弹性变形阶段材料的粘性，而只当材料进入塑性变形阶段 才具有粘性，第三种是忽略材料的弹性变形，即刚/粘塑性假设。 设有体积为V,表面为S的弹/粘塑体，其体积力为F,在表面Sr上作用有面力T,而 在表面Su上给定速度U,则物体所满足的基本方程为： 平衡方程，σi1,+F:=0,在V内 (2-1) 小位移条件下的协调方程 2e)=U,1+U,i (2-2) 式中，e1为应变速率，U为速度. 塑性体积不变条件，e8:,=0, (2--3) 式中，"为粘塑性应变速率。 边界条件，U,=可，在Su上， (2-4) 0,n,=Ti,在Sr上， (2-5) 根据Perzyna.理论c6),粘塑性材料的本构关系为 ·137·
。 自 则一定存在一个功率函 数 刁 。 且 有 一 一￡ 月曰一 口 一 一 一 功率函数可 由下式计算 “ 介 、 二 一 更进 一步假设 ， 在应力空 间中 是 外 凸的 ， 即 “ 二 ， 一 “ 二 ‘ 。 ， 一 二 ‘ ， 一 。子 扩一 》 一 其充分且 必要条件为 一 自 据此 可 以证 明 ， 在一定条件下 ， 对 各种不 同本 构 关系 给定泛 函的变分 原理可 以写成 统一 的形 式 。 在本文 中首先证 明弹 粘塑性 广义变分 原理 。 而 将刚 粘塑性 、 弹塑性 以及刚塑性变分 原 理看做是 其特殊情况 。 然后 将物体离 散化推导有 限元 公式 。 粘 塑性变分原理 弹 粘塑 性理 论的基本方 程 粘塑性材料 的三种假设 ， 一是 弹粘塑性 ， 即假设材料在 弹性变形和 塑性变形阶段都具有 粘性， 二是 弹 粘塑性 ， 即不 考虑 弹性变形阶段材料的粘性 ， 而只 当材料进入塑性变形 阶 段 才具 有粘性， 第三种是 忽略材料 的弹性变 形 ， 即刚 粘塑性假设 。 设 有体积为厂， 表 面为 的弹 粘塑体 ， 其体积力为 ‘ ， 在表 面 上作用有面力 ‘ ， 而 在表面 上给定速度 ，， 则物体所满足 的基本方程为 平衡方程 ， ‘ ， ， ‘ ， 在厂 内 一 小位移条件下 的协调 方程 ￡ ， ， ， ， ， ， ‘ 一 式 中 ， 、 ， 为应 变速率， ‘ 为 速度 塑性体积不变条件 ， 县沁 ‘ ， 一 式 中 ， 县丫为 粘塑性应变速率 边界 条 件 ， 二 歹 ， 在了 上 ， 一 口 ‘ 』 』 二 ‘ ， 在夕 仁 ， 一 根据 理论〔 〕 ， 粘塑性材料的本 构关系为 · ·
e胃=v<(F)>a f 0i1 (2-6) 式中，Y=y°/k,y°为粘性系数，h为材料剪切屈服应力，f(σ，)为Mises)屈服函数，设 F=fo）-1 (2-7) 则 0, F∠0， (φ(F)》= {中(F),F>0, (2-8) 函数〈φ(F)》可由试验测得 (2一6)式的物理意义为，粘塑性应变速率是真实应力与静态应力的差值（即超应力)的 函数。 若引进等效应力 o= 3 (2-9) 和粘塑性等效变速率 2· e (2-10) 则屈服函数 fa0√合 (2-11) of=v3s 于是得 V P Yp(F)=√3e (2一12) 代回(2一6)式得 8= 01 F≤0 -VP 3esi1,F>0 (2-13) 2σ 最后求得弹/粘塑性本构方程为 e1,s1-2 ∂f 2GS,+a*y中(F)ag (2-14) 式中， 0, 当F≤0 a*= 11, 当F>0 2.2功率函数A的表达式 由(2一6)式有 ded(di 设 Y(F)dt=hd f 138·
