《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型例6：求L[em]解: L[e"]- L[(t),e" ]--S+3例7：L3t .cos5t]=2+ 52(s+3)2 +53例 8:Le-2"cos(5t-)到]-Lfecos[5(t-到]15s+25se15(s+2)C(s + 2) + 52$? +52（5）终值定理（极限确实存在时）lim f(t)= f()= lim s · F(s)证明：由微分定理[f'(t)e-sdt=sF(s)-f(0)取极限：lim [f(t)dt=lim sF(s)-f(0)左 -[f (t)[ime lit = J r'(t)-1-dt = f()= f(co)-f(0)= 右 = lim sF(s)-f(0)..有: f(c0)= lim sF(s)证毕/例 9:F(s)求f()?s(s + a)(s + b)11解：f(c)=limss-±0s(s+a)s+b)ab0例 10: f()= sinot+lims=0s+00.12F(s) = 0.032).f(t) = 0.03(1- cos2t)s2+22s(s? +22S50.866s + 2.5O3).f(t)= sin(5t+ )F(s) =s? +52s? +52311
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 11 例 6：求 at L e 解 : ( ) s a 1 L e L1 t e at at − = = 例 7： ( ) 2 2 s s 3 2 2 -3t s 3 5 s 3 s 5 s L e cos5t + + + = + = → + 例 8： = − − − − ) 15 ) L e cos 5(t 3 L e cos(5t 2t 2t ( ) ( ) 2 2 s 2 15 s s 2 2 2 s 15 - s 2 5 s 2 e s 5 s e + + + = + = − + → + （5）终值定理（极限确实存在时） lim f(t) f( ) lim s F(s) t s 0 = = → → 证明：由微分定理 f (t)e dt sF(s) f(0) st 0 = − − 取极限： lim f (t)e dt lim sF(s) f(0) s 0 st 0 s 0 = − → − → ( ) ( ) ( ) f( ) f(0) lim sF(s) f(0) f t lime dt f t 1 dt f t s 0 0 0 s 0 st 0 = − = = − = = = → → − 右 左 ∴有： f( ) lim sF(s) s→0 = 证毕 例 9： ( ) s(s a)(s b) 1 F s + + = 求 f () 解：( ) ( )( ) ab 1 s s a s b 1 f lim s s 0 = + + = → 例 10： ( ) 0 s f sin t lim s 2 2 s 0 t = + = → → ( ) 2 2 2 2 1 s 0.12 2).f (t) 0.03(1 cos2t) F(s) 0.03 s s 2 s s 2 = − = − = + + s 15 2 2 2 2 5 0.866s 2.5 3).f (t) sin(5t ) F(s) e 3 s 5 s 5 + = + = = + +
《自动控制原理》 第二章 控制系统的学模型$ +0.4S +0.44).f(t) = e-0.cos12tF(s) =(s+0.4)° +12s2+0.8s+144.165).f(t)=t[1-1[t-to]]f(t)F(s) = 1-(1++:s)e-0ss23s° +2s+8求f()=? f(0)=? f(0)=1, f(0)=06).已知F(s)=s(s+2)(s* +2s+4)2. 已知F(s),求f(t)=?2s25s+11).F(s) = f(t) =1+cost-5sints(s? +1)Sf(t) = /17e*cos(t+14°)2).F(s) =s+8s+17=e (cost -4sint)1e-t1+9tf(t) = 3)F(s)=+21s +120s+10081813s° +2s+8f(t) =1-2e'2t +e-t.cos3t4).F(s) =s(s+2)(s? +2s+4)s+22元(14.3)1f(t) =t+5).F(s) =4123s(s+1)°(s+3)2三、拉氏反变换难点补充内容二[*"F(s),e"ds1、反变换公式：f(t)=2元2、查表法一分解部分分式（留数法，待定系数法，试凑法）微分方程的一般形式：C(n) +a,C(n-) +...+a.-C'+C= bor(m) +b,r(m-l) +.+b.-r'+bmrL:(设初条件为0)[s"+a,s-+a,s+...+a/$+a.c(s)=[b,s"+b,sm- +..+bm-$+b.R(s):. (s) (bs*+ bs*++bm$+b.)R(2) _ (s),R(2)A(s)s"+a,s"-l+a,s"-2+..+an.$+a.12
