D0I:10.13374/i.issn1001053x.1992.05.013 第14卷第5期 北京科技大学学报 Voi.14No.5 1992年9月 Journal of University of Science and Technology Beijing Sept.1992 应用δ算子的离散时间控制系统 尹怡欣 摘要：研究了6算子和6变换的一些性质以及对离散时间系统的描述方法，并比较了·变换和 传统的变换和z变换之间的关系，最后介绍了算子在离散时间系统仿真和控制系统设计中 的应用方法。 关罐词：算子，离散时间系统，极点配置 Discrete Control System Using 6-operator Yin Yirin' ABSTRACT:Some features of 6-operator and 6-transform,and the description for discrete time system are reserched.The comparisons of d-operator with s-operator,of 6-operator with z-oper- ator are performed.Finaly,its application in discrete system simulation and contol system designment are disccused. KEY WORDS:6-operator,discrete time system,pole-assignment 采用数字电子计算机对系统进行控制或进行仿真、分析以及设计控制系统时，需要把时 间变量考虑为离散变量，研究的系统要考虑为离散时间系统。若原来的系统为连续时间系统， 则需要将其离散化，转换成离散时间系统。通常采用差分方程来描述离散时间系统，并用2变 换和前移算子2来研究和计算。然而，z变换和前移算子？处理连续时间系统的离散化有两大 不足之处：(1)当连续系统传递函数的分母多项式的阶次比分子多项式的阶数大于1或采样 周期T比较小时，其相应的z脉冲传递函数将增加不稳定零点，即离散系统变为非最小相位系 统，(2)当采样周期T趋于零时，2脉冲传递函数不收敛于原来的连续系统传递函数。这样 将使模型参考控制等很多优秀的控制算法不能应用。同时，现代技术的发展要求控制系统的 精度越来越高，相应地采样周期T越来越小，电子计算机技术的发展又使这一要求成为可能。 ①1991-11-12 +自动化系(Department of Automatic Control) ·569·
第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 腼 价 。 反 应用 算子的离散时间控制系统 ① 尹 怡欣 ‘ 摘要 研 究了 算子和 ‘ 变换 的一些性质以及对离散时间系统的描述方法 ， 并 比较了 变换和 传统的 变换和 变换之 间 的关系 最后介绍 了 算子在离散时间系统仿真和控制系统设计 中 的应用方法 。 关锐词 算子 ， 离散时间 系统 ， 极点配置 一 玩 坛活刀 一 占一 ， 一 一。 伴 ， 一。 详 一叩 ， 沈 即 一。 ， 五 ， 一 采用数字 电子计算机对系统进行控制或进行仿真 、 分析 以及设计控制系统时 ， 需要把 时 间变量考虑 为离散变量 ， 研究的系统要考虑 为离散 时间系统 。 若原来的系 统为连续 时间系统 ， 则需要将其离散化 ， 转换成离散时 间系统 。 通常采用差分方程来描述离散时间系统 ， 并用 变 换和前移算子 来研究和 计算 。 然而 ， 变换和前移算子 处理连续时间系统的离散化有两大 不足之 处 当连续 系统传递 函数 的分母 多项式 的阶次 比分子多项式 的 阶数大于 或采样 周 期 少 比较小时 ， 其相应 的 脉冲传递函数将增加不稳定零点 ， 即 离散系统变为非最 小相位 系 统 〔 ‘ 〕 当采样周期 少 趋于零 时 ， 脉冲传递 函数不收敛于原来的连续系统传递 函数 。 这样 将使模型参考控制等很多优 秀的控制算法不 能应用 。 同时 ， 现代技术的发展要 求控制系统的 精度越来越高 ， 相应地 采样周期 越来越小 ， 电子计算机技术的发展又 使这一要求成为可能 。 ① 一 一 自动化 系 卿 。 · · DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．1992．05．013
