《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法教学目的与要求：1、理解根轨迹的基本概念；2、熟练掌握根轨迹方程；3、熟练掌握绘制常规根轨迹的法则及根轨迹的应用：4、了解零度根轨迹、参量根轨迹、多回路系统根轨迹的基本概念及其绘制方法；5、理解广义根轨迹（参数根轨迹）的概念及绘制方法与思路；6、熟练掌握利用根轨迹分析系统的性能。教学重点：1、根轨迹的绘制；2、利用根轨迹分析系统的性能。教学难点：1、利用根轨迹分析系统的性能；2、广义根轨迹的绘制法则。教学时数：8学时教学方法：讲授法教学手段：黑板与多媒体结合教学过程：84-1根轨迹的基本概念一。根轨迹：1、定义：（前述）2、特点：既不需求解微分方程，也不需求解特征根，简便、直观，只要对根轨迹进行观察，就可看出系统响应的主要特征。KK2KA例1：已知Gr(s)=s(0.5s+1)s(s+2) =s(s+2)RCks(0.5s +1)1
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 1 教学目的与要求： 1、理解根轨迹的基本概念； 2、熟练掌握根轨迹方程； 3、熟练掌握绘制常规根轨迹的法则及根轨迹的应用； 4、了解零度根轨迹、参量根轨迹、多回路系统根轨迹的基本概念及其绘制 方法； 5、理解广义根轨迹（参数根轨迹）的概念及绘制方法与思路； 6、熟练掌握利用根轨迹分析系统的性能。 教学重点： 1、根轨迹的绘制； 2、利用根轨迹分析系统的性能。 教学难点： 1、利用根轨迹分析系统的性能； 2、广义根轨迹的绘制法则。 教学时数： 8 学时 教学方法： 讲授法 教学手段： 黑板与多媒体结合 教学过程： §4-1 根轨迹的基本概念 一. 根轨迹： 1、定义：（前述） 2、特点：既不需求解微分方程，也不需求解特征根，简便、直观，只要对 根轨迹进行观察，就可看出系统响应的主要特征。 例 1：已知 Gk(s) = ( 2) 2 (0.5 1) + = + s s K s s K ( 2) 1 s s + K 令 s(0.5s +1) R k C
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法其中，K,-----G(s)用零、极点形式表示时的传递系数，叫根轨迹增益。可见开环：P1=0，P2=-2，没有零点，K,.: D(s)= s? + 2s+K, = 0,: Φ=k=2.s2+2s+Kk=1..S1.2 =-1± /1-K, = -1± V1-2K。二k=0k=0[K=0时，S=0,S,=-2k=1K=0.5时，S,=S2=-1当=时，Si2=-1±］K =2.5时，S12 =-1± j2[K = 0o时, S1.2 =-1± j00可见：根轨迹图全面的描述了K对st，分布的影响。★分析：（1）K从0→80根轨迹均在s左半平面，所以系统对所有的K值都稳定。（2）0<K<0.5，特征根为实数，过阻尼，无超调。（3）K=0.5，临界阻尼，也无超调。（4）K>0.5，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。（5）在G，中，有一个零值极点，系统为1型，阶跃下e=0。△这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过G，找特征根。二、闭环零、极点与开环零、极点的关系：设系统前项通道的传递函数为：Ke($+1)(t,$+1).(t,s+1)G(T,s +1)(T,s + 1).-(T,s +1)I(s- p.)f/其中，K。一前项通道的放大系数，KG一前项通道的根轨迹增益。2
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 2 其中，K 1 -Gk(s)用零、极点形式表示时的传递系数，叫根轨迹增益。 可见开环：p1= 0，p2= −2，没有零点， φ= 1 2 1 s 2s K K + + ( ) 2 1 0 2 D s = s + s + K = ， s1.2 = −1 1− K1 = −1 1− 2K 。 当 = = − = = − = = − = = = − = = = − K s j K s j K s j K s s K s s 1 2.5 1 2 1 1 0.5 1 0 0 2 1.2 1.2 1.2 1 2 1 2 时， 时， 时， 时， 时， ， 可见：根轨迹图全面的描述了 K 对 1.2 s 分布的影响。 ★ 分析：（1） K 从 0 → 根轨迹均在 s 左半平面，所以系统对所有的 K 值都稳 定。 （2） 0 K 0.5 ，特征根为实数，过阻尼，无超调。 （3） K = 0.5 ，临界阻尼，也无超调。 （4） K 0.5 ，共轭复数根，欠阻尼，衰减振荡。 （5）在 Gk 中，有一个零值极点，系统为 1 型，阶跃下 = 0 ss e 。 这种方法虽直观，但高阶系统先求特征根再画根轨迹不太现实，应通过 Gk 找 特征根。 二、闭环零、极点与开环零、极点的关系： 设系统前项通道的传递函数为： ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) = = − − = + + + + + + = q i i f j G j q G f s p K s z T s T s T s K s s s G 1 1 * 1 2 1 2 ' 1 1 1 1 1 1 其中， ' KG —前项通道的放大系数， K G * —前项通道的根轨迹增益。 k = 0 k = 0 2 1 k = k = 2.5 k = 2.5 k = 1 k = 1 j
