《自动控制原理》第二章控制象统的教学模型令K=K,K,K,K,K=K,K,K,K,K,=K.K,则有：KdugKmdM.T.Tmd'o,T.+Ktdo+M.)+0+ug)(T(Tdt1+K。dt?dt1+ K。1+K。dt1+K。可见：の既与u。有关又与M。有关。①当u。为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统，M一般不变：dugT.Im d'oKTm+Kotdo+ug)+0(T1+K。dt?dt1+ K。1+kodt②当u.为常值，M，为变化量，系统为恒值调速系统：dM.KmT.Tm d'oT+K.t do(T.+M, )+0=1+K。dt?dtdt1+K。1+ko补充内容四、复习拉普拉斯变换的有关内容1、复数有关概念jo[S]（1）复数、复函数2s=o+jo复数1012aF(s)= F, + jF,复函数例： F(s)=$+2=0+2+joAFy[S]（2）复数模、相角IF[F(s) = /F2 + F2F,ZFZF(s)= arctg)F0Fx2314（3）复数的共轭F=F-jFy（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。6
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 6 令 K KuK K K K KuK K K K f K K f = = = 3 2 1 0 3 2 1 , 则有: + + + + + dt d K T K dt d K TaTm m 0 0 2 2 1 0 1 ( ) 1 ( ) 1 0 0 c c a m g g M dt dM T K K u dt du K K + + + − + = 可见： 既与 ug 有关又与 M c 有关。 ①当 ug 为变化量，系统实现转速跟踪时，为速度随动系统, M c 一般不变： ( ) 1 1 0 1 0 0 2 2 0 g a m m g u dt du k K dt d K T K dt d K T T + + + = + + + + ②当 ug 为常值， M c 为变化量，系统为恒值调速系统： ( ) 1 1 0 1 0 0 2 2 0 c c a a m m m M dt dM T k K dt d K T K dt d K T T + + + = − + + + + 四、复习拉普拉斯变换的有关内容 补充内容 1、复数有关概念 （1）复数、复函数 复数 s = + j 复函数 ( ) x y F s = F + jF 例： F(s) = s + 2 = + 2 + j （2）复数模、相角 ( ) ( ) x y 2 y 2 x F F F s arctg F s F F = = + （3）复数的共轭 ( ) x y F s = F − jF （4）解析：若 F(s)在 s 点的各阶导数都存在，称 F(s)在 s 点解析
《自动控制原理》第二章控制系统的数学模型2、拉氏变换定义[f(t)像原F(s)= L[f(t)] = [~ f(t)-e-" dtF(s):像五、典型输入信号对于一个实际系统，其输入信号往往是比较复杂的，而系统的输出响应又与输入信号类型有关。因此，在研究控制系统的响应时，往往选择一些典型输入信号，并且以最不利的信号作为系统的输入信号，分析系统在此输入信号下所得到的输出响应是否满足要求。据此评估系统在比较复杂信号作用下的性能。常采用的典型输入信号有以下几种。1.阶跃函数（位置函数）r(t) 4阶跃函数的数学表达式为A[A1≥0r(t) =0t<o(1-1)0它表示一个在t=0时出现的、幅值为A的阶跃变化函数，当A=1时，称为单位阶跃函数，记作r()=1(t)。因此，幅值为A的阶跃函数也可以表示为r(t) = A·1(0)(1-2)r(t)4单位阶跃函数的拉氏变换为R(s) = L[()] = S(1-3)2.斜坡函数（等速度函数）0图斜坡函数斜坡函数的数学表达式为[At1≥0r(t) =01<0(1-4)它表示一个从t=0时刻开始、随时间以恒定速度A增加的变化函数，当A=1时，称为单位斜坡函数，记作r(t)=t·1(t)。单位斜坡函数的拉氏变换为7