因此，本文的介绍6变换及6算子提供了适应这个要求的离散时间控制系统的新手段。 1δ算子和δ变换 当采样周期为T时，可用一阶差分△f(k)=〔(k+1)一∫(k)〕T来近似连续时间函 数f(t)的一阶导数d时(e)/t相应的高阶差分为△'f(k)=〔△-”f(k十1)一△-1f (飞)/T。在此定义6算子为 6=(21)/T (1) 其中，z为z变换中的z算子，也可认为是一步前移算子，即对(k)=f(k十1)。 1.1用6算子表示的离散时间系统 对于n阶SISO连续时间系统 x()=Fx(t)十gu(t) (2) Ly(t)=hx(t) 以采样周期T对输入控制信号“()进行离散化，并加零阶保持器，可得离散时间系统为 [6x()=A红()+bu(k) (3) ly(k)=cTz(k) 其中， A=号(e,b=g,e=A (4),(5),(6) 相应的输入输出表示形式为 6y(k)+a.-1-'y(k)+…十aog(k)=b.-18-lu(k)+…+bu(k) (7) 其中，a,=0,1…,n一1为矩阵A的特征多项式的系数；b,i=0,1,…,n一1可由下式 计算： b,=c7(-1-+a-1A-21+…十a+1l)b (8) 下面的定理说明系统(2)和系统(3)的稳定性是一致的。 定理1c幻设矩阵F的特征为Si,矩阵A的特征值为6则有 4=7m-1,1≤i≤m (9) 上式可变形为1十T6,=er,故有等价关系 {1+T6|<1台Re〔S)<0 (10) 所以，矩阵F和A的稳定性是等价的，从而说明系统(2)和系统(3)的稳定性等价。 1.26变换及其反变换 1.2.16变换的定义 如果函数f(k)对k=0,1,2,…,有定义，对k=一1，一2，…，f(k)=0, 定义 ·570·
因此 ， 本文的介绍 变换及 算子提供 了适应这个要求 的离散 时 间控制系统的新手段 。 算子和 变换 当采样周期 为 时 ， 可用一阶差分△ 二 〔 十 一 〕 尹 来近似连续时间函 数 的 一 阶导 数 相 应 的 高 阶差 分为△了 一 〔△ ‘一 ” 十 一 △ ‘ 一 ， 任 〕 望 。 在此定义 ‘ 算子为 占 一 其 中 ， 二 为 变换 中的 算子 ， 也可认为是一步前移算子 ， 即 汀 一了 。 用 算子表示的离散时间系统 对于 。 阶 连续时 间系统 、产、， 产 十 忍 尹 了 ‘乙子 、、了 沙 、 以采样周期 对输入控制信号 进行离散化 ， 并加零 阶保持器 ， 可得离散时间系统为 忿 无 加 艺 无 七‘司了、 几乙、才，、产 工 ‘、了 、 了即甘︸ 、 其 中 ， ， 一 备 即 一 ‘ ， ， 卜 哥 · 、 ‘ · ， ， 一 ‘ ， ， 相应的输入输出表示形式为 夕夕 ‘ 一 ，夕一 ’ ， 十 … 夕 一 少一 “ … 其 中 ， ‘ ， ‘二 ， 卜 二 ， 一 为矩 阵 的特征多项式的系数 ， 坛一 ， 计算 ‘ ， 矛一 ’ 一 ， ，通 ， 一 卜 ‘ … 十 ， 儿 一 可由下式 下面的定理说明系统 和 系统 定理 〔 〕设矩 阵 的特征为 的稳定性是一致的 。 矩 阵 的特征值为 ‘ 则 有 〔 压 一 〕 ， 镇 云镇 上式可变形为 ” ‘ 汀 ， 故有等价关系 “ 一特及 〔 ‘〕 所 以 ， 矩阵 和 的稳定性是等价的 ， 从而说明系统 和 系统 的稳定性等价 。 变换及其反变换 ‘ 变换的定义 如果函数 仕 对 无 ， ， ， … ， 有定义 ， 对 一 ， 一 ， … ， 一 ， 定义