《自动控制原理》第四章复域分析法-根轨迹法ii(s-=)而系统反馈通道的传递函数为：H(s)I(s- p.)k(s-=)(s-=):.G,(s)=GH :-(1)II(s-p.) (s- p)设开环系统有m个零点，n个极点，则m=f+Q，n=q+wK,1I(s-z):. G(s)=(其中,=)II(s- p.)(s-z,)(s-p)G则d(s)=-- (2)1+G(s - p,)(s- p)+ k,(s-z,)(s- zk)比较（1）式和（2）式可见：1）闭环系统根轨迹增益=开环前向通道根轨迹增益K。。单位反馈时：闭环根轨迹增益=开环根轨迹增益。2）闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。单位反馈时，闭环零点就是开环零点。3）闭环零点与开环零、极点以及开环根轨迹增益K，有关。因此要想了解闭环极点，就必须从开环零、极点及K，入手，根据根轨迹方程找。三、根轨迹方程：绘制根轨迹的实质还是寻找特征式1+GH=0的根，所以满足G(s)H(s)=-1的s值，都必定在根轨迹上，则根轨迹方程为：GH=-1，即G (s)=-1,3
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 3 而系统反馈通道的传递函数为： ( ) ( ) ( ) = = − − = w l l Q k H k s p K s z H s 1 1 * Gk (s) = GH = ( ) ( ) − = − − q i i f j j s p K s z 1 1 1 ( ) ( ) = = − − w l l Q k k s p s z 1 1 -（1） 设开环系统有 m 个零点， n 个极点，则 m = f + Q，n = q + w ( ) ( ) ( ) = = − − = n i i m j j k s p K s z G s 1 1 1 （其中 * * K1 = KG K H ） 则 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) = = = = = = − − + − − − − = + = Q k k f j j w l l q i i w l l f j G j k s p s p K s z s z K s z s p G G s 1 1 1 1 1 1 1 * 1 -（2） 比较（1）式和（2）式可见： 1）闭环系统根轨迹增益=开环前向通道根轨迹增益 * KG 。单位反馈时：闭 环根轨迹增益=开环根轨迹增益。 2）闭环零点由前向通道的零点和反馈通道的极点构成。单位反馈时，闭 环零点就是开环零点。 3）闭环零点与开环零、极点以及开环根轨迹增益 K1 有关。 ▲ 因此要想了解闭环极点，就必须从开环零、极点及 K1 入手，根据根轨迹 方程找。 三、根轨迹方程： 绘制根轨迹的实质还是寻找特征式 1+ GH = 0 的根，所以满足 G(s)H(s) = −1 的 s 值，都必定在根轨迹上，则根轨迹方程为： GH = −1 ，即 G (s) = −1 k
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法K,(s-z)1，由于GH是复数s的函数，故上式为一矢量方:.GH(s- p.)-程。幅（模）值方程，或Ks-p.s-z,而4(s-=)-(s-P,)=(2k+1)元—相角方程。（k=0,±1,±2.）j=l-若s平面上的点是闭环极点，则它与z，P，所组成的相量必定满足上述两方程，而且模值方程与K，有关，而相角方程与K无关。所以满足相角方程的s值代入模值方程中，总能求得一个对应的K，，即s若满足相角方程，必定就满足模值方程。★相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。这就表明：绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而模值方程用来确定根轨迹上各点对应的K,值。K,例2：单位反馈系统的G，=用根轨迹法在s平面上找到闭环极点。s(s +1)116.6063.4°135解：P,=0,P2=-1，没有零点，用试探法：1）在[0,1]间任取一点s,，用相角方程检验：4
