《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型教学目的与要求：1、了解拉氏变换、拉氏反变换的定义及其变换的基本法则；2、掌握传递函数的相关概念；3、掌握结构图的基本概念及结构图的等效变换原则：4、了解信号流图的基本概念及其组成；5、理解梅森公式求取传递函数的方法：6、掌握闭环系统的各种传递函数概念及求取方法；7、理解脉冲响应函数的概念与应用；教学重点：1、拉氏变换法求解微分方程；2、传递函数的求取：3、信号流图与结构图之间的关系；教学难点：1、拉氏反变换；2、结构图的等效变换原则求取传递函数3、梅森公式求取传递函数；教学时数：8学时教学方法：讲授法教学手段：黑板与多媒体结合教学过程：82-1引言为使其设计的系统能满足要求，须对系统的过度过程在理论上进行分析，掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达出来，再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。模型一客观实际物体的表。如电机模型，机械零件模型等。几何模型一几何尺寸放大或缩小。（如建筑物预先做的模型）模拟模型一物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模型。1
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 1 教学目的与要求： 1、了解拉氏变换、拉氏反变换的定义及其变换的基本法则； 2、掌握传递函数的相关概念； 3、掌握结构图的基本概念及结构图的等效变换原则； 4、了解信号流图的基本概念及其组成； 5、理解梅森公式求取传递函数的方法； 6、掌握闭环系统的各种传递函数概念及求取方法； 7、理解脉冲响应函数的概念与应用； 教学重点： 1、拉氏变换法求解微分方程； 2、传递函数的求取； 3、信号流图与结构图之间的关系； 教学难点： 1、拉氏反变换； 2、结构图的等效变换原则求取传递函数； 3、梅森公式求取传递函数； 教学时数： 8 学时 教学方法： 讲授法 教学手段： 黑板与多媒体结合 教学过程： §2-1 引言 为使其设计的系统能满足要求，须对系统的过度过程在理论上进行分析， 掌握其内在规律。为此将系统的过度过程用一个反映其运动状态的方程式表达 出来，再加以分析和计算，即为建模。它是分析、设计控制系统的第一步。 模型—客观实际物体的表。如电机模型，机械零件模型等。 几何模型—几何尺寸放大或缩小。（如建筑物预先做的模型） 模拟模型—物质相似的量间的模拟。如电气模拟机械，也叫物理模型
《自动控制原理》第二章制象统的教学模型数学模型一用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量以及内部各变量之间的关系的代数方程。静态数学模型一在静态条件下（即变量各阶导数为0），描述变量之间关系的代数方程。动态数学模型一描述诸变量动态关系得数学表达式。常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。82-2行微分方程一、线性元件的微分方程：列写方法：（1）确定元件的输入、输出变量。（2）从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。（3）消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。（4）标准化一一将与输入有关的各项放在等号的右边，与输出有关的各项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。例1．RC网络，u,为输入，u。为输出列微分方程。R解：R,+u。=u,，-Jidtu,=i=cdu.RCdu.(1)+u.=udtdt令T=RC为时间常数，则有du一阶微分方程。+u,=u,-dt例2.R-L-C电路，u,为输入，2u
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 2 数学模型—用数学表达式描述系统的一种模型。描述系统输入、输出变量 以及内部各变量之间的关系的代数方程。 静态数学模型—在静态条件下（即变量各阶导数为 0），描述变量之间关系 的代数方程。 动态数学模型—描述诸变量动态关系得数学表达式。 常用的动态数学模型：微分方程、差分方程、状态方程、传递函数、动态 结构图、信号流图、脉冲响应函数、频率特性等。 用数学表达式描述自控系统，首先须建立一个合理的数学模型，准确性和 简化性之间应全面考虑，在误差允许的条件下，尽量简化数学模型。 §2-2 微分方程 一、线性元件的微分方程： 列写方法： （1） 确定元件的输入、输出变量。 （2） 从输入端开始，根据物理、化学基本定律写出原始方程式。 （3） 消去中间变量，写出只含输入、输出变量的微分方程。 （4） 标准化——将与输入有关的各项放在等号的右边，与输出有关的各 项放在等号的左边，各阶导数按降幂排列。 例1． RC 网络， i u 为输入， c u 为输出列微分方程。 解： Ri + uc = ur ， = idt C uc 1 c r c c u u dt du RC dt du i = C ⎯→ + = (1) 令 T=RC 为时间常数，则有 c r c u u dt du T + = -一阶微分方程。 例 2．R-L-C 电路， i u 为输入， r u c u R C i R L r i u uc
《自动控制原理》第二章控制系统的教学模型u。为输出列微分方程。Idi解：+Ri+u=u,dtd'udi1du.lidtdtdtdt?Cd'udu+ RC故LC+u。=u,一二阶微分方程dt?dtL令T：T,=RC均为时间常数。Pd'ue +r, du.则有TT+u.=u,(2)dr?dt例3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。当外力F(t)作用时，系统将产生运动x()-位移。F(t)解：在F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻尼器阻力之和m不平衡，则质量m将有加速度，并使速度和位移改变。+x(t)根据牛顿第二定律有：d?x「F()→弹簧恢复力F(t)-F()-F()= mdt2F(t)→阻尼器阻力7777777777假设弹簧是线形的，则F()=kx；假设阻尼器阻力与速度成正比则F()=rddt=md'x即mdx+Lddx+ x=.:. F(t) = kx --F(t) ---二阶微分dt?dtk dt?k dtk方程mT,K=1令T：k'Nk2/mk则有m2d'x+25Tdr(3)+x=KF(t)dt?dt比较(2)、(3)式可以发现：当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看，两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究。3