川 、 孺令 一 式 中 ， 夕 夕 。 ， 护 “ 为 粘性系 数， 为材料剪切屈服应 力 ， 为 屈服 函数 ， 设 。 ’ 二二 － 旦塑 一 必 ， 必 ， 泛 ， ， 一 函数 可 由试验 测得 一 式 的物理意义为 ， 粘塑性应变速率是 真实应力与静态应力 的差值 即超应力 的 函数 。 若 引进等效应力 万 丫普 ‘ ， 门 一 和粘塑性等效变速率 一 则屈服 函数 ‘ 二 六升 寿 ， ， ， 一 ， 一 于是 得 代 回 一 式得 ，功 匕鱼 ， 一 犷 尸 亿 ￡ 一 二犷 尸 ‘ 万匕 尸 一 口 ， 最后 求得弹 粘塑性本 构方程为 巴 门 一 ‘ 止 下‘ 万 、 二 干 。 自 常二夕功 厂 几妇 二升 一 式 中 ， 当 当 自矛夕 上甘， 叹矛‘奋‘ 一 今 。 功 率函数 的表达 式 一 式有 衅 二 如 ，· 、 二 、 ‘ 峥 斋 ·
则由(2-14)式有 de=edi=doo:+2G+a"hdl do 2G (2-15) 和 E 2G do,=1-2de8i,+2Gde:,-a of ofof do (2-16) 2Gh+OGKL 0GKL 设材料的硬化函数为H=H（©，)，则由2-12)式得 df=dH=H。-√gdf+o识a8 ∂H de (2-17) h=h(e"”,)不仅是总塑性应变的函数，同时也是应变速率的函数。为了解出么，现做 如下处理。在图2一1中给出不同应变速率ε下的应力一应变曲线。根据单一曲线假设将其坐 标改变为0和c。图中d表示硬化方向，它是由两个方向的偏学数，和决定的。 H òe aH 一般情况下，由于de较小因此可以在每一加载步中，先假设硬化方向为。cP，然后再 df -dc 0 OEvF dEvp aH 00 A A E0 E 图2-一1不同应变速率8时云~G曲线 图2一2功率函数的几何表示 Fig.2-1Thecurves for yarious strain rate Fig.2-2 The graphic"expression of work rate function 应用硬化函数进行修正。这一处理方法可称之为阶段硬化假设。这样就可以消去(2一】7) 式中的最后一项，得到 H1hdf df=deVp v√3 (2-18) 即 H h〧√3/ OE VP (2-19) 现以单向拉伸时的O一ε曲线下的面积几何地表示功率函数。若将曲线下面积分为三部 分（图2一2），在一次加载步中，A,不依赖于dε的变化，因此可不考虑它的具体形式，而 ·139·
则由 一 式有 一 ， ， 了 ‘ ， 口 召 门 君 门 以 、 一了不一 口 门 一一夏 不一 二 乙吸了 ‘ “ ‘ ” “ ， ‘ 、 潇 二二 、 二 · 一 一 占 门 一 二 ， 万牙万了 十 不 一 兰 一一 ‘ 廿 口 一布 厂 一 设 材料 的硬化函数为 二 。 尸 二、 了 乙 月 ， 己 卫‘ 二 二 月 不万歹户 了 了 ， 则由 一 式 得 二 一 万 君 己 一 、 一 。 介 一 ， 万 不 仅是 总塑性应 变 的函数 ， 同时也是 应 变速率的函数 。 为 了解 出 ， 现 做 如下处理 。 在图 一 中给出不 同应 变速率 。 下 的应力 一应 变 曲线 。 根据 单一 曲线 假设 将其 坐 标改变为于和万 。 图 中 表 示 硬化方 向 ， 它是 由两个方 向的偏导 数 石首希 和粤 决 定 的 。 ￡ 一般情况下 ， 由于 。 较小 ， 因此可 以在每一加载步 中 ， 先假设 硬化 方 向为 下 厂 然后 再 恋 万 已 君 ‘ 百 ‘ ’ 砂 图 一， 不同应 变速率 亡时 一 万曲线 图 一 功 率函 数的 几何表示 、 卜 ， · 、 一 、 二 一 一 。 · · · 一 丁 ‘ · 卜 军念厂 乙黯盆絮器 ·‘ · “ ‘ 应 用硬化 函数进行 修正 。 这 一处理方 法可称 之为 阶段 硬化假设 。 这 样就可 以 消去 一 式中的最后 一 项 ， 得到 介不犷声 万 ，万笼子 叮 一 ” 召了 下 犷 一 现 以单 向拉仲时 的 一 曲线 下 的面积几 何地表示功率 函数 。 若将 曲线 下 面积分为 三部 分 图 一 ， 在 一 次加载步 中 ， 。 不 依赖于 二的变化 ， 因 此可不考虑 它的具 体形式 ， 而