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 12 ( ) 0.4t 2 2 2 s 0.4 s 0.4 4).f (t) e cos12t F(s) s 0.4 12 s 0.8s 144.16 − + + = = = + + + + 5).f (t) t 1 1 t t = − − 0 ( ) ( ) 0 t s 0 2 1 1 t s e F s s − − + = ( )( ) ( ) 2 2 3s 2s 8 6). F(s) f ? f(0) ? f( ) 1, f(0) 0 s s 2 s 2s 4 + + = = = = = + + + 已知 求 2．已知 F(s),求 f(t)=? ( ) 2 2 2s 5s 1 1).F(s) f(t) 1 cost-5sint s s 1 − + = = + + ( ) 4t 2 4t s 2).F(s) f(t) 17e cos(t 14 ) s 8s 17 e cost 4sint − − = = + + + = − t 10t 3 2 1 1 1 9t 3).F(s) f(t) e e s 21s 120s 100 81 81 − − + = = − + + + ( ) 2 -2t t 2 3s 2s 8 4).F(s) f(t) 1-2e e cos 3t s s 2 ( 2 4) s s + + − = = + + + + ( ) ( ) t 3t 2 s 2 2 1 3 1 5).F(s) f(t) ( t )e e s s 1 s 3 3 2 4 12 + − − = = − + + + + 三、拉氏反变换 难点 补充内容 1、反变换公式： + − = j j st F(s).e ds 2 j 1 f(t) 2、查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法) 微分方程的一般形式： C a C a C C b r b r b r b r m-1 m (m-1) 1 (m) n-1 0 (n-1) 1 (n) + ++ + = + ++ + L:(设初条件为0) n n-1 n-2 m m 1 1 2 n-1 n 0 1 m-1 m s a s a s a s a C(s) b s b s b s b R(s) − + + + + + = + + + + A(s) B(s).R(s) s a s a s a s a (b s b s b s b )R(s) C(s) n-1 n n-2 2 n-1 1 n m-1 m m 1 1 m 0 = + + + + + + + + + = −
《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型B(s).R(s)(s- p.)(s- p2).-(s- p.)C2C3_c;crCnTp：特征根C(s) =I...>s-Ps-p2S-Pn台s-p;s-P3..f(t)=c,el+C,ePa+c,e*+...+C,eP-t-ePt:模态cep,F(s)的一般表达式为：(1)C(a)+a,c()+.+a..C'+C=b.r(m)+b,r(m-)+.+b.'+b.rB(s) = bs"+bs*++bm$+ba(n>m)F(s)= A(s) $"+a,s-+a,sn- +...+a.-$+a.其中分母多项式可以分解因式为：(HI)A(s)= (s -p,)(s - P2)..-(s - P.)p,为A(s)的根(特征根)，分两种情形讨论：I：A(s)=0无重根时：（依代数定理可以把F(s)表示为：）CL-+..C,-_C.C2C3F(s) =S-PiS-P2S-P3S-Pn=s-Pi..f(t)=c,e"+C,e++C,e*+...+c,eaZc,epi=l即：若c.可以定出来，则可得解：而c,计算公式：(I)c, = lim(s- p,).F(s)s-→pB(s)(II' )c =A (s) /s=p)（说明（III)的原理，推导（III：））II：A(s)=0有重根时：设p,为m阶重根，Sm+,"-s,为单根.则F(s)可表示为：CmCm-1c1Cm+lF(s) =(s-p,)m-(s-p.)mS-plS-Pm+IS-Pn13