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 4 ( ) ( ) 1 1 1 1 = − − − = = = n i i m j j s p K s z GH ，由于 GH 是复数 s 的函数，故上式为一矢量方 程。 1 1 1 1 = − − = = n i i m j j s p K s z —— 幅（模）值方程，或 = = − − = m j j n i i s z s p K 1 1 1 ； 而 ( ) ( ) (2 1) 1 1 − − − = + = = s z s p k n i i m j j —— 相角方程。（ k = 0,1,2, ） 若 s 平面上的点是闭环极点，则它与 j pi z , 所组成的相量必定满足上述两方 程，而且模值方程与 K1 有关，而相角方程与 K1 无关。所以满足相角方程的 s 值 代入模值方程中，总能求得一个对应的 K1 ，即 s 若满足相角方程，必定就满足 模值方程。 ★ 相角方程是决定闭环根轨迹的充要条件。 这就表明：绘制根轨迹只要依据相角方程足以，而模值方程用来确定根轨 迹上各点对应的 K1 值。 例 2：单位反馈系统的 ( 1) 1 + = s s K Gk ，用根轨迹法在 s 平面上找到闭环极点。 解： p1 = 0, p2 = −1 ，没有零点，用试探法： 1）在 0,1 间任取一点 1 s ，用相角方程检验： j 1 1 1 1s 2 s 3 s 4 s 5 s 0 63.4 0 116.6 0 −135
《自动控制原理》第四章复域分折法-根轨迹法ZG(s,)=-Z(s, - P,)-Z(s, - p,)=-180° -0° = -180°,.S,在根轨迹上。2）在[-1,-]间任取一点s2，ZG(s,)=-180°-180°=-360°，s2不在根轨迹上。3）在[0,0]间任取一点s3，ZG(s,)=0°+0°=0%，：.s3不在根轨迹上。4）在复平面上取一点s4=-0.5+j，ZG(s4)=-116.6°-63.4°=-180°.s.4在根轨迹上。5）取一点ss=-1-j,ZG(ss)=135°+90°=225%，ss不在根轨迹上。可见：此方法虽能找到闭环极点，但太繁，不实用，应用绘制法则。★由于根轨迹相角遵循180°+2k元，故称为180°根轨迹，相应的绘制法则也叫做180°根轨迹的绘制法则，或叫常规根轨迹及法则。84-2绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数：根轨迹在s平面上的分支数=闭环特征方程的阶数。即：分支数=闭环极点数=开环极点数n(n≥m)或=开环零点数m(m>n)。二、根轨迹的起点和终点：根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。若n>m，则有(n-m)条终止于无穷远处。若m>n，则有（m-n)条起始于无穷远处。证明：根轨迹的起点是指K，=0的根轨迹点，而终点是指K，→8o的根轨边点。K,II(s-z,).. D(s)- l(s- p,)+ K,(s-z,)= 0:GI(s- p.)1)当K,=0时，有s=P，：.K,=0时的闭环极点就是开环极点。5
《自动控制原理》 第四章 复域分析法-根轨迹法 5 ( ) ( ) ( ) 0 0 0 G s1 = − s1 − p1 − s1 − p2 = −180 − 0 = −180 ， 1 s 在根轨迹上。 2）在 −1,− 间任取一点 2 s ， ( ) 0 0 0 G s2 = −180 −180 = −360 ， 2 s 不在根轨 迹上。 3）在 0, 间任取一点 3 s ， ( ) 0 0 0 G s3 = 0 + 0 = 0 ， 3 s 不在根轨迹上。 4）在复平面上取一点 s = −0.5 + j 4 ， ( ) 0 0 0 G s4 = −116.6 − 63.4 = −180 ， 4 s 在根轨迹上。 5）取一点 ( ) 0 0 0 s5 = −1− j,G s5 =135 + 90 = 225 ， 5 s 不在根轨迹上。 ▲ 可见：此方法虽能找到闭环极点，但太繁，不实用，应用绘制法则。 ★ 由于根轨迹相角遵循 180 2k 0 + ，故称为 180°根轨迹，相应的绘制法则也叫 做 180°根轨迹的绘制法则，或叫常规根轨迹及法则。 §4-2 绘制根轨迹的基本法则 一、根轨迹的分支数： 根轨迹在 s 平面上的分支数=闭环特征方程的阶数。即： 分支数=闭环极点数=开环极点数 n(n m) 或=开环零点数 m(m n)。 二、根轨迹的起点和终点： 根轨迹起始于开环极点，终止于开环零点。 若 n m ，则有 (n − m) 条终止于无穷远处。 若 m n ，则有 (m − n) 条起始于无穷远处。 证明：根轨迹的起点是指 K1 = 0 的根轨迹点，而终点是指 K1 → 的根轨迹 点。 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 1 1 1 1 1 1 = − + − = − − = = = = = m j j n i n i i i m j j k D s s p K s z s p K s z G 1）当 K1 = 0 时，有 , 0 s = pi K1 = 时的闭环极点就是开环极点