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 7 2、拉氏变换定义 F(s) Lf(t) f(t) e dt st 0 − = = ：像 ：像原 F(s) f(t) 五、典型输入信号 对于一个实际系统，其输入信号往往是比较复杂的，而系统的输出响应又 与输入信号类型有关。因此，在研究控制系统的响应时，往往选择一些典型输 入信号，并且以最不利的信号作为系统的输入信号，分析系统在此输入信号下 所得到的输出响应是否满足要求。据此评估系统在比较复杂信号作用下的性能。 常采用的典型输入信号有以下几种。 1．阶跃函数（位置函数） 阶跃函数的数学表达式为 = 0 0 0 ( ) t A t r t （1-1） 它表示一个在 t = 0 时出现的、幅值为 A 的阶跃 变化函数， 当 A = 1 时，称为单位阶跃函数，记作 r(t) = 1(t) 。因此，幅值为 A 的阶跃函数也可以表示为 r(t) = A1(t) （1-2） 单位阶跃函数的拉氏变换为 s R s L t 1 ( ) = [1( )] = （1-3） 2．斜坡函数（等速度函数） 斜坡函数的数学表达式为 = 0 0 0 ( ) t At t r t （1-4） 它表示一个从 t = 0 时刻开始、随时间以恒定速度 A 增加的变化函数，当 A = 1 时， 称为单位斜坡函数，记作 r(t) = t 1(t) 。 单位斜坡函数的拉氏变换为 r(t) 图 斜坡函数 0 A t 0 A t r(t)
《自动控制原理》第二章控制系统的教学模型R(s) = [r-1(0)= 52(1-5)斜坡函数也称为等速度函数，它等于阶跃函数对时间的积分，而它对时间的导数就是阶跃函数。r(0)43.抛物线函数（等加速度函数）抛物线函数的数学表达式为1SAr3Bart≥0r(t) =0[ot<0(1-6)图抛物线函数当A=1时称为单位抛物线函数，记作t? .1(t)r(t) =2单位抛物线函数的拉氏变换为1(2 .1(0) =R(s)= L[s3(1-7)抛物线函数也称为加速度函数，它等于斜坡函数对时间的积分，而它对时间的导数就是斜坡函数。4.脉冲函数脉冲函数的数学表达式为8(t)48(0)4[440≤t≤8(t)=4[ot<0及t>△(1-8)00△(b)(a)其面积为A，如图（a）所示。图脉冲函数当A=1，△→0时称为单位脉冲函(a)>0 (b) =0数，记作(0)，如图（b）所示，即[0t#0(t) =(t)dt = 181=0(1-9)单位脉冲函数的拉氏变换为8
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 8 2 1 ( ) [ 1( )] s R s = L t t = （1-5） 斜坡函数也称为等速度函数，它等于阶跃函数对时间的积分，而它对时间的导 数就是阶跃函数。 3．抛物线函数（等加速度函数） 抛物线函数的数学表达式为 = 0 0 0 2 1 ( ) 2 t At t r t （1-6） 当 A = 1 时称为单位抛物线函数，记作 1( ) 2 1 ( ) 2 r t = t t 。 单位抛物线函数的拉氏变换为 3 2 1 1( )] 2 1 ( ) [ s R s = L t t = （1-7） 抛物线函数也称为加速度函数，它等于斜坡函数对时间的积分，而它对时间的 导数就是斜坡函数。 4．脉冲函数 脉冲函数的数学表达式为 = 0 0 Δ 0 Δ Δ ( ) Δ t t t A t 及 （1-8） 其面积为 A ，如图（a）所示。 当 A = 1， → 0 时称为单位脉冲函 数，记作 (t) ，如图（b）所示，即 = = 0 0 0 ( ) t t t 及 − (t)dt = 1 （1-9） 单位脉冲函数的拉氏变换为 2 2 1 At r(t) 图 抛物线函数 0 t 图 脉冲函数 (a) Δ 0 (b) Δ = 0 （a） （b） Δ A ( ) Δ t 0 t Δ 0 t (t)
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型R(s)=L[8()l=1(1-10)单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。5.正弦函数r(t)4正弦函数的数学表达式为Asinott≥00otr(t) =lot<0(1-11)式中，A为振幅；①为角频率。图正弦函数正弦函数为周期函数，如图所示，其拉氏变换为A·0R(s)= L|Asin ot)=$?+02(1-12)应该指出，对实际系统进行分析时，应根据系统的工作情况选择合适的典型输入信号。例如具有突变的性质，可选择阶跃函数作为典型输入信号：当系统的输入作用随时间增长而变化时，可选择斜坡函数作为典型输入信号：当系统输入具有周期性变化时，可选择正弦函数作为典型输入信号。重点六、拉氏变换的几个重要定理(1)线性性质：L[af,(t)+bf,(t))=aF(s)+bF,(s)(2）微分定理：L[f(t)=s·F(s)-f(o)证明：左=jr(t)-e-*dt=je-"df(t)=[e*(0)] - jr(t)de*=[0-f (0)]+sj f (t)e-*dt= sF(s)-f(0)=右进一步: L[r() (t)|= s"F(s) -s*f(0) - s2f (0) -.-sf(a-2) (0) -f(-1) (0)零初始条件下有：L[r()(t)]=s"·F(s)例1：求L[8(t)]9