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 13 (s p )(s p ) (s p ) B(s).R(s) − 1 − 2 − n = = − = − + + − + − + − = n i 1 i i n n 3 3 2 2 1 1 s p c s p c s p c s p c s p c C(s) pi :特征根 = = + + + + = n i 1 p t i p t n p t 3 p t 2 p t 1 1 2 3 n i f(t) c e c e c e c e c e e pi t :模态 F(s) 的一般表达式为： (n) (n-1) (m) (m-1) C a C a C C b r b r b r b r 1 n-1 0 1 m-1 m + + + + = + + + + （I） (n m) s a s a s a s a b s b s b s b A(s) B(s) F(s) n-1 n n-2 2 n-1 1 n m-1 m m 1 1 m 0 + + + + + + + + + = = − 其中分母多项式可以分解因式为： A(s) (s p )(s p ) (s p ) = − 1 − 2 − n (II) p A(s) i为 的根(特征根)，分两种情形讨论： I： A(s) = 0 无重根时：(依代数定理可以把 F(s) 表示为：) = − = − + + − + − + − = n i 1 i i n n 3 3 2 2 1 1 s p c s p c s p c s p c s p c F(s) = = + + + + = n i 1 p t i p t n p t 3 p t 2 p t 1 1 2 3 n i f(t) c e c e c e c e c e 即：若 i c 可以定出来，则可得解：而 i c 计算公式： c lim(s p ).F(s) i s p i i = − → (Ⅲ) pi i ' s A (s) B(s) c = = (Ⅲ′) (说明(Ⅲ)的原理，推导(Ⅲ′) ) II： A(s) = 0 有重根时： 设 1 p 为 m 阶重根， m 1 n s , s + 为单根 .则 F(s) 可表示为： n n m 1 m 1 1 1 m-1 1 m-1 m 1 m s- p c s- p c s- p c (s- p ) c (s- p ) c F(s) = + + + + + + + +
《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型其中单根cm+..c的计算仍由(1)中公式(II）（III'）来计算.重根项系数的计算公式：(说明原理)c.m = lim(s-p,)".F(s)→P1dr[(s -p,)".F(s)]Cm-I = lim -dss-→Pl(IV)dolimp,)".F(s)ds-dup,)m.F(s)imds m-1(m-1)!s-→P..f(t) = L-[F(s)]c.Cm-IC1Cm+I=L(s-p,)m-1(s-p,)"S-PlS-Pm+1S-p.CCm..+c,t+c,lePitLcep,!(v)[(m - 1)!(m - 2)i=m+1,求f(t)例 1:F(s)=s(s+a)解.F(s) = I($+a)-s_ 1a s(s+a)s+aas..f(t) -s+2例2:F(s)求f(t)=?=s2 +4s + 3S+2L+C2解：F(s)=$+1s+3(s+1)(s+3)Is+2-1+21c, = lim(s+1)-1+32(s+1)(s+3)IIS+2-3+2_1C2 = lim(s+ 3)-3+1"2(s+1)(s+3)1/2 ± 1/2.. F(s) =s+1s+314
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 14 其中单根 m 1 n c , c + 的计算仍由(1)中公式(Ⅲ) (Ⅲ′)来计算. 重根项系数的计算公式：(说明原理) = − = − = − = − → → → → (s p ) .F(s) ds d lim (m -1)! 1 c (s p ) .F(s) ds d lim j! 1 c (IV) (s p ) .F(s) ds d c lim c lim(s p ) .F(s) m 1 s p m-1 (m-1) 1 m 1 s p j (j) m-j m 1 s p m-1 m 1 s p m 1 1 1 1 t c t c .e c e (V) (m 2)! c t (m 1)! c s- p c s- p c s- p c (s- p ) c (s- p ) c L f(t) L F(s) p t n i m 1 i p t 2 1 m m 1 m-1 m 2 n n m 1 m 1 1 1 m-1 1 m-1 m 1 1 m 1 1 i = + − − + − + − + + + + − + − = = + + + + + + = 例 1： 1 F(s) , f(t) s(s a) = + 求 + = − + + = s a 1 s 1 a 1 s(s a) (s a)-s a 1 解.F(s) at 1 e a 1 f(t) − = − 例 2： s 4s 3 s 2 F(s) 2 + + + = 求 f(t) = ? 