P(6)=DC()=f)1+T6)-+ (11) 为函数f(k)的6变换。 如果极限 Lim∑F((1+T6) →∞≥0 是一个有限量，则称函数∫()的6变换收敛。 1.2.26变换的性质 利用(1)式和(11)式可得δ变换的如下性质。 性质1：若a和b为常数，则 DCaf(k)+bg(k)]=aD[f(k)]+bDCg(k) (12) 性质2：1为正整数 D[(k+)=(1+T6)'F(6)- ∑f()(1+T6)1- (13) 性质3：（为正整数 DCf(k-))=(1+T6)-1F(6) (14) 性质4（初值定理）：若imF(6)收敛，则 f(0)=limF(6) (15) “+自 性质5（终值定理）：若∫（∞）为一定值，则 f(c∞)=T·lim6f(6) (16) 4*0 常用的6变换表由表1列出。 表16变换表 Table 1 Table of 6-transform f() F() F(2) F() 单位脉冲 1 1 1 单位阶跃 1+T6 1() To 单位斜坡t 是 Ta (1+T6) (g-1)2 Toz 导 T2z(z+1) (1十T6)(2+T6) (2-1)3 T63 ea 1 1+76 。 2=0-a 1478-e-4 1-e-w (1-e-t)z (1-e-r)(1+T6) s(s+a) (2-1)(2-e-) T6(1+T6)-eT 超 Tae- T(1+T6)e-d (+a)2 (2e） (1+T0-e-) f(t+T) F(s)eTs ()一f(0) (1+T6)(F(a)-f(0) f(t-T) P(s)e-T+ z-IF(z) f(6)/(1+T6). d时 sF(8)-f(0) dt 号ra)-f(0 f6)-1+4f0) T ·571·
名了 一 ‘ 为函数 的 变换 。 如果极限 少 一众 是一个有限量 ， 则 称函数 了 的 变换收敛 。 变换的性质 利用 式和 式可得 变换的如下性质 。 性质 若 。 和 为常数 ， 则 囱 十 夕 〕 二 叮 〕 〔夕 壳 〕 性质 为正 整数 叮 十 〕 ，。 ‘ 。 一 艺 ， ，。 ‘ 一 ， 性质 为正整数 叮 一 〕 二 少 一 性质 初值定 理 若 加尸 的 收敛 ， 则 一 性质 终值定理 若 了 为一定值 ， 则 全 · 盯 常用的 变换表 由表 列 出 。 表 咨变换表 一 舀 单位脉冲 单位阶跃 单位斜坡 一 介之 一 尸之 之 之一 之 一 一 碑 一 一 心 十 卯 凡 、 一 一 ‘ 占 夕 十 占 产 一 一 一 心 牙比一 昨 一 一 沙 九 凡 哪 玛习 哪 十 了舀一 一 砂 一 一勺 一 哪一 呼 十 凡 一 评 了 一 一 订 亡十 名尸 一 汀 哪 一 一 一 ， 一 名 了 十妈 曳交 召 召 一 共乒 一 丢了 、 。 卜 罕 ，
1.2.36反变换 由给定的函数F()求一个函数f(k),并使得D〔f(k)=F()成立，则称下式为 F(6)的6反变换。 f(k)=D-1CF(6)] (17) 这里仅就F()是有理分式的情况介绍求它的反变换的一种方法：先将F(6)展开为部 分分式，对于一般项1/(6一6)，可用 k=0 D1/(6-d)门= (18) T(1+T6,)-1 k≥1 进行6反变换。 1.36变换和s变换及z变换之间的关系 (1)式己示出6变换和z变换之间的关系，并由(1)式可得 md=m27)=m7e-) (19) -me+分7++…）=s 即，6算子实际上是采样周期T充分小时s算子的近似。由图]可以看出6平面和s平面、 z平面的稳定域之间的关系。当采样周期T→0时，6平面的稳定域将和s平面的稳定域趋于一 致。 Z-ul.mn 图16平面、。平面、2平面的稳定域之间的关系 Fig.1 Relations of 6-plane,s-plane and z-plane 1.46脉冲传递函数与s传递函数的关系 连续时间系统(1)的传递函数为 ·G(s)=h(sI一F)-1g=R(s)/P(s) (20) 其中， P(s)=S十P.-is-1+…十Ps十Po ·572·
占反变换 由给定的函数 尸 的 求一个 函数 劫 ， 并使得 叮 〕 的 成立 ， 则 称下式 为 的 的 反变换 。 一 ’ 〔 占 〕 这里仅就 尸 的 是有理分式 的情况 介绍求它 的反变换的一种方法 先将 尸 的 展开 为部 分分式 ， 对于一般项 一 幼 ， 可用 一 ‘ 阳 〔 一 成 〕 一 悦 十 一 ‘ 进行 反变换 。 。 变换和 。 变换及 变换之 间的关系 式 己示 出 变换和 变换之 间的关系 ， 并 由 式可得 ， 之 一 、 ‘ ， 一 、 戈 一二二 二 又 ” 义 卫 一 ， 。 ， 一 气名 十 言丁 ‘ 义 ’ 十 不二 ‘ ’ ‘ 州卜 … 少 一 名 ， 一 乙 里 即 ， 占算子实际上是采样周期 少 充分小时 。 算子 的近似 。 由图 可 以看 出 平面和 。 平面 、 二 平面的稳定域之 间的关系 。 当采样周期 ， 时 ， 平面 的稳定域将和 。 平面 的稳定域趋 于 一 致 。 资夸寸 图 平面 、 召 平面 、 平面的稳定域之 间的关系 饱 一 饭 ， 一 恤 一 。 脉冲传递函 数与 。 传递函数的关系 连续 时间系统 的 传递 函数为 一 一 ’夕 其 中 ， 一 ， 一 ‘ … 十 占 。 · ·