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 9 R(s) = L[ (t)] = 1 （1-10） 单位脉冲函数是单位阶跃函数的导数。 5．正弦函数 正弦函数的数学表达式为 = 0 0 sin 0 ( ) t A t t r t （1-11） 式中， A 为振幅； 为角频率。 正弦函数为周期函数，如图所示，其拉氏变 换为 2 2 ( ) [ sin ] + = = s A R s L A t （1-12） 应该指出，对实际系统进行分析时，应根据系统的工作情况选择合适的典型输 入信号。例如具有突变的性质，可选择阶跃函数作为典型输入信号；当系统的 输入作用随时间增长而变化时，可选择斜坡函数作为典型输入信号；当系统输 入具有周期性变化时，可选择正弦函数作为典型输入信号。 六、拉氏变换的几个重要定理 重点 （1）线性性质： Laf (t) bf (t) aF (s) bF (s) 1 + 2 = 1 + 2 （2）微分定理： Lf(t) = s F(s)− f(0) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) st st 0 0 -st st 0 0 st 0 f t e dt e df t e f t f t de 0-f 0 s f t e dt sF s f 0 − − − − = = = − = + = − = 证明：左 右 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n-2 n 1 n n-1 n-2 L f t s F s s f 0 s f 0 sf 0 f 0 − = − − − − − 进一步： 零初始条件下有： ( ) Lf (t) s F(s) n n = 例 1：求 L (t) r(t) 图正弦函数 0 A t
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型解：:8(t)=1'(t). [6()]= [r()] = s-—- (0-)=1- 0 =1例2：求L[cosot]0s解：cosot=[sin'ot]-s?+0?s? +0?00(3) 积分定理： L[r(t)atl-1 F()+=r(-)(0)（证略）零初始条件下有：L[rf(t)at]-}-F(s)进一步有：=F(s)+ r(-(0)+ f(-2(0)+ .+→f(-(0)(... (t)dt"-C例3：求L[t]=?解：·t={1(t)ut-[(]-+++4--1例4：求L2t2=[ tdt解：[+T（4）位移定理实位移定理：L[f(t-t)]=e-*.F(s)f0 t<0f(t)例 5: f()=1 0<t<1 求F(s)[0 t>0解: f(t)=1(t)-1(t-1).F(6)-_-.e --(i-e-)S虚位移定理：L[e.f(t)=F(s-a）（证略）10
《自动控制原理》 第二章 控制系统的数学模型 10 解： (t) = 1(t) ( ) ( ) (0 ) 1 0 1 s 1 L t = L1 t = s − = − = − 例 2：求 Lcost 解： 2 2 2 2 s s s s 1 L sin t 1 cos t + = + = = （3）积分定理： ( ) ( ) ( ) f (0) s 1 F s s 1 L f t dt -1 = + （证略） 零初始条件下有： ( ) F(s) s 1 L f t dt = 进一步有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f (0) s 1 f 0 s 1 f 0 s 1 F s s 1 L f t dt 2 n n 1 1 n n n n − − − − = + + + + 例 3：求 L[t]=? 解： t 1(t)dt = ( ) t 0 2 s 1 t s 1 s 1 s 1 L t = L 1 t dt = + = = 例 4：求 2 t L 2 解： = tdt 2 t 2 3 t 0 2 2 2 s 1 2 t s 1 s 1 s 1 L tdt 2 t L = = + = = （4）位移定理 实位移定理： Lf(t - ) e F(s) s = − 例 5： ( ) F(s) 0 t 0 1 0 t 1 0 t 0 f t 求 = 解： f(t) = 1(t) −1(t −1) ( ) ( ) s s 1 e s 1 e s 1 s 1 F s − − = − = − 虚位移定理： Le f(t) F(s - a) at = （证略）