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 3 c u 为输出列微分方程。 解： c r Ri u u dt di L + + = = ⎯→ = dt du idt i C C u c c 1 ， 2 2 dt d u C dt di c = 故 c r c c u u dt du RC dt d u LC + + = 2 2 — 二阶微分方程 令 T RC R L T1 = , 2 = 均为时间常数。 则有 c r c c u u dt du T dt d u T T + 2 + = 2 2 1 2 （2） 例 3.弹簧-质量-阻尼器的机械位移系统。当外力 F(t)作用时， 系统将产生运动 x(t)-位移。 解：在 F(t)作用下，若弹簧恢复力和阻尼器阻力之和 不平衡，则质量 m 将有加速度，并使速度和位移改变。 根据牛顿第二定律有： → → − − = 阻尼器阻力 弹簧恢复力 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 2 1 2 2 1 2 F t F t dt d x F t F t F t m 假设弹簧是线形的，则 F (t) = kx 1 ； 假设阻尼器阻力与速度成正比， 则 dt dx F (t) = f 2 ， ∴ 2 2 ( ) dt d x m dt dx F t = kx − f = ，即 ( ) 1 2 2 F t k x dt dx k f dt d x k m + + = -二阶微分 方程 令 , 1 , 2 , k K mk f k m T = = = 则有 2 ( ) 2 2 2 x KF t dt dx T dt d x m + + = (3) 比较(2)、(3)式可以发现：当两方程的系统相同时，从动态性能的角度看， 两系统是相同的。这就有可能利用电气来模拟机械系统进行实验研究，而对系 统理论来说，就有可能撇开系统的物理属性进行普遍意义的分析研究
《自动控制原理》第二章控制象统的教学模型例4.枢控他励直流电机，2元输入---u。，输出---。0=6030R.LVua负载 dia + E = a --(I)Ri.+L解：dtE=C,0及M=Cmi。，且电机轴上的动力学方程为：do+ fo = M-M。dt其中J-.-转动惯量，f.--粘性摩擦系数do..=M-M实际分析中常忽略阻尼力矩fo，dt..Cmi. =J do+Jdo.M+M.--(2)>i.:dtCm dtC.dia-J d'o.1 dM.则(3)dt"Cmdt?Cmdt将(2)、(3)式代入(1)式中有：L.J d'o,R.J doL. dM.RaM.+Co=uCmdt?CdtCmCmdt1即doR.J doL, dM.R.M+0=-uaC.C, dt?CmCmdtc.dtC.C.La令T=电枢回路的电磁时间常数R.R.JT.=电枢回路的机电时间常数C.C.4
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 4 例 4.枢控他励直流电机， 输入- a u ，输出- 。 = n = n 60 30 2 解： a a a a a E u dt di R i + L + = -(1) E = Ce 及 m a M = C i ，且电 机轴上的动力学方程为： M Mc f dt d J + = − 其中 J-转动惯量，f-粘性摩擦系数。 实际分析中常忽略阻尼力矩 f ， ∴ M Mc dt d J = − ∴ m c m m a c a C M dt d C J M i dt d C i = J + ⎯→ = + -(2) 则 dt dM dt C d C J dt di c m m a 1 2 2 = + -（3） 将(2)、(3)式代入(1)式中有： c m c a m a e a m a m a M C R dt dM C L C u dt d C R J dt d C L J + + = − − 2 2 即 c m e c a m a a m e a m e a M C C R dt dM C L u dt C d C R J dt d C C L J + + = − − 1 2 2 令 a a a R L T = -电枢回路的电磁时间常数 m e a m C C R J T = -电枢回路的机电时间常数 Ra E ua M 负载 La + - a i
控制象统的教学模型《自动控制原理》第二章1Tm为传递系数KA1d'odMdo+o=Ku.-Km(T.故有T.TmF+M.)dt?dtdt三.线性系统微分方程的列写：先列写各元件的微方，再合并，消去中间变量。例6、速度控制系统。R2功率负载放大Rug_uru,1．运放I：>u-(uur)=Ki(ug-u,)R,RR2R,du,R(RCdu,du,u,u22.运放II：+u,)=K,(t+C+u)>u2R,dtR4Rdtdt3．功放：u.=Kgu2d'adM.+T do+O=K,U.-K.(T.C+M)4.电机：T.Tmdt?dtdt5.测速机：u,=K,最后合并上述方程有：d'odo+T.T.+0dt?dtdu++0)-K.(T, dM.doc+M.)=KK,K,K,(+u)-KK,K,KK,(tdtdtdt5
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 5 J T K C K m m e u = , = 1 为传递系数 故有 ( ) 2 2 c c a m m u a m a M dt dM K u K T dt d T dt d T T + + = − + 三.线性系统微分方程的列写： 先列写各元件的微方，再合并，消去中间变量。 例 6、速度控制系统。 1． 运放Ⅰ： ( ) ( ) 1 1 2 1 2 1 1 1 g f g f g f u u K u u R R u R u R u R u − = → = − = − 2． 运放Ⅱ： ( ) ( ) 1 1 1 2 1 3 3 4 2 4 1 2 3 1 u dt du u K dt du R c R R u R u dt du c R u + = → = + = + 3． 功放： 3 2 u K u a = 4． 电机： ( ) 2 2 c c a m m u a m a M dt dM K U K T dt d T dt d T T + + = − + 5． 测速机： u f = K f 最后合并上述方程有： + + dt d T dt d TaTm 2 m 2 ( ) ( ) ( ) 3 2 1 3 2 1 c c g u f m a g u M dt dM K T dt d u K K K K K dt du = K K K K + − + − + _ uf + + ug 功率 放大 T G G 负载 R1 R2 R3 R3 R4 _ _ + ua _ M R1 u1 C u2