=(s-s1)(s-52)…(s一8，) 器 R(s)=r.-1s-I十T.-2S-2十…十1s十T0 r,在0≤≤n一1由下式计算： m,=h(P-1十-1P--2十…++1I)g (23) 当bg=…=P--2g=0,Fm-m-1g≠0时，R(s)的阶次为m。 对应的离散时间系统(2)的6传递函数为 G,(6)=c(61-A)-b=Bd) (24) A(6) 其中，A(6)=0+a.-1-1+…+1d+a0=(6-)(6-d2)…(6-d) (25) d=7(e-1) 0≤≤n-1 (26) B(6)=b-10-1+b.-20-2十…+b16+b (27) b,0≤≤n一1由(8)式计算，式中 g=e·g=1+哥P++…9 (28) 其中包含了对于所有k的一般项”Fg,因此，cb≠0。所以，B(d)为n一1次多项式。 由式(4)、(5)、(5)、(19)及前述定理可知，当采样周期T→0时，有 (1)A→F,b→g,且c=h, (2)d→，1≤≤n,(3)A(6)+P(s) 从而可知应用B()·R(s),即B(6)的阶次将随T→0而趋近于m。可将(24)式写 水 B(8)=B.(6)十B(6) (29) 其中， B.(6)=b.-1d-1十…+b.+1m+1 Br(6)=bn6m+…十b1d+b (30) 则有： 0≤言≤m (31) 0 m+1≤i≤n-1 也就是说，当T充分小时，在控制系统的分析和设计中可以无视B(6)。 例：对于 20s+1 20s+1 G(s)=(8+0.1D(g+0.2)(8+1D=g+1.3s+0.328+0.02 采样周期选为T≈2-s时的G()为 0.155237+19.8136d+0.98989 C(6)=8+1.291836+0.3172326+0.0197979 其零点分别为-0.04997和-127.857，即有G(6)所描述的离散时间系统仍为逆稳定。而此 时的z脉冲传递函数为 ·573·
、、、产夕、矛︸、了尹，， ‘ 、 ︸ 了口勺︼，自‘乙，︺行，任丹飞土二‘ 、才 奇 了、 目 、 ‘ ‘ 、 、了﹄ 一 召 一 名 一 习 一 一 几 ’ 一 ‘ 几 扩一 … 几 八 ，‘ 在 镇 ， 一 由下式计算 ，‘ 犷 护一 ‘一‘ 十 几一 ，严一 ‘一 十 … 扒十 当 勺 · · 一丫尸一 ， 一 勺一 ， 丫尸一 ， 一 ’ 并 时 ， ， 的 阶次为 二 。 对应的离散时间系统 的 ‘ 传递 函数为 召。 了 一 一 其中 ， 一 夕 ， 一 夕一 ‘ … 。 一 ， 一 几 … 一 氏 氏 一 丢 。 一 成 簇 ， 一 ‘ ， 簇‘簇 ， 一 由 的 一 瓦一 夕一 ， 饥一 夕一 一 十 式计算 ， 式 中 「， ， ， ‘ 。 产 翻 ‘ · 丫 〔 十 众尸 针 …〕 夕 。 一 争 ’ 一 ‘ 一 ’ ” 其 中包含 了对于所有 的一般项 矿严 ， 因此 ， 产 并 。 所 以 ， 的 为 。 一 次多项式 。 由式 、 、 、 及前述定理可知 ， 当采样周期 ， 时 ， 有 ， 乙一夕 ， 且 ， 成 凡 ， 镇‘成 二 ， 从而可知应用 的 力 ， 即 的阶次将随 ， 而趋近于 二 。 可将 式写 。 其中 ， 。 ‘ 二 一 ，少一 ‘ … 兔 ，护 ‘ 纵护 … 十 则有 ‘ ，一 簇 云 ， 二 镇 坛镇 一 几八 、 、 也就是说 ， 当 充分小时 ， 在控制系统的分析和设计中可 以无视 及 的 。 例 对于 、 。 。 。 十 一 。 采样周期选为 、 一 、 时的 的 为 其零点分别为 一 时的 脉冲传递 函数为 一 和 一 ， 即有 的 所描述 的离散时间系统仍为逆稳定 。 而此 一