解： s 3 c s 1 c (s 1)(s 3) s 2 F(s) 1 2 + + + = + + + = 2 1 1 3 1 2 (s 1)(s 3) s 2 c lim (s 1) s 1 III 1 = − + − + = + + + = + →− 2 1 3 1 3 2 (s 1)(s 3) s 2 c lim (s 3) s 3 III 2 = − + − + = + + + = + →− s 3 1 2 s 1 1 2 F(s) + + + =
《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型1 ILe~+e-3..f(t) =122s?+5s+5，求f(t)=?例3:F(s)=s? + 4s+3解：不是真分式，必须先分解：（可以用长除法）(s? + 4s +3)+$+2S+2F(s) ==1+s? + 4s +3(s + 1)(s + 3).. f()=8(0)+e+/e1--e22s+3s +3ciC例 4:F(s)=$2 +2s +2" (s+1- j)(s+1+ )s+l-j s+1+i解法一：$+32+jc, = lim (s+1-)2j(s+1- j)(s +1+ )-1+s+32-jc, = lim (s+1+ j)(s+1- j)(s +1+ j)-2j2+je(-+)_2-je(-I-m..f(t)= 32j2jel +e-et-e-i-t[(2+ j)ex -(2- je-t]=cost)=sint,P2i2j2je[2cost + 4sint li= e'(cost + 2sint)2j2S+3S+1$+1+2: F(s) =(s+1)? +1 7(s +1)? +1 (s+1) +1(s+1)2 +1 虚位移定理coste-t +2sinte-t..f(t)1解法二：$+3$+1+2s+11F(s) =K(s +1)* + 12(s +1)° + 12(s+1) +1(s+1)° +12(复位移定理)f(t)=e.cost +2e.sints+2例5F(s) =求f(t)=?s(s + 1)°(s + 3)15
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 15 t 3t e 2 1 e 2 1 f(t) − − = + 例 3： s 4s 3 s 5s 5 F(s) 2 2 + + + + = ，求 f(t) = ? 解：不是真分式，必须先分解：(可以用长除法) (s 1)(s 3) s 2 1 s 4s 3 (s 4s 3) s 2 F(s) 2 2 + + + = + + + + + + + = t 3t e 2 1 e 2 1 f(t) (t) − − = + + 例 4： s 1 j c s 1- j c (s 1- j)(s 1 j) s 3 s 2s 2 s 3 F(s) 1 2 2 + + + + = + + + + = + + + = 解法一： 2j 2 j (s 1- j)(s 1 j) s 3 c lim (s 1- j) s 1 j 1 + = + + + + = + →− + 2j 2 - j (s 1- j)(s 1 j) s 3 c lim (s 1 j) s 1-j 2 − = + + + + = + + →− ( 1 j)t ( 1 j)t e 2j 2 - j e 2j 2 j f(t) − + − − − + = t jt -jt e (2 j)e (2 j)e 2j 1 = + − − − （ cost 2j e e sin t, 2j e e jt jt jt jt = + = − − − ） e 2cost 4sintj e (cost 2sint) 2j 1 t t = + = + − − (s 1) 1 2 (s 1) 1 s 1 (s 1) 1 s 1 2 (s 1) 1 s 3 F(s) 2 2 2 2 + + + + + + = + + + + = + + + = t t f(t) cost.e 2sint.e − − = + 虚位移定理 解法二： f(t) e .cost 2e .sint ( ) (s 1) 1 1 2 (s 1) 1 s 1 (s 1) 1 s 1 2 (s 1) 1 s 3 F(s) t t 2 2 2 2 2 2 2 2 = − + − 复位移定理 + + + + + + = + + + + = + + + = 例 5 s(s 1) (s 3) s 2 F(s) 2 + + + = 求 f(t) = ?